復雜度分析

前文提要

本文完完全全引用極客時間的文章《數據結構與算法之美》，作者王爭。

數據結構是作為程序猿繞不過的一道坎，所以萌生了學習的想法，試讀了幾篇文章后發現講的很好，也有很多人訂閱，于是不回頭的走。只希望能不忘初心，不讓犯懶擊敗自己。

正文

為什么需要復雜度分析

你可能會有些疑惑，我把代碼跑一遍，通過統計、監控，就能得到算法執行的時間和占用的內存大小。為什么還要做時間、空間復雜度分析呢？這種分析方法能比我實實在在跑一遍得到的數據更準確嗎？首先，我可以肯定地說，你這種評估算法執行效率的方法是正確的。很多數據結構和算法書籍還給這種方法起了一個名字，叫事后統計法。但是，這種統計方法有非常大的局限性。

測試結果非常依賴測試環境

測試環境中硬件的不同會對測試結果有很大的影響。

比如，我們拿同樣一段代碼，分別用 Intel Core i9 處理器和 Intel Core i3 處理器來運行，不用說，i9 處理器要比 i3 處理器執行的速度快很多。還有，比如原本在這臺機器上 a 代碼執行的速度比 b 代碼要快，等我們換到另一臺機器上時，可能會有截然相反的結果。

測試結果受數據規模的影響很大。

后面我們會講排序算法，我們先拿它舉個例子。對同一個排序算法，待排序數據的有序度不一樣，排序的執行時間就會有很大的差別。極端情況下，如果數據已經是有序的，那排序算法不需要做任何操作，執行時間就會非常短。除此之外，如果測試數據規模太小，測試結果可能無法真實地反映算法的性能。比如，對于小規模的數據排序，插入排序可能反倒會比快速排序要快！所以，我們需要一個不用具體的測試數據來測試，就可以粗略地估計算法的執行效率的方法。這就是我們今天要講的時間、空間復雜度分析方法。

大 O 復雜度表示法

算法的執行效率，粗略地講，就是算法代碼執行的時間。但是，如何在不運行代碼的情況下，用“肉眼”得到一段代碼的執行時間呢？這里有段非常簡單的代碼，求 1,2,3…n 的累加和。現在，我就帶你一塊來估算一下這段代碼的執行時間。

假設每行代碼執行的時間都一樣，為 unit_time。在這個假設的基礎之上，這段代碼的總執行時間是多少呢？第 2、3 行代碼分別需要 1 個 unit_time 的執行時間，第 4、5 行都運行了 n 遍，所以需要 2n*unit_time 的執行時間，所以這段代碼總的執行時間就是 *(2n+2)unit_time。可以看出來，所有代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數成正比。

按照這個分析思路，我們再來看這段代碼。

我們依舊假設每個語句的執行時間是 unit_time。那這段代碼的總執行時間 T(n) 是多少呢？

第 2、3、4 行代碼，每行都需要 1 個 unit_time 的執行時間，第 5、6 行代碼循環執行了 n 遍，需要 2n * unit_time 的執行時間，第 7、8 行代碼循環執行了 n2遍，所以需要 2n2 * unit_time 的執行時間。

所以，整段代碼總的執行時間 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。盡管我們不知道 unit_time 的具體值，但是通過這兩段代碼執行時間的推導過程，我們可以得到一個非常重要的規律，那就是，所有代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數 n 成正比。我們可以把這個規律總結成一個公式。注意，大 O 就要登場了！

具體解釋一下這個公式。

其中，T(n) 我們已經講過了，它表示代碼執行的時間；n 表示數據規模的大小；f(n) 表示每行代碼執行的次數總和。因為這是一個公式，所以用 f(n) 來表示。公式中的 O，表示代碼的執行時間 T(n) 與 f(n) 表達式成正比。

所以，第一個例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二個例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。這就是大 O 時間復雜度表示法。大 O 時間復雜度實際上并不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增長的變化趨勢，所以，也叫作漸進時間復雜度（asymptotic time complexity），簡稱時間復雜度。

