預備知識：

• 計算機基礎知識
• 高中數學知識

時間復雜度用來干嘛

時間復雜度是衡量算法好壞的一個重要指標，另一個重要指標是空間復雜度。

算法

我們先來了解一下算法，對于一個計算機程序，其算法就是其內部執行的各種邏輯的執行步驟。

算法既然是計算機上的程序的邏輯執行步驟，那他運行的過程中，必須是需要占用計算機的cpu和存儲空間。其中使用cpu計算的總次數的數量級，就以時間復雜度來標識（因為往往運算的次數和時間是成正比的，次數多，使用的時間就多），符號為大寫O。

時間復雜度的定義

一般情況下，算法中基本操作重復執行的次數是問題規模n的某個函數（算法中操作執行次數函數），用T(n)表示。

若有某個輔助函數f(n)，使得當n趨近于無窮大時，T(n)/f(n)的極限值為不等于零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n))，稱O(f(n))為算法的漸進時間復雜度(O是數量級的符號 )，簡稱時間復雜度。

上面這一句我用大白話翻譯一下：因為操作執行次數函數，往往含有較多的項，為了讓時間復雜度更清晰明了的標識算法好壞，需要找到一個很簡單的同數量級函數來替代。例如：

假設一個算法的執行次數計算公式如下

T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n

可以找到一個函數

f(n) = n*log2n

得到

lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)= 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3

當n趨向于無窮大，1/n趨向于0，1/log2n趨向于0，所以極限等于3。上面的lim就是極限的意思

基本的計算步驟

計算出基本操作的執行次數T(n)

基本操作即算法中的每條語句，語句的執行次數也叫做語句的頻度。

計算出T(n)的數量級 ( 即找到輔助函數f(n) )

求T(n)的數量級，只要將T(n)進行如下一些操作：

• 忽略常量（常量可以看做0次冪，但是如果只有常量情況就變成了特殊的O(1)，后面有講）
• 忽略低次冪
• 忽略最高次冪的系數（如果最高次存在）

令f(n)=T(n)的數量級。

用大O來表示時間復雜度

當n趨近于無窮大時，如果lim(T(n)/f(n))的值為不等于0的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n))。

實例說明

int n; int num1, num2; for(int i=0; i<n; i++){ num1 += 1;for(int j=1; j<=n; j*=2){ num2 += num1;} }

按照上面的步驟分析：

1.計算出基本操作的執行次數T(n)

語句int n;的頻度為1；

語句int num1, num2;的頻度為1；

語句i=0;的頻度為1；

語句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的頻度為n；

語句j<=n; j*=2; num2+=num1;的頻度為n*log2n；

T(n) = 3 + 4n + 3n*log2n

2.計算出T(n)的數量級 ( 即找到輔助函數f(n) )

忽略掉T(n)中的常量、低次冪和最高次冪的系數

f(n) = n*log2n

3.用大O來表示

lim(T(n)/f(n)) = (3+4n+3n*log2n) / (n*log2n)= 3*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3

當n趨向于無窮大，1/n趨向于0，1/log2n趨向于0
所以極限等于3。

T(n) = O(n*log2n)

特殊的O（1）

在大O表示法里面有一個特例，如果T(n) ＝ c， c是一個與n無關的任意非零常數，時間復雜度記為O(1)。推導過程我們就不講了。

題外話：

頻度和時間的不絕對關聯

這期間需要一些數學知識來進行公式變換和函數計算，并且，這里的頻度，代表的是一種次數，而不是計算時間。

這是因為一個語句的執行，實際會被翻譯成多條計算機指令，在不同的編輯器和不同的機器上都可能有不同的表現（比如乘法指令可能被翻譯為計算機的加法，除法指令可能被翻譯為位移操作等）。所以一般來說時間復雜度都是概略的估計，而不是一種精確地表示。

n需要無窮大

算法的優異在n比較小的時候可能沒有太大差異，甚至優秀的算法，有可能在n比較小的時候，計算次數會更多。這個時候算法的優劣帶來的問題并不明顯，一般沒有太大討論的意義。

一個數量級大小判斷經驗

復雜度與時間效率的關系：

c < log2n < n < n*log2n < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n! （c是一個常量） |--------------------------|--------------------------|-------------|較好 一般 較差其中c是一個常量，如果一個算法的復雜度為c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那么這個算法時間效率比較高 如果是 2^n , 3^n ,n!,算法效率就比較低（當然也會有一些沒有辦法優化的代碼） 中間的幾個效率尚可。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一文彻底掌握时间复杂度和大O表示法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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