目錄

• 一、圖的定義和基本術語(Graph)
• • （一）圖的定義
  • （二）圖的基本術語
• 一、圖的存儲結構
• • （一）鄰接矩陣（Adjacency Matrix)
  • • 1、無向圖的鄰接矩陣
    • 2、有向圖的鄰接矩陣
    • 3、網（即有權圖）的鄰接矩陣
    • 4、鄰接矩陣的存儲表示
    • 5、采用鄰接矩陣表示法創建無向網
  • （二）鄰接表（鏈式）表示法(Adjacency List）
  • • 1、無向圖的鄰接表表示
    • 2、有向圖的鄰接表表示
    • 3、圖的鄰接表的存儲定義
    • 4、采用鄰接表表示法創建無向圖
    • 5、鄰接矩陣與鄰接表的比較
  • （三）十字鏈表(Orthogonal List)
  • • 1、弧結點的結構
    • 2、頂點結點的結構
    • 3、圖的結構定義
    • 4、實例
    • 5、有向圖G的十字鏈表
  • （四）鄰接多重表(Adjacent MultiList)
  • • 1、邊結點的結構
    • 2、頂點結點的結構
    • 3、圖的結構定義
    • 4、實例
    • 4、練習：畫出無向圖G的鄰接多重表

一、圖的定義和基本術語(Graph)

（一）圖的定義

圖（Graph)是由一個頂點集V和一個邊集E構成的數據結構。
G=(V,E)
V:頂點（數據元素）的又窮非空集合
E:邊的又窮集合
無向圖：每條邊都是沒有方向的
有向圖：每條邊都是有方向的，邊也稱作弧

（二）圖的基本術語

設n表示圖中頂點的數目，e表示邊的數目
完全圖：任意兩個點都有一條邊相連

稀疏圖：如果邊或者弧的個數滿足e<n*log2n,則稱作稀疏圖，否則稱作稠密圖

對無向圖來說：
鄰接點：若頂點v和頂點w之間存在一條邊a,則稱頂點v和w互為鄰接點。邊a與頂點v和w相關聯。
度：與頂點v關聯的邊的數目，記為TD(v)

對有向圖來說：
1、<x,y>為有向邊（弧），x為有向邊的起點（弧尾），y為有向邊的終點（弧頭）
2、頂點v的入度是以v為終點的有向邊的條數，記作ID(v)
3、頂點v的出度是以v為始點的有向邊的條數，記作OD(v)

路徑：連續的邊構成的頂點序列
路徑長度：路徑上邊或者弧的數目
簡單路徑：除路徑起點和終點可以相同外，其余頂點均不相同的路徑
簡單回路（簡單環）：除路徑起點和終點相同外，其余頂點均不相同的路徑。

一、圖的存儲結構

圖的存儲表示特點：
1、圖沒有順序存儲結構，但可以借助二維數組來表示圖的元素之間的關系
2、以頂點為核心，建立鄰接點和弧的關系；

（一）鄰接矩陣（Adjacency Matrix)

1、考慮到圖是由兩個頂點和邊或弧兩部分組成，合在一起比較困難，可以分為兩個結構來存儲
2、頂點因為不區分大小，主次，所以可以用一個一維數組來存儲，記錄各個頂點的信息
3、邊或弧是頂點和頂點的關系，用鄰接矩陣來存儲，表示各個頂點之間的鄰接關系。

1、無向圖的鄰接矩陣

2、有向圖的鄰接矩陣

3、網（即有權圖）的鄰接矩陣

4、鄰接矩陣的存儲表示

/*圖的鄰接矩陣存儲表示法*/ //用兩個數組分別存儲頂點表和鄰接矩陣 #define MaxInt 32767 //表示極大值，即無窮 #define MVNum 100 //最大頂點數 typedef char VerTexType; //假設頂點的數據類型為字符型 typedef int ArcType; //假設邊的權值類型為整型 typedef struct {VerTexType vexs[MVNum]; //頂點表ArcType arcs[MVNum][MVNum]; //鄰接矩陣int vexnum, arcnum; //圖的當前頂點數和邊數 }AMGraph;

