旋轉矩陣和平移向量描述了一個剛體在三維空間中的運動過程。雖然網上有大量的資料詳細講解了旋轉矩陣和平移向量的性質，但是，千篇一律，根本沒有講明白旋轉矩陣和平移向量到底是個什嘛東西！

1. 平移向量

由簡入難，先來看看平移向量是什嘛東西。

如圖所示，坐標系1和坐標系2平行但不重合，所以空間點從坐標系2到坐標系1的變換只有平移向量，用t表示。假設，坐標系2的原點O2在坐標系1中的坐標為(XO2 YO2 ZO2)，空間點P在坐標系2中的坐標為(X2 Y2 Z2)，則點P在坐標系1中的坐標(X1 Y1 Z1)為：

即，空間點從坐標系2到坐標系1的變換可以表示為：

其中，P1、P2分別為空間點P在坐標系1和坐標系2中的坐標，t為空間點從坐標系2變換到坐標系1的平移向量。從數值的角度分析，t與O2在坐標系1中的坐標相等，但是向量和點是完全不同的概念。二者之所以相等，是因為 在坐標系1中 平移向量t表示起始于原點終止于O2的向量。 注意：向量包含方向和大小，沒有坐標的概念，而且向量與坐標系無關，不會因為坐標系改變而改變。只有當我們在某個坐標系中去描述向量時，二者才產生聯系，此時我們默認向量的起點為該坐標系原點，然后才能用該向量終點在該坐標系中的坐標去表示該項量。我在上文中將文字“在坐標系1中”用黑斜體顯示，以強調這個概念。 總結一下：空間點從坐標系2變換到坐標系1的平移向量為

，在坐標系1中該向量的值與O2在坐標系1中的坐標相等。

2. 旋轉矩陣

接著我們再來說說旋轉矩陣。

2.1 點旋轉

你可能會很困惑：點旋轉是啥，其實我也不知道，有人這樣跟我說的，姑且就這樣叫吧，看完本節內容自然就明白了。

如圖所示，坐標系1和坐標系2原點重合但是不平行，所以空間點從坐標系2到坐標系1的變換只有旋轉矩陣，用R表示。空間點P在坐標系1和坐標系2中的坐標分別為P1、P2，則，

其中，旋轉矩陣

令，

則，

。 在坐標系2中取三個特殊點，并分別將其轉換到坐標系1中，則

也就是說，空間點從坐標系2到坐標系1的旋轉矩陣R的分量

、、分別為坐標系2的基底向量、、在坐標系O1中的表示。同理可證，旋轉矩陣R的分量、、分別為坐標系1的基底向量、、在坐標系O2中的表示。 總結一下：空間點從坐標系2到坐標系1的旋轉矩陣R的列分量本質上是坐標系2的X軸、Y軸和Z軸在坐標系1中的坐標，R的行分量本質上是坐標系1的X軸、Y軸和Z軸在坐標系2中的坐標。注意此處也存在向量坐標的問題，請參考平移向量部分。

2.2 旋轉向量和坐標系旋轉

在某些實際應用場景中，我們更關注的是某個隨時間變化的坐標系。比如，在一段時間內某個坐標系繞著一個軸旋轉了一個角度，沿著某個方向發生了一段位移。此時，旋轉矩陣是什么，又該如何求解？ 要回到這兩個問題，我們就需要先解決旋轉向量的本質是什么。 旋轉向量又被稱為軸角。軸指的是坐標系發生旋轉所繞的那個軸，它是旋轉向量單位化后的向量。而角指的是坐標系所旋轉的角度，大小為旋轉向量的模。通過羅德里格斯公式、李群李代數等，旋轉矩陣和旋轉向量可以相互轉化。

如圖所示，坐標系1繞向量

（Z軸，該項量在坐標系1中）旋轉（單位為弧度）得到坐標系2。則，旋轉向量為，通過羅德里格斯變換可以得到與之對應的旋轉矩陣：

但是，

是將坐標系2的點變換到坐標系1中，還是將坐標系1中的點變換到坐標系2中呢？先賣個關子，繼續往后看。根據2.1節的知識，只要我們求出坐標系2的坐標軸在坐標系1中的坐標系，就能得到空間點從坐標系2到坐標系1的變換矩陣。

所以，空間點從坐標系2到坐標系1的變換矩陣

為：

所以，

。也就是說，旋轉矩陣對應的旋轉向量是在坐標系1中表示的，該旋轉向量表示坐標系1經過該旋轉向量的旋轉后與坐標系2重合。充分理解了旋轉向量后，很容易就能解答前面遺留的問題。 總結：旋轉矩陣的列分量為坐標系2的坐標軸在坐標系1中的坐標（注意區分向量和坐標），行分量為坐標系1的坐標軸在坐標系2中的坐標，描述了空間點從坐標系2變換到坐標系1的過程；對應的旋轉向量是在坐標系1中描述的，表示坐標系1經過該旋轉向量的旋轉后與坐標系2重合。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ker矩阵是什么意思_深入理解旋转矩阵和平移向量的本质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。