首先我們先來看個例子, 我想找個1～100的數字`，你的目標是以最少的次數猜到這個數字。你每次猜測后，我會說小了、大了或對了。下面我們來看下兩種簡單的方法（方法有很多種），再來引入算法的運行時間！``

方法一（循環遍歷）：

假設你從1開始依次往上猜，猜測過程會是這樣!

這是簡單查找，更準確的說法是傻找。每次猜測都只能排除一個數字。如果我想的數字是99，
你得猜99次才能猜到！

方法二（二分查找）：

（如果我想的數字是99）首先從100中 找到中間的值50，然后和50比較，小了？繼續找中間值75，和75比較，小了？，繼續找中間值88，和88比較，小了？繼續找中間值94，和94比較，小了？繼續找中間值97，和97比較，小了？繼續找中間值99，和99比較，相等！最終找到了99這個數字！

使用二分查找時，每次都排除一半的數字！不管是哪個數字，你在7次之內都能猜到，因為每次猜測都將排除很多數字！對于包含n個元素的列表，用二分查找最多需要 ${\log }_{2}n$步，而簡單查找最多需要n步。

你可能不記得什么是對數了，但很可能記得什么是冪。log10100相當于問“將多少個10相乘的結果為100”。答案是兩個：10 × 10 = 100。因此，log10100 = 2。對數運算是冪運算的逆運算。

2² $?$ $lo{g}_{2}4$ = 2
2³ $?$ $lo{g}_{2}8$ = 3
2⁴ $?$ $lo{g}_{2}16$ = 4
對數是冪運算的逆運算 討論運行時間時，log指的都是log2。使用簡單查找法查找元素時，在最糟情況下需要查看每個元素。因此，如果列表包含8個數字，你最多需要檢查8個數字。而使用二分查找時，最多需要檢查log n個元素。如果列表包含8個元素，你最多需要檢查3個元素，因為log 8 = 3（2³ = 8）。如果列表包含1024個元素，你最多需要檢查10個元素，因為log 1024 = 10（2¹⁰ =1024）。`

大O 表示法

大O表示法是一種特殊的表示法，指出了算法的速度有多快。實際上，你經常要使用別人編寫的算法，在這種情況下，知道這些算法的速度大有裨益。下面將介紹大O表示法是什么，并使用它列出一些最常見的算法運行時間。還是先來看個小例子！需要編寫一個查找算法， 這個算法在火箭即將登陸月球前開始執行，幫助計算著陸地點，必須在10秒鐘內找出著陸地點，否則火箭將偏離方向！為確保萬無一失，Bob需要計算列表包含100個元素的情況下需要的時間！

例子分析：

假設檢查一個元素需要1毫秒。使用簡單查找時，必須檢查100個元素，因此需要100毫秒才能查找完畢。而使用二分查找時，只需檢查7個元素（$lo{g}_{2}100$大約為7），因此需要7毫秒就能查找完畢。然而，實際要查找的列表可能包含10億個元素，在這種情況下，簡單查找需要多長時間呢？二分查找又需要多長時間呢？Bob使用包含10億個元素的列表運行二分查找，運行時間為30毫秒（log21 000 000 000大約為30）。他心里想，二分查找的速度大約為簡單查找的15倍，因為列表包含100個元素時，簡單查找需要100毫秒，而二分查找需要7毫秒。因此，列表包含10億個元素時，簡單查找需要30 × 15 = 450毫秒，完全符合在10秒內查找完畢的要求。Bob決定使用簡單查找。這是正確的選擇嗎？不是。實際上，Bob錯了，而且錯得離譜。列表包含10億個元素時，簡單查找需要10億毫秒，相當于11天！為什么會這樣呢？因為二分查找和簡單查找的運行時間的增速不同。

也就是說，隨著元素數量的增加，二分查找需要的額外時間并不多，而簡單查找需要的額外時間卻很多。因此，隨著列表的增長，二分查找的速度比簡單查找快得多。Bob以為二分查找速度為簡單查找的15倍，這不對：列表包含10億個元素時，為3300萬倍！有鑒于此，僅知道算法需要多長時間才能運行完畢還不夠，還需知道運行時間如何隨列表增長而增加。這正是大O表示法的用武之地。

大O表示法指出了算法有多快。例如，假設列表包含n個元素。簡單查找需要檢查每個元素，因此需要執行n次操作。使用大O表示法，這個運行時間為O(n),二分查找需要執行$lo{g}_{2}n$次操作。使用大O表示法，這個運行時間怎么表示呢？O($lo{g}_{2}n$),單位秒呢？大O表示法指的并非以秒為單位的速度。大O表示法讓你能夠比較操作數，它指出了算法運行時間的增速。一般而言，大O表示法像下面這樣:

這指出了算法需要執行的操作數。之所以稱為大O表示法，是因為操作數前有個大O!