5、采用鄰接矩陣表示法創建無向網

【算法步驟】
1、輸入總頂點數和邊數
2、依次輸入點的信息存入到頂點表中
3、初始化鄰接矩陣，使每個權值初始化為極大值
4、構造鄰接矩陣

注意：
1、無向圖需要為arcs[i][j]和arcs[j][i]賦值
2、有向圖僅需為arcs[i][j]賦值

算法描述：

/*采用鄰接矩陣表示法創建無向網*/ Status CreateUDN(AMGraph& G) {cin >> G.vexnum >> G.arcnum;//輸入總頂點數和總邊數for (int i = 0;i < G.vexnum;++i)cin >> G.vexs[i];//依次輸入頂點的信息for (int i = 0;i < G.vexnum;++i)//初始化鄰接矩陣，邊的權值均置為極大值for (int j = 0;j < G.vexnum;++j)G.arcs[i][j] = MaxInt;for (int k = 0;k < G.arcnum;++k){cin >> v1 >> v2 >> w;//輸入一條邊依附的頂點和權值i = LocateVex(G, v1);j = LocateVex(G, v2);//確定兩個頂點v1和v2在G中的位置G.arcs[i][j] = w;//邊<v1,v2>的權值置為wG.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];//置邊<v1,v2>的對稱點<v2,v1>的權值也為w}return OK; } /*在圖中查找頂點的位置LocateVex()函數*/ int LocateVex(AMGraph G, VertexType u) {//若在圖中找到這個元素，則返回它的下標i,否則返回-1int i;for (i = 0;i < G.vexnum;++i)if (u == G.vexs[i])return i;return -1; }

（二）鄰接表（鏈式）表示法(Adjacency List）

是圖的鏈式存儲結構，基本思想就是只存儲圖中存在的邊的信息，對不相鄰的頂點則不保留信息
對圖中每個頂點vi建立一個帶頭結點的單鏈表，把與vi相鄰接的頂點放在這個鏈表中，一個單鏈表對應鄰接矩陣中的一行，稱為邊鏈表。

1、無向圖的鄰接表表示

2、有向圖的鄰接表表示

3、圖的鄰接表的存儲定義

分三部分：
1、圖的結構定義
2、頂點的頭結點結構
3、弧（邊）的結點結構

/*圖的鄰接表的存儲定義*/ //弧的結點結構 #define MVNum 100 //最大的頂點數 typedef struct ArcNode {int adjvex; //該邊所指的頂點的位置struct ArcNode* nextarc; //指向下一條邊的指針OtherInfo info; //和邊相關的信息 }ArcNode; //頂點的結點結構 typedef struct VNode {VertexType data;//頂點信息ArcNode* firstarc;//指向第一條依附該頂點的邊 }VNode,AdjList[MVNum];//AdjList表示鄰接表類型 //AdjList v相當于VNode v[MVNum]//圖的結構定義（鄰接表） typedef struct {AdjList vertices;//vertices是vertex的復數int vexnum, arcnum;//圖的當前頂點數和邊數 }ALGraph;/*說明*/ ALGraph G;//定義了鄰接表表示的圖G G.vexnum = 5;G.arcnum = 6;//圖G包含了5個頂點和6條邊 G.vertices[1].data = 'v2';//圖G中第2個頂點是v2 p = G.vertices[1].firstarc;//指針p指向頂點v2的第一個邊結點 p->adjvex = 4;//p指針所指邊結點是到下標為4的結點的邊

