由于種種原因要惡補一下微分流形和黎曼幾何，吸取一下“前輩”們的經驗，也希望大家能提供一些更好的經驗！



1 自幾何佳緣

在這方面我是很有感受的。我整理了一些心得筆記，打算以后給學生上課的時候，把這些內功心法傳授給他們。

這里先隨便講兩句。 如果樓主想聊聊的話，可以寫信到我的百度郵箱。

以前研究生時候，我學過微分幾何，用的是陳維桓那本。 但是學了之后還是不得要領。因為我們的老師只是照著書念，根本沒有講出精髓來。直到后來，我重學的時候，才恍然大悟，接下來可以說是一通百通。

到底是怎么回事呢？且待我慢慢道來。

(I) 首先我這次選的書非常好--可以說是機緣巧合。 我用的書是侯伯宇《物理學家用的微分幾何》。
這本書有幾個特點：它講述概念非常直觀簡潔，而且會告訴你這些概念的物理北景； 對重要的定理結論，它不給證明，但是會詳細解釋它的幾何意義和物理意義。初學者看此書是非常省力的。

忠告：如果你初學微分幾何，千萬不要看陳省身和陳維桓的《微分幾何講義》，這本書已經是高度提煉了。你沒有好的幾何背景根本不能消化--比如聯絡那一章就是。


(II)其次， 侯的《物》里說了一段話，使我頓悟微幾的關鍵所在。 他告訴我們，微分幾何的概念結論等等都是在一個原則下展開的： 所討論的東西都要與坐標選取無關。書中引用愛因斯坦一段話，說愛氏花了7年之功才建立廣義相對論，其原因就在于他一直努力擺脫坐標系的困擾。

忠告： 不管你學到哪個概念，你一定要牢牢記住這個原則。 舉例來說，為什么定義切空間和與切空間要這么大費周章從等價類入手？就是因為它要讓定義出來的東西和坐標無關。 明白這個原則，基本上就越過了學微幾的第一道坎。后面可說是事半功倍。


(III) 學微幾的另一個重要原則就是： 內蘊的思想。 你碰到的所有概念和結論都是內蘊的。就是說他們只和這個流形有關，和流形所在的大空間無關。 這和本科的《曲面微分幾何》不同，那里定義的東西常常是在3維空間里看的。

忠告： 牢記這個原則！ 在你學了公理化定義的聯絡以及黎曼度量以后，再回過頭來看，就會明白為什么人家煞費苦心來做這些事。


(IV)理解切空間和與切空間，以及他們的張量，是微分幾何入門的關鍵！
記住上面講的原則，你再去看一遍體會體會就會領悟的。 這里不再多講。

我只想說說張量。 如果看陳省身和陳維桓的《微分幾何講義》，那你對張量的理解永遠只是表面，你最多只知道他的代數定義。 為什么我們要在微幾里討論張量呢？ 你要是不知道很多背景，就不能體會其用意。

比如黎曼度量， 他就是一個二階張量。首先你要明白二階張量不過就是矩陣！ 一般的張量不過是矩陣的推廣！你回憶一下，向量可以看作一個1維數組，矩陣可以看作2維表格，那么3維表格不就是3階張量嗎？

所以無非是要造一個在流形上處處有定義的矩陣，并且這個矩陣和坐標無關。怎么才叫和坐標無關呢？ 這就引出了我們說的協變規律反變規律等等。

然后你在回憶一下，我們在曲面微分幾何里怎么定義度量，那時候曲面的度量就是3維空間度量限制在它上面，這不是內蘊的方式。
所以人們要繞個彎子，從張量上來重新定義度量，因為張量是內蘊概念，只和這個流形有關。

上面的說明就是要你看到，我說的這兩個原則是怎么始終貫穿在學習理解中的。

(V) 學習聯絡又是一個很難過的坎。 你要是直接看那種公理化的定義，最多只能像大多數人一樣，只會背誦“法律條文”。 這個時候，你要先去看那種不是內蘊的定義方式。 然后你才會真正明白聯絡的幾何意義，知道人家為什么這么做。 公理化定義只是為了滿足我剛才說的兩個原則。

