“在這個小測驗里，我讓你們求一個2*3矩陣的行列式。讓我感到非常可笑的是，你們當中竟然有人嘗試去做。“（摘自http://mathprofessorquotes.com，作者佚名）

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一、空間變換

矩陣的乘法的幾何意義就是空間變換。

代表 經過M的變換后變成了 。考慮原空間中的所有向量所構成的空間 ，那么 ，也就是空間 經過 的變換變為了空間 。描述這種變換的一種淺顯易懂的方式就是用“網格”的變換。

如下圖，矩陣

將列向量 變為 。同時，圖片顯示了矩陣是如何變換空間的。

觀察矩陣如何變換空間的一種簡單的方法是看，變換矩陣

將 映射為什么。（這里默認原空間基向量為標準正交基）。例如上圖中變換矩陣 將 映射為 ，因此若在，原坐標系下坐標為 ,即，因此映射為 。計算的時候表示為：

因此從上式也可看出，矩陣乘法就是空間變換，是一種映射。

• 行列式

行列式

給出了由 表示的映射引起的縮放因子和方向。數值代表縮放因子，正負號代表變換的方向。當行列式等于1時，由 定義的線性變換是等值的和保持方向的。

如下圖：在二維空間中，行列式代表面積，行列式的值越大，代表變換對面積造成的影響越大。行列式若為負值代表空間發生了翻轉。

如果一個n階方陣的行列式為0，也就證明這個行列式不滿秩。也就是說組成行列式的列向量是線性相關的，那么這n個列向量張成的空間便是n維空間的一個投影，維度等于秩。

,變換 使得空間的維度被壓縮了，例如2維空間被壓縮為1維空間，如下圖。

• 非方陣

非方陣沒有行列式。按照空間變化，非方陣一定使得空間的維度發生了變化，無法衡量變換的大小，因此沒有行列式。

例如一個3*2的矩陣可以將一個二維平面的向量映射為三維空間中的一個平面上的向量。而一個2*3的矩陣可以將一個三維空間的向量映射為二維平面上的一個向量，考慮整個三維空間就是將原空間做了一個投影。

• 矩陣的逆

矩陣不一定存在逆。可以求逆的矩陣叫做可逆矩陣，也叫非奇異矩陣。矩陣為非奇異矩陣的充要條件是矩陣存在行列式且不為0。

可以這樣理解：矩陣的作用是空間變換，其實就類似于一個函數。（這里說映射更標準些）矩陣求逆就類似于求反函數。當矩陣為不存在行列式或者行列式為0時，代表變換發生了降維，其映射關系不是一對一的關系，是多對一的關系，因此無法求逆或沒有意義。例如上面那張圖所代表的變換把空間變為一條直線，但是從直線生成一個平面卻有無數種方法。

所代表的變換恰好是 變換的逆過程。下圖很好的說明了這一點。

求解

的幾何意義，就是找到一個向量x使得在A的變換下，x被映射為b。如果A為滿秩矩陣，則有唯一解 ，也就是對b施加逆變換即可找到x。

二、基變換

首先要有一個概念，我們用坐標來描述向量，那么首先要選取坐標系（類似于做物理題先選取參考系），而坐標系就是基向量的體現。因此我們對于向量、變換的描述都要說清楚是在什么基向量下進行的，同一個向量或者變換在不同的基向量下坐標不一定相同。

• 不同基下的向量變換

如下圖，從原點出發到黑點的向量可以用紅色和綠色的基向量表示。在綠色基向量表示下，此向量為

；在紅色基向量表示下，此向量為 。

這兩個坐標如何轉換呢？綠色的基向量為

,紅色的基向量為 。

若選擇

為基向量，則 ，那么在紅色基向量下的坐標可以如下轉化為在綠色基向量表達下的坐標。

。（

若選擇

為基向量，則 ，那么在綠色基向量下的坐標可以如下轉化為在紅色基向量表達下的坐標。

。（

其實 P,Q互逆，即

。

• 不同基下的空間變換

同一個變換在不同的基下也是不同的，例如有一個變換是逆時針旋轉90°。即將上圖空間變為下圖：

很容易看出在標準正交基下（綠色），此變換矩陣

。

那在紅色基向量下相同的旋轉變換

如何表示呢？

我們可以這樣想，對于紅色基向量表示的一個向量

，我們先將其轉換為用標準正交基表示（ ），然后在用 進行變換，然后再將其用紅色向量表示（ ），就能得到和直接用 對 變換一樣的效果。即

這說明了什么呢？對形如

的式子，它表示在不同基向量下同一個變換如何相互轉化。

有不清楚的，極力推薦大家去看這個視頻：

https://www.bilibili.com/video/av6731067/?p=13?www.bilibili.com

三、總結

• 聯系

如基變換中所說，上式可以看作是

變換到另一組基

在另一組基下施行空間變換

變換到原來的基

但是不可忘記最開始時候強調的矩陣乘法代表空間變換，因此拋開基變換也可以這樣考慮：上式代表了一種變換分解的思想：將變換

分解為連續三個變換 。

從這兩種角度理解，將有助于理解特征值分解和奇異值分解。

• 與特征值分解的關系

若選擇的基P恰好是A的特征向量，且能構成A的一組基，那么M就是對角矩陣，上式就是特征值分解。

那特征值和奇異值具體是什么呢？兩者之間又有什么關系呢？請看我的下一篇文章：

阿姆斯特朗：矩陣分析(二)：從特征值到奇異值?zhuanlan.zhihu.com

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參考：

[1]https://www.bilibili.com/video/av6731067

[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ker矩阵是什么意思_矩阵分析(一)：空间变换与基变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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