初等矩陣的一般形式

我們先上一個初等矩陣的直觀的例子。

我們在《線性代數》這門課程中所學的初等陣是指單位陣經過初等變換之后所得到的矩陣，下面我們給出更高級的定義：

下面我們對重新定義的初等矩陣就其性質進行學習：

性質2所要表達的意思是，如果u和v垂直，那么1是初等陣的n重特征值，如果u和v不垂直，1是初等陣的n-1重特征值。

事實上，所有的初等變換矩陣，都可以寫成E(u，v；

)的形式。

初等酉陣

定義：設

H(u)=E(u，u；2)= 稱為初等酉陣，或Householder矩陣。

這里我們可以將u看成是單位列向量，由定義我們可以看出初等酉矩陣實際上就是一種特殊的初等矩陣。也就是在酉空間里定義初等陣。

我們下面來討論一下初等酉陣的性質。

對于正交陣我們有

類比的，對于酉矩陣我們有

對于初等酉矩陣而言，我們容易演繹而得

，只需按照定義帶入即可驗證。酉矩陣對我們而言并不應當是陌生的，他只是《線性代數》中的正交陣的一個推廣。

下面我們具體討論一下這個Householder變換的一些特性

對于第（1）條性質，我們可以根據對稱陣的性質加以理解，下面我們重點說一下性質（2），鏡像變換性質在之前沒有碰見過。

鏡像變換就像照鏡子一樣，具有很好的對稱性。這是一個很好的性質，將來肯定有很多奇特的用處。我們現在具體說一下：

此圖就是該性質的幾何解釋。我們來證明一下：

對于Householder變換我們有如下特性：

酉變換與酉矩陣

在具體介紹酉變換之前我們還是先正交陣。

正交陣構成的線性變換稱之為正交變換：y=Qx

類比我們有：酉矩陣構成的線性變換稱之為酉變換。

對于正交變換所具有的性質，通常酉變換也會具有類似的性質，我們下面具體說一下：

（1）保內積不變

（2）保長度不變

（3）保向量夾角不變

由保內積不變和保長度不變，我們可以知正交變換保向量夾角不變。

（4）保形狀不變

綜上我們有保形狀不變。

我們在空間中之所以要引入內積的概念是為了方便對空間中的長度、夾角和距離進行度量。因此定義內積的方法并不唯一，內積定義不一定是要對應元素相乘相加。我們之前所說的內積實際上是笛卡爾積，還是許多其他定義內積的方法。

我們可以在任意C[a,b]上定義內積（C：constant連續）

C[a,b]在閉區間[a,b]上所有連續函數的全體，構成了線性空間。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ker矩阵是什么意思_第五课：初等矩阵及酉矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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