4、采用鄰接表表示法創建無向圖

【算法步驟】
1、輸入總頂點數和總邊數
2、建立頂點表

1、依次輸入點的信息存入頂點表中
2、使每個表頭結點的指針域初始化為NULL

3、創建鄰接表

1、依次輸入每條邊依附的兩個頂點
2、確定這兩個頂點的序號i和j
3、將此邊結點分別插入vi和vj對應的兩個邊鏈表的頭部

/*采用鄰接表表示法創建無向圖*/ Status CreateUDG(ALGraph& G) {//采用鄰接表表示法，創建無向圖Gcin >> G.vexnum >> G.arcnum;//輸入頂點數和弧數for (int i = 0;i < G.vexnum;++i){cin >> G.vertices[i].data;//輸入頂點值G.vertices[i].firstarc = NULL;//初始化表頭結點的指針域為NULL}for (int k = 0;k < G.arcnum;++k)//輸入各邊，構造鄰接表，頭插法{cin >> v1 >> v2;//輸入一條邊依附的兩個頂點i = LocateVex(G, v1);j = LocateVex(G.v2);p1 = new ArcNode;//生成一個新的邊結點*p1p1->adjvex = j;//鄰結點序號為jp1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;//firstarc為空，所以nextarc也指向空，即最后的一個結點G.vertices[i].firstarc = p1;//將新結點*p1插入到頂點vi的邊表頭部p2 = new ArcNode;//生成一個新的邊結點*p2p2->adjvex = i;p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;//插入弧結點到單鏈表G.vertices[j].firstarc = p2;//將新結點*p2插入到頂點vi的邊表頭部}//頭插法return OK; }

5、鄰接矩陣與鄰接表的比較

練習：畫出有向圖G的鄰接矩陣、鄰接表、逆鄰接表

（三）十字鏈表(Orthogonal List)

十字鏈表是有向圖的另一種鏈式存儲結構，可以看成是將有向圖的鄰接表和逆鄰接表結合起來得到的一種鏈表

1、弧結點的結構

Tailvex:指示弧尾結點在圖中的位置
headtex:指示弧頭頂點在圖中的位置
hlink:是指向弧頭相同的下一條弧的指針
tlink：是指向弧尾相同的下一條弧的指針
Info:指向該弧的相關信息

/*弧結點的結構*/ typedef struct ArcBox {int tailvex, headvex;//該弧的尾和頭頂點的位置struct ArcBox* hlink, * tlink;//分別為弧頭相同和弧尾相同的弧的指針域InfoType* info;//該弧相關信息的指針 }ArcBox;

2、頂點結點的結構

每個頂點有一個結點，它相當于出邊表和入邊表的表頭結點。數據成員data存放與該頂點的相關信息。鏈域firstin指示以該頂點為弧頭的第一個弧結點。鏈域firstout指示以該結點為弧尾的第一個弧結點。

/*頂點結點的結構*/ typedef struct VexNode {VertexType data;ArcBox* firstin, * firstout;//分別指向該頂點第一條入弧和出弧 }VexNode; //ArcBox為弧結點變量

3、圖的結構定義

/*圖的結構定義*/ typedef struct {VexNode xlist[MAX_VERTEX_NUM];//表頭向量int vexnum, arcnum;//有向圖的當前頂點數和弧數 }OLGraph;

4、實例

5、有向圖G的十字鏈表

（四）鄰接多重表(Adjacent MultiList)

鄰接多重表是無向圖的另一種鏈式存儲結構，由于用鄰接表存儲無向圖時，雖然容易求出頂點和邊的各種信息，但在鄰接表中每一條邊有兩個結點，分別在第i和j個鏈表中，給圖的某些操作帶來不便，在鄰接多重表中，每一條邊只有一個邊結點，為有關的處理提供了方便。

1、邊結點的結構

mark：為標志域，可用以標記該條邊是否被搜索過
ivex和jvex為該邊依附的兩個頂點在圖中的位置
ilink:指向下一條依附于頂點的ivex的邊
jlink:指向下一條依附于頂點jvex的邊
info:為指向和邊相關的各種信息個指針域

/*邊結點結構*/ typedef struct EBox {VisitIf mark;//訪問標志域int ivex, jvex;//該邊依附的兩個頂點在表頭數組中的位置struct Ebox* ilink, * jlink;//分別指向依附于ivex和jvex的下一條邊InfoType* info; }EBox;

2、頂點結點的結構

/*頂點結點的結構*/ typedef struct VexBox {VertexType data;//存與頂點相關的信息EBox* firstedge;//指向第一條依附于該頂點的邊 }VexBox;

3、圖的結構定義

/*圖的結構定義*/ typedef struct {VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM];//表頭向量int vexnum, edgenum;//無向圖的當前頂點數和弧數 }OLGraph; //VexNode為頂點結點變量

4、實例

4、練習：畫出無向圖G的鄰接多重表

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构——图和图的存储结构】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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