時間復雜度分析

只關注循環執行次數最多的一段代碼

我剛才說了，大 O 這種復雜度表示方法只是表示一種變化趨勢。我們通常會忽略掉公式中的常量、低階、系數，只需要記錄一個最大階的量級就可以了。所以，我們在分析一個算法、一段代碼的時間復雜度的時候，也只關注循環執行次數最多的那一段代碼就可以了。這段核心代碼執行次數的 n 的量級，就是整段要分析代碼的時間復雜度。

其中第 2、3 行代碼都是常量級的執行時間，與 n 的大小無關，所以對于復雜度并沒有影響。循環執行次數最多的是第 4、5 行代碼，所以這塊代碼要重點分析。前面我們也講過，這兩行代碼被執行了 n 次，所以總的時間復雜度就是 O(n)。

加法法則：總復雜度等于量級最大的那段代碼的復雜度

我這里還有一段代碼。你可以先試著分析一下，然后再往下看跟我的分析思路是否一樣。

這個代碼分為三部分，分別是求 sum_1、sum_2、sum_3。

我們可以分別分析每一部分的時間復雜度，然后把它們放到一塊兒，再取一個量級最大的作為整段代碼的復雜度。

第一段的時間復雜度是多少呢？這段代碼循環執行了 100 次，所以是一個常量的執行時間，跟 n 的規模無關。這里我要再強調一下，即便這段代碼循環 10000 次、100000 次，只要是一個已知的數，跟 n 無關，照樣也是常量級的執行時間。當 n 無限大的時候，就可以忽略。盡管對代碼的執行時間會有很大影響，但是回到時間復雜度的概念來說，它表示的是一個算法執行效率與數據規模增長的變化趨勢，所以不管常量的執行時間多大，我們都可以忽略掉。因為它本身對增長趨勢并沒有影響。

那第二段代碼和第三段代碼的時間復雜度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n2)，你應該能容易就分析出來，我就不啰嗦了。綜合這三段代碼的時間復雜度，我們取其中最大的量級。所以，整段代碼的時間復雜度就為 O(n2)。也就是說：總的時間復雜度就等于量級最大的那段代碼的時間復雜度。那我們將這個規律抽象成公式就是：

如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

乘法法則：嵌套代碼的復雜度等于嵌套內外代碼復雜度的乘積

我剛講了一個復雜度分析中的加法法則，這兒還有一個乘法法則。類比一下，你應該能“猜到”公式是什么樣子的吧？如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

也就是說，假設 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，則 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落實到具體的代碼上，我們可以把乘法法則看成是嵌套循環，我舉個例子給你解釋一下。

我們單獨看 cal() 函數。假設 f() 只是一個普通的操作，那第 4～6 行的時間復雜度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函數本身不是一個簡單的操作，它的時間復雜度是 T2(n) = O(n)，所以，整個 cal() 函數的時間復雜度就是:

我剛剛講了三種復雜度的分析技巧。不過，你并不用刻意去記憶。實際上，復雜度分析這個東西關鍵在于“熟練”。你只要多看案例，多分析，就能做到“無招勝有招”。幾種常見時間復雜度實例分析

幾種常見時間復雜度實例分析

O(1)

先你必須明確一個概念，O(1) 只是常量級時間復雜度的一種表示方法，并不是指只執行了一行代碼。比如這段代碼，即便有 3 行，它的時間復雜度也是 O(1），而不是 O(3)。

int i = 8;int j = 6;int sum = i + j;

我稍微總結一下，只要代碼的執行時間不隨 n 的增大而增長，這樣代碼的時間復雜度我們都記作 O(1)。或者說，一般情況下，只要算法中不存在循環語句、遞歸語句，即使有成千上萬行的代碼，其時間復雜度也是Ο(1)。

O(logn)、O(nlogn)

對數階時間復雜度非常常見，同時也是最難分析的一種時間復雜度。我通過一個例子來說明一下。

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根據我們前面講的復雜度分析方法，第三行代碼是循環執行次數最多的。所以，我們只要能計算出這行代碼被執行了多少次，就能知道整段代碼的時間復雜度。從代碼中可以看出，變量 i 的值從 1 開始取，每循環一次就乘以 2。當大于 n 時，循環結束。還記得我們高中學過的等比數列嗎？實際上，變量 i 的取值就是一個等比數列。如果我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：

