1 生成子空間的定義

給定數(shù)域$P$上的線性空間$V$中的一組向量${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$，我們希望得到一個$V$的子空間$W$，使得$W$中包含向量${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$， 那么$W$應(yīng)該是怎樣的呢？

由線性空間對數(shù)乘運(yùn)算的封閉性，我們知道，下面的這些向量應(yīng)該在$W$中：$k_i{\alpha }_i,i=1,2,?,r.$

又由于線性空間對加法封閉，所以$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+?+k_r{\alpha }_r$也在$W$中.

于是我們得到下面的集合：

$$W=\{k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+?+k_r{\alpha }_r|{\alpha }_i\in V,k_i\in P\}.$$

可以證明，$W$對加法和數(shù)乘封閉：

$?\alpha ,\beta \in W,?\lambda \in P,$ 不妨設(shè)，

$$\alpha =\sum _{i=1}^r{k}_i{\alpha }_i,\beta =\sum _{i=1}^r{l}_i{\alpha }_i,$$

因?yàn)?#xff0c;

$$\alpha +\beta =\alpha =\sum _{i=1}^r(k_i+l_i){\alpha }_i\in W,$$
$$\lambda \alpha =\alpha =\sum _{i=1}^r\lambda k_i{\alpha }_i\in W,$$

所以，$W$對加法和數(shù)乘封閉，從而是滿足條件的$V$的子空間。

定義 給定數(shù)域$P$上的線性空間$V$中的一組向量${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$，由這組向量的一切可能的線性組合構(gòu)成的集合$W$是$V$的子空間，稱之為由向量${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$生成的子空間，記為$L({\alpha }_1,?,{\alpha }_r)$。${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$稱為$W=L({\alpha }_1,?,{\alpha }_r)$的一組生成元。

2 生成子空間的交空間

例 1 在$R^3$中，設(shè)$i,j,k$為直角坐標(biāo)系$oxyz$中三個坐標(biāo)軸上的單位向量。令$V_1=L(i,j),V_2=L(j,k)$, 則$V_1\cap V_2=L(j).$

直觀解釋： $V_1$是$xoy$平面，$V_2$是$yoz$平面, 而$V_1\cap V_2=L(j)$是$y$軸。

例 2 已知在4元有序數(shù)組空間$P^4$中，
$${\alpha }_1=(1,2,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(?1,1,1,1{)}^T,$$

$${\beta }_1=(2,?1,0,1{)}^T,{\beta }_2=(1,?1,3,7{)}^T,$$

求$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)\cap L({\beta }_1,{\beta }_2)$的基和維數(shù)。

分析： 找出交空間中的任意一個向量的表達(dá)式，可以看出它是有哪些向量生成的，就可以找到交空間的一組基。

解： 設(shè)$?\alpha \in L({\alpha }_1,{\alpha }_2)\cap L({\beta }_1,{\beta }_2),$那么，

$$\alpha =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2=x_3{\beta }_1+x_4{\beta }_2,$$

從而，

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2?x_3{\beta }_1?x_4{\beta }_2=0,$$

為了解岀這個方程組，令其系數(shù)矩陣為，

$$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1,{\alpha }_2,?{\beta }_1,?{\beta }_2\end{array}\right)$$

$$A=?\begin{array}{cccc}1& ?1& ?2& ?1\\ 2& 1& 1& 1\\ 1& 1& 0& ?3\\ 0& 1& ?1& ?7\end{array}?\to ?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& ?4\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}?,$$

所以，

$$?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}?=t?\begin{array}{c}?1\\ 4\\ ?3\\ 1\end{array}?,t\in P.$$

將$x_1=?t,x_2=4t$代入表達(dá)式$\alpha =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2,$得

$$\alpha =t(?{\alpha }_1+4{\alpha }_2)=t?\begin{array}{c}?5\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}?,$$

$$\eta =?\begin{array}{c}?5\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}?$$

由于$\alpha$是交空間中的任意向量，它被表示成了一個向量$\eta$的線性組合，于是 $\eta$ 就是交空間 $L({\alpha }_1,{\alpha }_2)\cap L({\beta }_1,{\beta }_2)$的基，維數(shù)等于1。

注： 事實(shí)上，$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)\cap L({\beta }_1,{\beta }_2)=L(\eta ).$

3 生成子空間的和空間

例 3 已知在4元有序數(shù)組空間$P^4$中，
$${\alpha }_1=(1,2,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(?1,1,1,1{)}^T,$$

$${\beta }_1=(2,?1,0,1{)}^T,{\beta }_2=(1,?1,3,7{)}^T,$$

求和空間$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)+L({\beta }_1,{\beta }_2)$的基和維數(shù)。

分析： 由和空間的公式：$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)+L({\beta }_1,{\beta }_2)=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2),$ 所以和空間$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)+L({\beta }_1,{\beta }_2)$的基和維數(shù)就可以轉(zhuǎn)化為求$L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2)$的一組基和維數(shù)。

解： 因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)+L({\beta }_1,{\beta }_2)=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2),$ 為了求$L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2)$的一組基，令

$$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2\end{array}\right),$$

$$A=?\begin{array}{cccc}1& ?1& 2& 1\\ 2& 1& ?1& ?1\\ 1& 1& 0& 3\\ 0& 1& 1& 7\end{array}?\to ?\begin{array}{cccc}1& ?1& 2& 1\\ 0& 1& 1& 7\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}?,$$

所以，$r(A)=3$, $A$的極大無關(guān)組為${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1$，即

和空間$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)+L({\beta }_1,{\beta }_2)$的一組基為${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1$，維數(shù)為3。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的生成子空间的交空间与和空间的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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