行階梯矩陣非零行的首非零元(個數=非零行數)所在的列是線性無關的, 且其余向量可由它們線性表示。

所以它們是A的列向量組的一個極大無關組。

所以A的列秩 = 非零行的行數

所以A的秩 = 非零行的行數

舉例：

比如 A = (a1,a2,a3,a4) 經過初等行變換化成

1 ?2 ?3 ?4

0 ?0 ?1 ?5

0 ?0 ?0 ?0

那么 a1,a3 是線性無關的 ?[ 即行階梯矩陣非零行的首非零元所在的列是線性無關的]

這個線性無關組含向量的個數是梯矩陣的非零行數

再把梯矩陣化成行簡化梯矩陣

1 ?2 ?0 ?-11

0 ?0 ?1 ?5

0 ?0 ?0 ?0

就可能看出 a2 = 2a1, a4 = -11a1 + 5a3

即 a2,a4 可由a1,a3 線性表示

所以 a1,a3 是 a1,a2,a3,a4 的極大無關組

即 A 的列秩 = 2 ?(非零行數)

所以 A 的秩 = 2 ?(非零行數)

擴展資料：

在線性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數目。類似地，行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。通俗一點說，如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關組中所含向量的個數。

在m*n矩陣A中，任意決定k行和k列交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。

例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式?就是矩陣A的一個2階子式。

A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A的秩，記作rA，或rankA或R(A)。

特別規定零矩陣的秩為零。

顯然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一個r階子式不等于零，且在r

由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(A)≠0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。

由行列式的性質1(1.5[4])知，矩陣A的轉置AT的秩與A的秩是一樣的。

矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb};

當r(A)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。

當r(A)<=n-1時，最高階非零子式的階數<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零(等號成立時伴隨陣必為非零)。

總結

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