背 景

Mean field games (MFG, 平均場博弈論)和Mean field control (MFC, 平均場控制論）可以模擬大量對象之間的博弈，探索在一個競爭的環境中，對象如何選擇最優的決策。例如股市里大量根據其他用戶行為交易股票的股民，海里游動的魚群，在世界杯現場看足球賽的觀眾等。它們在物理、經濟學和數據科學等各學科中發揮核心作用。雖然MFG的數學理論已經相當成熟，但數值方法的發展并沒有跟上問題規模和海量數據集的增長。由于MFG通常不存在顯式解，有效的數值算法至關重要。大多數現有的數值方法都使用網格，因此容易受到維數災難的限制。

近些年來，結合機器學習方法對MFG和MFC問題進行求解得到了學術界的大量關注。尤其是針對解決具有復雜結構，高維度的問題。本文將介紹基于深度學習求解MFG和MFC的三類方法。

問題定義

MFG和MFC模型包括下列參數：

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這里神經網絡估計的最優控制和狀態概率分布都與理論值相符合：

1. 最優控制是狀態的線性函數；

2. 狀態的概率分布會向0逐漸移動。

?總結與展望?

本文著重介紹了三種運用深度學習求解MFG和MFC相關問題的方法。第一個方法通過神經網絡直接擬合控制函數，第二種方法通過Deep BSDE求解FBSDE,最后一個方法通過神經網絡去求解偏微分方程，進而求解HJB方程與FKP方程組成的方程組。基于上述方法，學術界已經對多個高維度的復雜問題進行了各種嘗試，取得了一些初步成果 。但是由于神經網絡通常由多個項組成，因此是高度非凸優化問題。在訓練過程中，損失函數中的各項可能會相互競爭，訓練過程可能不是魯棒和足夠穩定的，無法保證收斂到全局最小值。為了解決這個問題，需要開發更加魯棒的網絡結構和訓練算法。

目前MindSpore團隊分別從物理驅動和數據驅動的AI方法出發，致力于在科學計算領域發展新的算法并開發高性能和易用的AI仿真框架，后續有機會再跟大家分享。

同時，我們也歡迎廣大的AI科學計算愛好者和研究者加入我們，共同探索AI科學計算這一新課題。

參考文獻：

[1]?en.wikipedia.org/wiki/Fokker%25E2%2580%2593Planck_equation

[2]?en.wikipedia.org/wiki/Hamilton%25E2%2580%2593Jacobi%25E2%2580%2593Bellman_equation

[3]?papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm%3Fabstract_id%3D2557457

[4]?arxiv.org/abs/1811.08782

[5]?DeepBSDE?pnas.org/content/115/34/8505

[6]?Optimal transport and crowd motion?pnas.org/content/117/17/9183

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總結

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