旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量描述了一個(gè)剛體在三維空間中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。雖然網(wǎng)上有大量的資料詳細(xì)講解了旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量的性質(zhì)，但是，千篇一律，根本沒(méi)有講明白旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量到底是個(gè)什嘛東西！

1. 平移向量

由簡(jiǎn)入難，先來(lái)看看平移向量是什嘛東西。

如圖所示，坐標(biāo)系1和坐標(biāo)系2平行但不重合，所以空間點(diǎn)從坐標(biāo)系2到坐標(biāo)系1的變換只有平移向量，用t表示。假設(shè)，坐標(biāo)系2的原點(diǎn)O2在坐標(biāo)系1中的坐標(biāo)為(XO2 YO2 ZO2)，空間點(diǎn)P在坐標(biāo)系2中的坐標(biāo)為(X2 Y2 Z2)，則點(diǎn)P在坐標(biāo)系1中的坐標(biāo)(X1 Y1 Z1)為：

即，空間點(diǎn)從坐標(biāo)系2到坐標(biāo)系1的變換可以表示為：

其中，P1、P2分別為空間點(diǎn)P在坐標(biāo)系1和坐標(biāo)系2中的坐標(biāo)，t為空間點(diǎn)從坐標(biāo)系2變換到坐標(biāo)系1的平移向量。從數(shù)值的角度分析，t與O2在坐標(biāo)系1中的坐標(biāo)相等，但是向量和點(diǎn)是完全不同的概念。二者之所以相等，是因?yàn)?在坐標(biāo)系1中 平移向量t表示起始于原點(diǎn)終止于O2的向量。 注意：向量包含方向和大小，沒(méi)有坐標(biāo)的概念，而且向量與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，不會(huì)因?yàn)樽鴺?biāo)系改變而改變。只有當(dāng)我們?cè)谀硞€(gè)坐標(biāo)系中去描述向量時(shí)，二者才產(chǎn)生聯(lián)系，此時(shí)我們默認(rèn)向量的起點(diǎn)為該坐標(biāo)系原點(diǎn)，然后才能用該向量終點(diǎn)在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)去表示該項(xiàng)量。我在上文中將文字“在坐標(biāo)系1中”用黑斜體顯示，以強(qiáng)調(diào)這個(gè)概念。 總結(jié)一下：空間點(diǎn)從坐標(biāo)系2變換到坐標(biāo)系1的平移向量為

，在坐標(biāo)系1中該向量的值與O2在坐標(biāo)系1中的坐標(biāo)相等。

2. 旋轉(zhuǎn)矩陣

接著我們?cè)賮?lái)說(shuō)說(shuō)旋轉(zhuǎn)矩陣。

2.1 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

你可能會(huì)很困惑：點(diǎn)旋轉(zhuǎn)是啥，其實(shí)我也不知道，有人這樣跟我說(shuō)的，姑且就這樣叫吧，看完本節(jié)內(nèi)容自然就明白了。

如圖所示，坐標(biāo)系1和坐標(biāo)系2原點(diǎn)重合但是不平行，所以空間點(diǎn)從坐標(biāo)系2到坐標(biāo)系1的變換只有旋轉(zhuǎn)矩陣，用R表示。空間點(diǎn)P在坐標(biāo)系1和坐標(biāo)系2中的坐標(biāo)分別為P1、P2，則，

其中，旋轉(zhuǎn)矩陣

令，

則，

。 在坐標(biāo)系2中取三個(gè)特殊點(diǎn)，并分別將其轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系1中，則

