程序 = 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)?+ 算法?

大O表示法

什么是程序？相信學(xué)過編程的人都知道，程序由數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法構(gòu)成，想要寫出好的的程序，首先得了解數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法。一切脫離數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的程序設(shè)計(jì)都是耍流氓!

什么樣的程序才是好的程序？好的程序設(shè)計(jì)無外乎兩點(diǎn)，"快"和"省"。"快"指程序執(zhí)行速度快，高效，"省"指占用更小的內(nèi)存空間。這兩點(diǎn)其實(shí)就對(duì)應(yīng)"時(shí)間復(fù)雜度"和"空間復(fù)雜度"的問題。

怎樣分析一個(gè)程序的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度？接下來今天的主角就要登場(chǎng)了！"大O表示法"。"大O表示法"表示程序的執(zhí)行時(shí)間或占用空間隨數(shù)據(jù)規(guī)模的增長趨勢(shì)。大O表示法就是將代碼的所有步驟轉(zhuǎn)換為關(guān)于數(shù)據(jù)規(guī)模n的公式項(xiàng)，然后排除不會(huì)對(duì)問題的整體復(fù)雜度產(chǎn)生較大影響的低階系數(shù)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)。乍一看這句話可能不好理解，接下來會(huì)詳細(xì)介紹怎么用"大O法"來進(jìn)行時(shí)間和空間復(fù)雜度分析。

時(shí)間復(fù)雜度

時(shí)間復(fù)雜度，又稱"漸進(jìn)式時(shí)間復(fù)雜度"，表示代碼執(zhí)行時(shí)間與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長關(guān)系。

Talking is cheap,show me your code!（不BB,看代碼!）

先來看一個(gè)簡單的栗子，來分析下下面這段代碼的時(shí)間復(fù)雜度：

/*** 累加求和* @param n 數(shù)據(jù)規(guī)模 n->∞* @return*/public int sum(int n){int sum = 0;int i = 0;for (;i<n;i++){sum = sum + i;}return sum;}

上面是一個(gè)累加求和的方法，假設(shè)每條語句的執(zhí)行時(shí)間為單位時(shí)間unit_time，那這個(gè)方法對(duì)于數(shù)據(jù)規(guī)模n來說，總的執(zhí)行時(shí)間為多少呢？

很容易看出，第7、8兩行代碼都只執(zhí)行一次，各為unit_time，第9、10兩行代碼都執(zhí)行n次，各為n*unit_time，所以總的時(shí)間相加得T(n)=unit_time+unit_time+n*unit_time+n*unit_time=(2n+2)*unit_time。

用f(n)來表示代碼的執(zhí)行次數(shù)和數(shù)據(jù)規(guī)模的關(guān)系，即f(n)=2n+2。當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，f(n)中的常數(shù)項(xiàng)對(duì)于整個(gè)公式的值的影響可以忽略，同樣，系數(shù)相比于數(shù)據(jù)規(guī)模n也可以忽略不計(jì)。最后變?yōu)?strong>f(n) = n,即總的執(zhí)行時(shí)間T(n)與數(shù)據(jù)規(guī)模n成正比。上面的分析方法就是"大O表示法"的主要思想，用公式來表示就是：

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n：數(shù)據(jù)規(guī)模，通俗點(diǎn)說就是函數(shù)中的那個(gè)變量n

f(n)：代碼總的執(zhí)行次數(shù)和數(shù)據(jù)規(guī)模的關(guān)系

T(n)：代碼的執(zhí)行時(shí)間(并不是代碼實(shí)際的執(zhí)行時(shí)間，這里表示代碼執(zhí)行時(shí)間和數(shù)據(jù)規(guī)模之間的關(guān)系)

看到這大概對(duì)大O分析法有了一定的理解吧！下面來詳細(xì)介紹時(shí)間復(fù)雜度的分析方法。

1.只關(guān)注循環(huán)執(zhí)行次數(shù)最多的那段代碼

拿上面那個(gè)例子來說，第7、8行代碼與數(shù)據(jù)規(guī)模無關(guān)，執(zhí)行次數(shù)最多的在第9、10行代碼，所以只需要關(guān)注循環(huán)這一部分。利用大O分析法可以知道上面累加求和例子的代碼時(shí)間復(fù)雜度為O(n).

下面再來看一個(gè)栗子：

/*** 只關(guān)注循環(huán)次數(shù)最多的那一段代碼* @param n 數(shù)據(jù)規(guī)模 n->∞* @return*/public int sums(int n){int sum = 0;int sum1 = 0;int i = 0;int j = 0;for (;i<n;i++){sum = sum + i;}for(;j<2*n;j++){sum1 = sum1 + j;}return sum+sum1;}

依然拿上面累加求和這個(gè)例子，不過這次返回的是數(shù)據(jù)規(guī)模n累加和數(shù)據(jù)規(guī)模2倍累加的和。該方法中有2處循環(huán)部分，第11、12行和第14、15行。可以看出來，這兩處都有循環(huán)的部分，但是下面循環(huán)執(zhí)行次數(shù)比上面多。根據(jù)上面的原則，我們只需要關(guān)注循環(huán)執(zhí)行次數(shù)最多的那部分代碼。按照上面大O分析法可以知道，這段代碼的時(shí)間復(fù)雜度為O(n).

2.加法法則（總復(fù)雜度等于量級(jí)最大的那段代碼的復(fù)雜度）

首先，來了解一下量級(jí)的概念。下面是一些常見的復(fù)雜度量級(jí)及其大O法的表示。

常量階(O(1))：代碼片段執(zhí)行時(shí)間不隨數(shù)據(jù)規(guī)模n的增加而增加，即使執(zhí)行次數(shù)非常大，只要與數(shù)據(jù)規(guī)模無關(guān)，都算作常量階。記作O(1).

