初等矩陣的一般形式

我們先上一個(gè)初等矩陣的直觀的例子。

我們?cè)凇毒€性代數(shù)》這門課程中所學(xué)的初等陣是指單位陣經(jīng)過初等變換之后所得到的矩陣，下面我們給出更高級(jí)的定義：

下面我們對(duì)重新定義的初等矩陣就其性質(zhì)進(jìn)行學(xué)習(xí)：

性質(zhì)2所要表達(dá)的意思是，如果u和v垂直，那么1是初等陣的n重特征值，如果u和v不垂直，1是初等陣的n-1重特征值。

事實(shí)上，所有的初等變換矩陣，都可以寫成E(u，v；

)的形式。

初等酉陣

定義：設(shè)

H(u)=E(u，u；2)= 稱為初等酉陣，或Householder矩陣。

這里我們可以將u看成是單位列向量，由定義我們可以看出初等酉矩陣實(shí)際上就是一種特殊的初等矩陣。也就是在酉空間里定義初等陣。

我們下面來討論一下初等酉陣的性質(zhì)。

對(duì)于正交陣我們有

類比的，對(duì)于酉矩陣我們有

對(duì)于初等酉矩陣而言，我們?nèi)菀籽堇[而得

，只需按照定義帶入即可驗(yàn)證。酉矩陣對(duì)我們而言并不應(yīng)當(dāng)是陌生的，他只是《線性代數(shù)》中的正交陣的一個(gè)推廣。

下面我們具體討論一下這個(gè)Householder變換的一些特性

對(duì)于第（1）條性質(zhì)，我們可以根據(jù)對(duì)稱陣的性質(zhì)加以理解，下面我們重點(diǎn)說一下性質(zhì)（2），鏡像變換性質(zhì)在之前沒有碰見過。

鏡像變換就像照鏡子一樣，具有很好的對(duì)稱性。這是一個(gè)很好的性質(zhì)，將來肯定有很多奇特的用處。我們現(xiàn)在具體說一下：

此圖就是該性質(zhì)的幾何解釋。我們來證明一下：

對(duì)于Householder變換我們有如下特性：

酉變換與酉矩陣

在具體介紹酉變換之前我們還是先正交陣。

正交陣構(gòu)成的線性變換稱之為正交變換：y=Qx

類比我們有：酉矩陣構(gòu)成的線性變換稱之為酉變換。

對(duì)于正交變換所具有的性質(zhì)，通常酉變換也會(huì)具有類似的性質(zhì)，我們下面具體說一下：

（1）保內(nèi)積不變

（2）保長(zhǎng)度不變

（3）保向量夾角不變

由保內(nèi)積不變和保長(zhǎng)度不變，我們可以知正交變換保向量夾角不變。

（4）保形狀不變

綜上我們有保形狀不變。

我們?cè)诳臻g中之所以要引入內(nèi)積的概念是為了方便對(duì)空間中的長(zhǎng)度、夾角和距離進(jìn)行度量。因此定義內(nèi)積的方法并不唯一，內(nèi)積定義不一定是要對(duì)應(yīng)元素相乘相加。我們之前所說的內(nèi)積實(shí)際上是笛卡爾積，還是許多其他定義內(nèi)積的方法。

我們可以在任意C[a,b]上定義內(nèi)積（C：constant連續(xù)）

C[a,b]在閉區(qū)間[a,b]上所有連續(xù)函數(shù)的全體，構(gòu)成了線性空間。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的ker矩阵是什么意思_第五课：初等矩阵及酉矩阵的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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