取K行取K列勾成的行列式就叫K階子式

取第一行第二行，第三列第四列得二階子式

1 1 1 1

2 3 4 5

6 1 4 9

任取一行一列獲得一階子式

但你發現當取三行三列的時候，行列式的值為0

比如:?其值為1*4*9+1*5*1+1*3*4-1*4*1-1*3*9-1*5*4=36+5+12-4-29-20=0

所以其非零子式的最高階數為2階，也叫秩。

0矩陣的秩等于0

r(0)=0

矩陣的秩 r(A)一定是 0r(A)min(M,N)(取m行，n列中較小的值)

如果r(A)=M，則為行滿秩。

如果r(A)=N，則為列滿秩。

統稱為滿秩

如果 r(A)<MIN(M,N),則為降秩

A是方陣，A如果是滿秩，則A可逆，則的行列式不等于0。

r(A)=r?有一個r階子式不為0，而所有的r+1子式都為0。

如果某一階的子式等于0，則它的高階子式肯定都等于0。

例：

=3? 如果6行8列的矩陣的秩是3，則第四階第五階，第六階肯定都為0，不存在四階子式是0，而五階或六階子式不為0的情況。

階梯型矩陣

若有零行，則零行在非零行的下邊。

比如

左起的第一個非零元素的左邊零的個數隨行數增加而嚴格增加

第一行0個數為0

第二行0個數為1

第三行0個數為3，隨著行數增加而增加，滿足條件，所以是階梯型矩陣

行簡化階梯型

首非零元素為1，

首非零元素所在的列的其余元素為0

如：

那么秩和階梯型有什么用呢?

1.找出首非零元素，以這三行做一個三階子式

0

矩陣的秩等于非0行的行數。?

初等變換不改變矩陣的秩。

如果遇到不是階梯型，可以通過初等變換，化成階梯型。非零行有幾行，它的秩就是幾。

將上面矩陣第一行*-2加到第二行，然后第一行*-3加到第三行，得

然后第三行*-1加到第四行，接著第二行*1加到第四行，最后第二行和第三行交換得

即得非零行有三行，即它的秩為r(A)=3

性質一:A的秩和A轉置的秩相等

r(A)=r()

性質二：任意矩陣乘以可逆矩陣，秩不變

Am*n 矩陣? ，P是M的可逆方陣，Q是N的可逆方陣。

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)??

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数之矩阵的秩(2)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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