按量級(jí)遞增排序：常量階O(1)) <?對(duì)數(shù)階O(logn) <??線性階O(n)?< 線性對(duì)數(shù)階O(nlogn)?< 平方階O(n2)...立方階O(n3)...k方階 < 指數(shù)階O()?< 階乘階O(n!)?

其中，O()和O(n!)為非多項(xiàng)式量級(jí)，其他的為多項(xiàng)式量級(jí)。我們把時(shí)間復(fù)雜度為非多項(xiàng)式量級(jí)的算法問題叫作NP（Non-Deterministic Polynomial，非確定多項(xiàng)式）問題。

下面請(qǐng)看一段代碼：

/*** 加法法則：總復(fù)雜度等于量級(jí)最大的那段代碼的復(fù)雜度* @param n 數(shù)據(jù)規(guī)模 n->∞* @return*/public int maxItem(int n){// part1: 執(zhí)行1000次循環(huán)int i = 0;int sum1 = 0;for (;i<1000;i++){ sum1 = sum1 +i;}// part2: 執(zhí)行n此循環(huán)int j = 0;int sum2 = 0;for (;j<n;j++){ sum2 = sum2 +j;}// part3: 嵌套執(zhí)行n次循環(huán)int sum3 = 0;for (int k=0;k<n;k++){ for (int l=0;l<n;l++){sum3 = sum3 + l;}}return sum1+sum2+sum3;}

代碼中有三部分，來分別分析每一部分的時(shí)間復(fù)雜度。第一部分循環(huán)執(zhí)行1000次，與數(shù)據(jù)規(guī)模n無關(guān)，即使執(zhí)行10000次，100000次都算作常量階，時(shí)間復(fù)雜度為O(1)。

第二部分循環(huán)執(zhí)行n次，與數(shù)據(jù)規(guī)模n成正比，時(shí)間復(fù)雜度是線性階O(n)。

第三部分有兩層循環(huán)，每層循環(huán)都執(zhí)行n次，總共執(zhí)行n*n=n2次，時(shí)間復(fù)雜度為平方階O(n2)。

所以這段代碼總的時(shí)間復(fù)雜度記作T(n) = O(1)+O(n)+O(n2)，按照加法法則，只取最大量級(jí)的的復(fù)雜度，即整段代碼的時(shí)間復(fù)雜度為O(n2)。

3.乘法法則（嵌套代碼復(fù)雜度等于內(nèi)外代碼復(fù)雜度的乘積）

依舊來看一段代碼：

/*** 外層方法* @param n 數(shù)據(jù)規(guī)模* @return*/public int outSum(int n){int i = 0;int sum = 0;for (;i<n;i++) {// 這里調(diào)用inSum()方法累加求和sum = sum + inSum(i);}return sum;}/*** 里層方法* @param n 數(shù)據(jù)規(guī)模* @return*/public int inSum(int n){int i = 0;int sum = 0;for (;i<n;i++) {sum = sum + i;}return sum;}

不難分析出，但看外層和里層循環(huán)，時(shí)間復(fù)雜度均為O(n)。二者嵌套一起就可以用到乘法法則，總的時(shí)間復(fù)雜度為O(n*n)=O(n2)。其實(shí)這里就是循環(huán)嵌套，總的執(zhí)行次數(shù)為內(nèi)外執(zhí)行次數(shù)的乘積。

空間復(fù)雜度

空間復(fù)雜度，也稱漸進(jìn)空間復(fù)雜度，表示代碼存儲(chǔ)空間與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長關(guān)系。

空間復(fù)雜度相對(duì)于時(shí)間復(fù)雜度來說，要簡單的多了。下面看一個(gè)簡單的栗子：

/*** 空間復(fù)雜度分析* @param n 數(shù)據(jù)規(guī)模*/public void space(int n){int i = 0;int[] arr = new int[n];for (;i<n;i++) {arr[i] = i;}}

第6行申請(qǐng)一個(gè)空間存儲(chǔ)變量i,由于該空間和數(shù)據(jù)規(guī)模無關(guān)，屬于常量階的空間復(fù)雜度，可忽略不計(jì)。

第7行申請(qǐng)一個(gè)大小為n的空間存儲(chǔ)數(shù)組arr，空間復(fù)雜度與數(shù)據(jù)規(guī)模成正比，為O(n)。所以整段代碼空間復(fù)雜度就是O(n)。

一般情況下，一個(gè)程序在機(jī)器上執(zhí)行時(shí)，除了需要存儲(chǔ)程序本身的指令、常數(shù)、 變量和輸入數(shù)據(jù)外，還需要存儲(chǔ)對(duì)數(shù)據(jù)操作的存儲(chǔ)單元。若輸入數(shù)據(jù)所占空間只取決于問題本身，和算法無關(guān)，這樣只需要分析該算法在實(shí)現(xiàn)時(shí)所需的輔助單元即可。若算法執(zhí)行時(shí)所需的輔助空間相對(duì)于輸入數(shù)據(jù)而言是個(gè)常數(shù)，則稱此算法為原地工作，空間復(fù)雜度為O(1)。

常用的空間復(fù)雜度就是O(1)。像O(n2)、O(n3)、O(logn)、O(nlogn)這樣的空間復(fù)雜度平時(shí)都用不到。

以上為自己學(xué)習(xí)極客時(shí)間專欄王爭老師的"數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法"的總結(jié)，僅供學(xué)習(xí)使用。本人新開的博客，菜鳥一枚，不正確的地方希望大家指出來，一起學(xué)習(xí)進(jìn)步!

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的大O表示法(复杂度分析)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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