數(shù)字三角形（進(jìn)階版）

問(wèn)題描述
　　（圖３.１－１）示出了一個(gè)數(shù)字三角形。 請(qǐng)編一個(gè)程序計(jì)算從頂至底的某處的一條路
　　徑，使該路徑所經(jīng)過(guò)的數(shù)字的總和最大。
　　●每一步可沿左斜線向下或右斜線向下走；
　　●1＜三角形行數(shù)≤100；
　　●三角形中的數(shù)字為整數(shù)0，1，…99；

文件中首先讀到的是三角形的行數(shù)。
接下來(lái)描述整個(gè)三角形
輸出格式：
最大總和（整數(shù)）
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5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
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30
1、首先我們考慮能否使用搜索去做，因?yàn)?strong>每一步可沿左斜線向下或右斜線向下走，也就是說(shuō)我們到達(dá)了一個(gè)位置（i，j)，接著可以到達(dá)（i+1，j)或者（i+1，j+1)；那么根據(jù)這個(gè)規(guī)律，就可以進(jìn)行遞歸搜索，代碼如下：

#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> #include <math.h> using namespace std; int val[101][101]; int n,ans,cnt;//ans位搜索的最大值，cnt為當(dāng)前最大值 void dfs(int i,int j)//從（i，j)開(kāi)始向下搜索 {if(i==n+1)//最后一行，終止條件{if(cnt>ans){ans=cnt;}return;}cnt+=val[i][j];//加上當(dāng)前位置的數(shù)值dfs(i+1,j);dfs(i+1,j+1);cnt-=val[i][j]; } int main() {cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>val[i][j];}} dfs(1,1);cout<<ans;return 0; }

復(fù)雜度很明顯是2的n次方，時(shí)間很容易超限
原因分析如下：
當(dāng)我們要計(jì)算（i,j)這個(gè)位置時(shí)，這個(gè)位置是由（i-1,j)轉(zhuǎn)移過(guò)來(lái)的，我們已經(jīng)求出了所有的（i.j)下面的位置，我們向上返回到（i-1,j)這個(gè)位置，我們向下就到達(dá)了（i，j+1）。我們發(fā)現(xiàn)（i,j)可以到達(dá)（i+1,j+1)并且（i,j+1)也可以到達(dá)（i+1,j+1)。那么（i+1,j+1)這個(gè)點(diǎn)我們就計(jì)算了兩次，會(huì)導(dǎo)致大量的重復(fù)計(jì)算，效率低下，導(dǎo)致時(shí)間超限。因此我們考慮，如果有一個(gè)數(shù)組用過(guò)來(lái)保存（i,j)能夠得到的最大值，那這樣我們就不用重復(fù)計(jì)算，那么就是把整個(gè)數(shù)組遍歷一遍，時(shí)間復(fù)雜度就是等差數(shù)組(n+1)*n/2,這樣時(shí)間復(fù)雜度就大大降低了。我們把這個(gè)方法叫做記憶化，這樣整個(gè)方法就叫做記憶化搜索。

#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> #include <math.h> using namespace std; int val[101][101]; int f[101][101]; int n,ans,cnt; int dfs(int i,int j) {if(f[i][j]!=-1) {return f[i][j];}if(i==n+1){return f[i][j]=val[i][j];}return f[i][j]=max(dfs(i+1,j+1),dfs(i+1,j))+val[i][j]; } int main() {memset(f,-1,sizeof(f));//初始化數(shù)組f cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>val[i][j];}}cout<<dfs(1,1);return 0; }

接著優(yōu)化，因?yàn)檫f推要比遞歸快得多，因此平時(shí)我們要盡量將遞歸改造為遞推，我們之前f[i][j]表示的是從（i,j）出發(fā)能夠得到的最大的值，現(xiàn)在改造一下，將f[i][j]表示為從（1,1)出發(fā)到（i,j)能夠得到的最大的值。而這樣就能使用遞推，因?yàn)閒[i][j] 可以由f[i-1][j-1] 和f[i-1][j]得到，而這就是一個(gè)遞推式，因此當(dāng)我們計(jì)算（i,j）的時(shí)候只要保證(i-1,j-1)和（i-1,j)已經(jīng)計(jì)算并且保存就行。而這種形式我們采用的是從上到下的順推形式。代碼如下：

#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> #include <math.h> using namespace std; int val[101][101]; int f[101][101]; int n,ans; int main() {memset(f,0,sizeof(f));//初始化數(shù)組f cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>val[i][j];}} for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){if(j==1){f[i][j]=val[i][j]+f[i-1][j];}else if(j==n){f[i][j]=val[i][j]+f[i-1][j-1];}else f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+val[i][j];}}for(int i=1;i<=n;i++){ans=max(ans,f[n][i]);}cout<<ans;return 0;}

接著我們繼續(xù)優(yōu)化如果我們從上到下求最大值，轉(zhuǎn)化為從最后一排出發(fā)到達(dá)最后一層的最大值，那么對(duì)于（i,j)來(lái)說(shuō)，可以從（i+1,j+1) (i+1,j)得到，那么我們就可以將整個(gè)遞推倒過(guò)來(lái)寫(xiě)，省區(qū)最后的一個(gè)for循環(huán)

#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> #include <math.h> using namespace std; int val[101][101]; int f[101][101]; int n; int main() {memset(f,0,sizeof(f));cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>val[i][j];}} for(int i=n;i>=1;i--){for(int j=1;j<=i;j++){f[i][j]=max(f[i+1][j+1],f[i+1][j])+val[i][j];}}cout<<f[1][1];return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的蓝桥杯数字三角形的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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