一些常見的大O 運行時間

下面按從快到慢的順序列出了你經常會遇到的5種大O運行時間。

O(log n)，也叫對數時間，這樣的算法包括二分查找（不懂點擊這里）。

O(n)，也叫線性時間，這樣的算法包括簡單查找。

O(n * log n)，快速排序——一種速度較快的排序算法。（不懂的點擊這里）

O(n2)，選擇排序——一種速度較慢的排序算法。

O(n!)，一種非常慢的算法。

再看下例子，假設你要繪制一個包含16格的網格，且有5種不同的算法可供選擇，這些算法的運行時間如上所示。如果你選擇第一種算法，繪制該網格所需的操作數將為4（log 16 = 4）。假設你每秒可執行10次操作，那么繪制該網格需要0.4秒。如果要繪制一個包含1024格的網格呢？這需要執行10（log 1024 = 10）次操作，換言之，繪制這樣的網格需要1秒。這是使用第一種算法的情況。第二種算法更慢，其運行時間為O(n)。即要繪制16個格子，需要執行16次操作；要繪制1024個格子，需要執行1024次操作。執行這些操作需要多少秒呢？下面按從快到慢的順序列出了使用這些算法繪制網格所需的時間：

還有其他的運行時間，但這5種是最常見的。這里做了簡化，實際上，并不能如此干凈利索地將大O運行時間轉換為操作數，但就目前而言，這種準確度足夠了。等學習其他一些算法后，回過頭來再次討論大O表示法。

大O 運行時間平均情況，最佳情況和最糟情況

就拿快速排序來說吧！假設你總是將第一個元素用作基準值，且要處理的數組是有序的。由于快速排序算法不檢查輸入數組是否有序，因此它依然嘗試對其進行排序。

注意，數組并沒有被分成兩半，相反，其中一個子數組始終為空，這導致調用棧非常長。現在假設你總是將中間的元素用作基準值，在這種情況下，調用棧如下。

調用棧短得多！因為你每次都將數組分成兩半，所以不需要那么多遞歸調用。你很快就到達
了基線條件，因此調用棧短得多。第一個示例展示的是最糟情況，而第二個示例展示的是最佳情況。在最糟情況下，棧長為O(n)，而在最佳情況下，棧長為O(log n)。現在來看看棧的第一層。你將一個元素用作基準值，并將其他的元素劃分到兩個子數組中。這涉及數組中的全部8個元素，因此該操作的時間為O(n)。在調用棧的第一層，涉及全部8個元素，但實際上，在調用棧的每層都涉及O(n)個元素。

即便以不同的方式劃分數組，每次也將涉及O(n)個元素。

因此，完成每層所需的時間都為O(n)。

在這個示例中，層數為O(log n)（用技術術語說，調用棧的高度為O(log n)），而每層需要的時間為O(n)。因此整個算法需要的時間為O(n) * O(log n) = O(n log n)。這就是最佳情況。在最糟情況下，有O(n)層，因此該算法的運行時間為O(n) * O(n) = O(n²)。這里要告訴你的是，最佳情況也是平均情況。只要你每次都隨機地選擇一個數組元素作為基準值，快速排序的平均運行時間就將為O(n log n)。快速排序是最快的排序算法之一，也是D&C典范（divide and conquer 分而治之）

總結：

算法的速度指的并非時間，而是操作數的增速。

談論算法的速度時，我們說的是隨著輸入的增加，其運行時間將以什么樣的速度增加。

算法的運行時間用大O表示法表示。

例子中O(log n)比O(n)快，當需要搜索的元素越多時，前者比后者快得越多。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法的时间复杂度（大O表示法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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