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題目大意：有一個樹形的水系，其中有$n$個節(jié)點，有$n?1$條邊。$x$,$y$兩點之間的容量用$c(x,y)$表示。$n$個點中有一個點可以作為源點，可以不斷地流出水。所有度數(shù)為$1$的點都為匯點，水可以從該點流出。然后求以哪個點作為源點可以使得整個水系的流量最大。

先來考慮暴力，我們?nèi)∶總€點為源點，然后這個就成了個有根樹。

現(xiàn)在以第$6$號節(jié)點為源點

不難發(fā)現(xiàn)，每個點都是從它的父親節(jié)點獲得水，并流向它的兒子節(jié)點

用$D[x]$來表示以$x$為根的子樹中，從$x$出發(fā)流向子樹的最大流量
$$D[x]=\sum _{y\in Son(x)}\{\begin{array}{ll}min(D[y],c(x,y))& y的度數(shù)>1\\ c(x,y)& y的度數(shù)=1\end{array}$$
對于我們要枚舉的每個源點$s$,可以用樹形DP求出$D[x]$數(shù)組

void dp(int x) {v[x]=1;//訪問標記d[x]=0;for(int i=Link[x];i;i=a[i].Next){int y=a[i].y;if(v[y]){continue ;}dp(y);int v=a[i].v;if(deg[y]==1){d[x]+=v;}else{d[x]+=min(d[y],v);}} }

但是枚舉每個根節(jié)點的復雜度是承受不了的。

此時我們就得用不那么暴力的換根法

用二次掃描與換根法代替源點的枚舉

先任選一個源點為根節(jié)點，設該點為$root$，用上面的函數(shù)跑一遍，得到$D_{root}$

設$F[x]$為把$x$作為源點的最大流量。對于我們設的根節(jié)點$root$,顯然有$D[root]=F[root]$

若$F[x]$已經(jīng)知道了，則考慮其子節(jié)點$y$,$F[y]$分為兩部分：

1.從$y$流向以$y$為根的子樹的流量，已經(jīng)計算并存在$D[y]$中了

2.從$y$沿著父親節(jié)點的路線，流到其他的節(jié)點。

因為把$x$作為源點的總流量為$F[x]$,從$x$流向$y$的流量為$min(D[y],c(x,y))$，所以從$x$流向除$y$以外的其他部分的流量就是它們的差。

因此將$y$作為源點，先流到$x$，再流向其他部分的流量就是這個差災區(qū)和$c(x,y)$取最小值的結果
$$F[y]=D[y]+\{\begin{array}{ll}min\left(F[x]?min(D[y],c(x,y)),c(x,y)\right)& x的度數(shù)>1\\ c(x,y)& x的度數(shù)=1\end{array}$$
$F[y]$就是把源點從$x$換成$y$后，流量的計算結果。

void dfs(int x) {v[x]=1;for(int i=Link[x];i;i=a[i].Next){int y=a[i].y;if(v[y]){continue ;}int v=a[i].v;if(deg[x]==1){f[y]=d[y]+v;}else{f[y]=d[y]+min(f[x]-min(d[y],v),v);}dfs(y);} }

最后的代碼就不貼了，就是求出$f$數(shù)組之后求個$max$就完事了

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Accumulation Degree题解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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