1.同胚

?同胚的概念是拓?fù)鋵W(xué)中的基本概念，同胚指在說明拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)間的同構(gòu)關(guān)系，在拓?fù)鋵W(xué)中，這是一種最基本的等價(jià)關(guān)系。

定義1（同胚）：如果存在$X$到$Y$的雙射$f$，使得$X$和$Y$的開集互換，即對(duì)于$X$的任意開集$A$，$f(A)$為$Y$的開集，而對(duì)于$Y$的任意開集$B$，$f^{?1}(B)$為$X$的開集，這兩個(gè)拓?fù)淇臻g是同構(gòu)的，這種同構(gòu)被稱作為同胚。在拓?fù)鋵W(xué)中，兩個(gè)流形，如果可以通過彎曲，延展，剪切（只要最終完全沿著當(dāng)初剪開的縫隙在重新粘貼起來）等操作把其中的一個(gè)變?yōu)榱硪粋€(gè)，則認(rèn)為兩者同胚。

性質(zhì)1（同胚）：兩個(gè)拓?fù)淇臻g$\{X,T_X\}$和$\{Y,T_Y\}$之間的函數(shù)$f:X\to Y$稱為同胚，如果它具有下列的性質(zhì)：

• $f$是雙射（單射和滿射）
• $f$是連續(xù)的
• 反函數(shù)$f$也是連續(xù)的

定理1：為使空間$X$到$Y$上的雙射$f$是同胚，必須且只需它是雙方連續(xù)的，即$f$和$f^{?1}$都連續(xù)的。

同胚的實(shí)例有：

• ${\mathbb{R}}^n$中的位移是${\mathbb{R}}^n$到${\mathbb{R}}^n$上的同胚：$x\to \lambda x+a(\lambda )$
• $\mathbb{R}$內(nèi)的單位圓盤$D$和單位正方形是同胚的
• 開區(qū)間$(?1,1)$與實(shí)直線$\mathbb{R}$是同胚的。

2.微分流形

?假設(shè)${\mathbb{R}}^n$是$n$維歐氏空間，點(diǎn)$p\in {\mathbb{R}}^n$的第$i$個(gè)坐標(biāo)記為$(p{)}^i$，即$({)}^i$是${\mathbb{R}}^n$中的第$i$個(gè)坐標(biāo)函數(shù)。

定義2（微分流形）:設(shè)$M$是一個(gè)$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{f}$拓?fù)淇臻g，若$M$的每一個(gè)點(diǎn)$p$都有一個(gè)開鄰域$U?M$，使得$U$和$n$維歐氏空間${\mathbb{R}}^n$中的一個(gè)開子集是同胚的，則稱$M$是一個(gè)$n$維拓?fù)淞餍?#xff0c;簡(jiǎn)稱為$n$維流形。

定義2中所提到的同胚是$\phi :U\to \phi (U)?{\mathbb{R}}^n$，其中$\phi (U)$是${\mathbb{R}}^n$中的開集，則稱$(U,\phi )$為流形$M$的一個(gè)坐標(biāo)卡， 并且把象點(diǎn)$\phi (p)$在${\mathbb{R}}^n$中的坐標(biāo)$(\phi (p){)}^i$稱為點(diǎn)$p\in U$的坐標(biāo)，記為$x^i(p)=(\phi (p){)}^i$（嚴(yán)格地說，坐標(biāo)$x^i$依賴于同胚$\phi$，因此應(yīng)該記為$x_{\phi }^i$）。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的同胚和微分流形的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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