你可以參看《黎曼幾何講義》作者記不大清了，好像有一個姓白（白正國）。 封面是藍色的，版本較舊。 這本書寫的聯絡一章非常好。



(VI)過了這幾關，基本上可以輕松讀完陳維桓的那本書。 微分幾何真正困難的東西，初學者是學不到的。初學者的困難就在于沒有真正把握住我說的那兩條原則。

上面說的都是我的經驗之談，我就是這么學過來的。



黎曼幾何的切入口(http://physt.org/bbs/viewthread.php?tid=95)

一般從直觀的角度來說，要研究線的彎曲起碼要在二維空間才能進行。（如果是非平面曲線還得在三維空間里）同樣面的彎曲只能在三維空間里才能直觀地研究。即便如此，三維空間的彎曲還是直觀不起來了。因為四維以上的空間無法用圖表示。當然用相應的類比還是可以進行研究的。
要研究N維空間的彎曲是否至少要在N＋1維空間里才能進行呢?
極而言之，現在假設有一個最高是N維的空間，如果比N維的維數少的空間的彎曲情況還可以在N維空間里研究的話，那么N維空間的彎曲，由于沒有更高維的空間，如何研究呢？
在N維空間里研究N維空間自身的彎曲看來只能是另辟蹊徑了。
如果不借助更高維空間，僅通過空間自身的“努力”來研究彎曲的話，那你相對于黎曼幾何的殿堂已經可以說是登堂入室了。
此話怎講。
眾所周知，在歐幾里德空間里，一個矢量作平行移動“兜”一個圈回到原處，這個矢量的大小和方向都不會發生變化。這因為歐幾里德空間是平直空間。
那么在一個彎曲的空間里對矢量這樣作是否會發生某種變化呢？回答是肯定的！不僅如此，還可以根據其大小和方向變化的多少來判斷空間彎曲的程度和特性。換句話說，我們只要將某個矢量在N維空間里“兜”個圈，研究矢量的變化就可知曉此N維空間的彎曲的情況啦?？?#xff01;研究N維空間的彎曲不必借助N+1維空間。
關于矢量大小和方向的變化先分開來討論比較方便。
關于矢量方向的變化至少和一個叫“仿射聯絡”的量有關。如該空間是平直的，那么“仿射聯絡”量必為零。如果該空間的“仿射聯絡”不為零，則該空間就是彎曲的。不過，大家可要當心！“仿射聯絡”為零，該空間可不一定是平直的。因為“仿射聯絡”量不是一個張量。一個“仿射聯絡”不為零的空間可以通過坐標變換使它在空間的某個“局部”為零。
關于矢量大小的變化則和一個叫度規張量的量有關。一般來說，在彎曲空間里矢量在平移時起碼大小是變化的。這個度規張量可以反映空間的種種特性。當這個量與坐標和時間有關時，那么該空間不僅是彎曲的而且是“蠕動”的。
“仿射聯絡”與度規張量似乎都能反映空間的彎曲，那么它們之間有什么關系呢？研究表明，度規張量可以完全確定“仿射聯絡”。但是“仿射聯絡”則不一定完全確定度規張量。為此，我們把度規張量看成是最基本的，并假設“仿射聯絡”總可以由度規張量計算出來。
在研究矢量平移的變化過程中發現這種變化還和平移的路徑有關，由于路徑的不同又會引起額外的變化。（事情變得更為復雜了）這個額外的變化與一個叫曲率張量的量有關。曲率張量是唯一可以由度規張量的二階導數的線性組合而構成的張量。此外如果該空間過分“七翹八扭”則還得考慮“撓率張量”等等。
關于曲率張量按理應該大書特書一番。由于牽涉面過于復雜，只能點到為止。通過對牛頓引力方程的合理推廣、廣義相對論及對曲率張量的特定組合，愛因斯坦得出了一個有名的“上帝的方程式”——愛因斯坦方程！
黎曼幾何竟和廣義相對論掛上了鉤。
愛因斯坦方程就是引力場方程。于是一切就順理成章了，愛因斯坦方程決定度規張量（物質決定度規張量）——度規張量決定曲率張量——曲率張量決定空間彎曲——度規張量決定仿射聯絡——仿射聯絡決定物質運動——……
順便提一下仿射聯絡的“局部”為零的參考系相當于引力場中自由降落的升降機。撓率張量的物理效應并不顯著，在這方面已經有人做過點“文章”了，看來意義不大。
無論“維相”還是“反相”要想繞過黎曼幾何幾乎是不可能的。

本文引用地址： http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=333317

總結

以上是生活随笔為你收集整理的微分流形与黎曼几何学习笔记（转）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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