证明ker f是H中的闭线性子空间（f是连续有界线性泛函）
證明ker f是H中的閉線性子空間（f是連續有界線性泛函）
題目：
設f∈H?f \in H^{*}f∈H?，證明：kerfker \ fker?f是HHH中的閉線性子空間。
證明：
因為H?H^{*}H?是連續線性泛函空間，f∈H?f \in H^{*}f∈H?是連續線性泛函。
其中，kerf={x∣f(x)=0}ker \ f=\{x|f(x)=0\}ker?f={x∣f(x)=0}，
?x,y∈kerf\forall x,y \in ker \ f?x,y∈ker?f，設z=ax+byz = ax+byz=ax+by，a,ba,ba,b屬于系數域，則：
f(z)=af(x)+bf(y)=a?0+b?0=0f(z)=af(x)+bf(y)=a*0+b*0=0 f(z)=af(x)+bf(y)=a?0+b?0=0
所以，z∈kerfz \in ker \ fz∈ker?f，即kerfker \ fker?f是線性子空間。
設xi∈kerf,i=1,2,...x_i \in ker \ f,i=1,2,...xi?∈ker?f,i=1,2,...，且xi→y(y∈H)x_i \rightarrow y(y \in H)xi?→y(y∈H).
因為fff連續，所以f(xi)→f(y)f(x_i) \rightarrow f(y)f(xi?)→f(y)而f(xi)=0f(x_i)=0f(xi?)=0，故有f(y)=0f(y)=0f(y)=0。
所以y∈kerfy \in ker \ fy∈ker?f，即：kerfker \ fker?f是閉集。
綜上：kerfker \ fker?f是HHH的閉線性子空間。
總結
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