也就是說(shuō)，空間點(diǎn)從坐標(biāo)系2到坐標(biāo)系1的旋轉(zhuǎn)矩陣R的分量

、、分別為坐標(biāo)系2的基底向量、、在坐標(biāo)系O1中的表示。同理可證，旋轉(zhuǎn)矩陣R的分量、、分別為坐標(biāo)系1的基底向量、、在坐標(biāo)系O2中的表示。 總結(jié)一下：空間點(diǎn)從坐標(biāo)系2到坐標(biāo)系1的旋轉(zhuǎn)矩陣R的列分量本質(zhì)上是坐標(biāo)系2的X軸、Y軸和Z軸在坐標(biāo)系1中的坐標(biāo)，R的行分量本質(zhì)上是坐標(biāo)系1的X軸、Y軸和Z軸在坐標(biāo)系2中的坐標(biāo)。注意此處也存在向量坐標(biāo)的問(wèn)題，請(qǐng)參考平移向量部分。

2.2 旋轉(zhuǎn)向量和坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)

在某些實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，我們更關(guān)注的是某個(gè)隨時(shí)間變化的坐標(biāo)系。比如，在一段時(shí)間內(nèi)某個(gè)坐標(biāo)系繞著一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，沿著某個(gè)方向發(fā)生了一段位移。此時(shí)，旋轉(zhuǎn)矩陣是什么，又該如何求解？ 要回到這兩個(gè)問(wèn)題，我們就需要先解決旋轉(zhuǎn)向量的本質(zhì)是什么。 旋轉(zhuǎn)向量又被稱為軸角。軸指的是坐標(biāo)系發(fā)生旋轉(zhuǎn)所繞的那個(gè)軸，它是旋轉(zhuǎn)向量單位化后的向量。而角指的是坐標(biāo)系所旋轉(zhuǎn)的角度，大小為旋轉(zhuǎn)向量的模。通過(guò)羅德里格斯公式、李群李代數(shù)等，旋轉(zhuǎn)矩陣和旋轉(zhuǎn)向量可以相互轉(zhuǎn)化。

如圖所示，坐標(biāo)系1繞向量

（Z軸，該項(xiàng)量在坐標(biāo)系1中）旋轉(zhuǎn)（單位為弧度）得到坐標(biāo)系2。則，旋轉(zhuǎn)向量為，通過(guò)羅德里格斯變換可以得到與之對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣：

但是，

是將坐標(biāo)系2的點(diǎn)變換到坐標(biāo)系1中，還是將坐標(biāo)系1中的點(diǎn)變換到坐標(biāo)系2中呢？先賣個(gè)關(guān)子，繼續(xù)往后看。根據(jù)2.1節(jié)的知識(shí)，只要我們求出坐標(biāo)系2的坐標(biāo)軸在坐標(biāo)系1中的坐標(biāo)系，就能得到空間點(diǎn)從坐標(biāo)系2到坐標(biāo)系1的變換矩陣。

所以，空間點(diǎn)從坐標(biāo)系2到坐標(biāo)系1的變換矩陣

為：

所以，

。也就是說(shuō)，旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)向量是在坐標(biāo)系1中表示的，該旋轉(zhuǎn)向量表示坐標(biāo)系1經(jīng)過(guò)該旋轉(zhuǎn)向量的旋轉(zhuǎn)后與坐標(biāo)系2重合。充分理解了旋轉(zhuǎn)向量后，很容易就能解答前面遺留的問(wèn)題。 總結(jié)：旋轉(zhuǎn)矩陣的列分量為坐標(biāo)系2的坐標(biāo)軸在坐標(biāo)系1中的坐標(biāo)（注意區(qū)分向量和坐標(biāo)），行分量為坐標(biāo)系1的坐標(biāo)軸在坐標(biāo)系2中的坐標(biāo)，描述了空間點(diǎn)從坐標(biāo)系2變換到坐標(biāo)系1的過(guò)程；對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)向量是在坐標(biāo)系1中描述的，表示坐標(biāo)系1經(jīng)過(guò)該旋轉(zhuǎn)向量的旋轉(zhuǎn)后與坐標(biāo)系2重合。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的ker矩阵是什么意思_深入理解旋转矩阵和平移向量的本质的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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