目錄

• 1. 前言
• 2. 網
• 3. 濾子

1. 前言

我們假設讀者已經了解點集拓撲的一些基礎概念，例如開集，鄰域，緊空間等等，我們現在討論拓撲空間中的收斂性。
我們知道，在度量空間中，許多拓撲性質可以用序列刻畫，例如

• 在度量空間$X$中，集合$A?X$，則$A$的閉包可以被序列刻畫：
  $$\overline{A}=\{x\in X:存在序列x_n\in A，且d(x_n,x)\to 0\}.$$

但是在一般的拓撲空間中，序列這個概念已經不足以刻畫拓撲性質了，例如

(第一不可數序，the first uncountable ordinal) 我們在文章集合與拓撲/第一不可數序中介紹了第一不可數序${\omega }_1$，在序拓撲中，${\omega }_1=\mathbf{s}\mathbf{e}\mathbf{g}{y}_0?(?\infty ,y_0]$，驗證：

• ${\omega }_1$在$(?\infty ,y_0]$中是序列閉的，即任何收斂序列$(x_n)?{\omega }_1$的極限$x$仍在${\omega }_1$中。
• ${\omega }_1$在$(?\infty ,y_0]$中不是閉集。

因此，我們需要一些更廣泛的概念來描述拓撲性質。1922年，Moore和Smith發現了一種序列的推廣，幾乎可以完美地刻畫拓撲性質，他們稱之為“網（nets）”。1937年，Cartan發現另一種推廣，被稱為“濾子（filters）”，雖然濾子的定義看起來和序列關系不大，但濾子也能刻畫拓撲性質，在某種意義下，比網更合適。
我們將證明，濾子和網的概念事實上是等價的。

2. 網

定義1(序列). 設$X$是一個集合，$X$中的一個序列$(x_n)$定義為函數
$$f:\mathbb{N}\to X$$
其中$f(n)$被記為$x_n$。

注意到，我們使用$(x_n)$來表示序列，而不是用$\{x_n\}$，因為$(x_n)$表示函數而$\{x_n\}$表示集合。當$X=\mathbb{R}$時，序列$(1)$表示的是常數函數$f:\mathbb{N}\to X,n?1$，而集合$\{1\}$表示的是元素為$1$的集合。

因此，想要推廣序列的概念，直接的想法是改變$f$的定義域。比如，令$f$的定義域為$\mathbb{R}$，那么表示的就是一個以實數為指標的序列，$x_{\pi },x_e$等就都有了意義。然而，定義域不能任意改變，我們需要將定義域變為某一種集合——指向集（directed set）。

定義2(指向集). 設$X$是一個集合，$X$上有一個二元關系$\le$，滿足如下條件

• 自反性，即對任何$x\in X$，有$x\le x$。
• 傳遞性，即如果$x\le y$且$y\le z$，則$x\le z$。
• 指向性，即對于任何$x,y\in X$，存在$z\in X$使得$x\le z$且$y\le z$。

注意到，指向集和偏序集的差別是，偏序集的反對稱性換成了指向性，就變成了指向集。

例子1. 設$X={\mathbb{R}}^2$，在$X$上定義二元關系$\le$，對$x,y\in {\mathbb{R}}^2$，稱$x\le y$，如果$|x|\ge |y|$。驗證：

• $({\mathbb{R}}^2,\le )$滿足自反性和傳遞性。
• $({\mathbb{R}}^2,\le )$滿足指向性，但不滿足反對稱性。

這說明$({\mathbb{R}}^2,\le )$是指向$0$的指向集，但不是偏序集。

例子2. 設$\mathcal{P}$表示從$\mathbb{N}$的子集到$\mathbb{N}$的函數，即$f\in \mathcal{P}$當且僅當$$f:S_f\to \mathbb{N}$$
其中$S$是$\mathbb{N}$的子集。

• 定義$\mathcal{P}$上的二元關系$f\le g$，當且僅當$f=g$，則$(\mathcal{P},\le )$是偏序集，但不是指向集。
• 定義$\mathcal{P}$上的二元關系$f\le g$，當且僅當$S_f?S_g$且$g{|}_{S_f}=f$。則$(\mathcal{P},\le )$是偏序集，但不是指向集。

有了指向集的概念，我們就可以定義網了

定義3(網). 設$X$是集合，$X$中的一個網$(x_{\alpha })$，是一個函數
$$f:I\to X$$
其中$I$是一個指向集。設$\alpha \in I$，$f(\alpha ）$通常記為$x_{\alpha }$。

3. 濾子

濾子的定義更加抽象，但濾子在證明過程中卻更加方便，這不得不說是一種取舍。

定義4(濾子). 設$X$是集合，稱$\mathcal{F}?2^X$是濾子，如果

• 如果$F_1,F_2\in \mathcal{F}$，則$F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$.
• 如果$F\in \mathcal{F}$且$F?G$，則$G\in \mathcal{F}$.

特別地，如果濾子$\mathcal{F}$中存在兩個集合不交，則$\mathcal{F}=2^X$是平凡濾子。

例子3. 設$X$是拓撲空間，$x\in X$，則$x$的所有鄰域構成一個濾子。

為了說明網和濾子的等價性，根據我們的例子1和例子3，直觀上，我們應該考慮由一個網最終落到的那些集合形成的濾子，這就架起了從網到濾子的橋梁。

定義5. 設$X$是集合，$(x_{\alpha })$是一個網，$A?X$是子集，稱網$(x_{\alpha })$最終落到$A$中，如果存在$\alpha$使得任何$\beta \ge \alpha$，都有$x_{\beta }\in A$。

總結

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