所以，我們只要知道 x 值是多少，就知道這行代碼執行的次數了。通過 2x=n 求解 x 這個問題我們想高中應該就學過了，我就不多說了。x=log2n，所以，這段代碼的時間復雜度就是 O(log2n)。

現在，我把代碼稍微改下，你再看看，這段代碼的時間復雜度是多少？

根據我剛剛講的思路，很簡單就能看出來，這段代碼的時間復雜度為 O(log3n)。

實際上，不管是以 2 為底、以 3 為底，還是以 10 為底，我們可以把所有對數階的時間復雜度都記為 O(logn)。

為什么呢？我們知道，對數之間是可以互相轉換的，log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一個常量。基于我們前面的一個理論：在采用大 O 標記復雜度的時候，可以忽略系數，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在對數階時間復雜度的表示方法里，我們忽略對數的“底”，統一表示為 O(logn)。

如果你理解了我前面講的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。還記得我們剛講的乘法法則嗎？如果一段代碼的時間復雜度是 O(logn)，我們循環執行 n 遍，時間復雜度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一種非常常見的算法時間復雜度。比如，歸并排序、快速排序的時間復雜度都是 O(nlogn)。

O(m+n)、O(m*n)

我們再來講一種跟前面都不一樣的時間復雜度，代碼的復雜度由兩個數據的規模來決定。老規矩，先看代碼！

int cal(int m, int n) {int sum_1 = 0;int i = 1;for (; i < m; ++i) {sum_1 = sum_1 + i;}int sum_2 = 0;int j = 1;for (; j < n; ++j) {sum_2 = sum_2 + j;}return sum_1 + sum_2; }

從代碼中可以看出，m 和 n 是表示兩個數據規模。我們無法事先評估 m 和 n 誰的量級大，所以我們在表示復雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。

所以，上面代碼的時間復雜度就是 O(m+n)。針對這種情況，原來的加法法則就不正確了，我們需要將加法規則改為：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法則繼續有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

淺析最好、最壞、平均、均攤時間復雜度

最好、最壞情況時間復雜度

// n表示數組array的長度 int find(int[] array, int n, int x) {int i = 0;int pos = -1;for (; i < n; ++i) {if (array[i] == x) pos = i;}return pos; }

你應該可以看出來，這段代碼要實現的功能是，在一個無序的數組（array）中，查找變量 x 出現的位置。如果沒有找到，就返回 -1。按照上節課講的分析方法，這段代碼的復雜度是 O(n)，其中，n 代表數組的長度。

我們在數組中查找一個數據，并不需要每次都把整個數組都遍歷一遍，因為有可能中途找到就可以提前結束循環了。但是，這段代碼寫得不夠高效。我們可以這樣優化一下這段查找代碼。

// n表示數組array的長度 int find(int[] array, int n, int x) {int i = 0;int pos = -1;for (; i < n; ++i) {if (array[i] == x) {pos = i;break;}}return pos; }

這個時候，問題就來了。我們優化完之后，這段代碼的時間復雜度還是 O(n) 嗎？

很顯然，咱們上一節講的分析方法，解決不了這個問題。因為，要查找的變量 x 可能出現在數組的任意位置。如果數組中第一個元素正好是要查找的變量 x，那就不需要繼續遍歷剩下的 n-1 個數據了，那時間復雜度就是 O(1)。但如果數組中不存在變量 x，那我們就需要把整個數組都遍歷一遍，時間復雜度就成了 O(n)。

所以，不同的情況下，這段代碼的時間復雜度是不一樣的。為了表示代碼在不同情況下的不同時間復雜度，我們需要引入三個概念：最好情況時間復雜度、最壞情況時間復雜度和平均情況時間復雜度。

顧名思義，最好情況時間復雜度就是，在最理想的情況下，執行這段代碼的時間復雜度。就像我們剛剛講到的，在最理想的情況下，要查找的變量 x 正好是數組的第一個元素，這個時候對應的時間復雜度就是最好情況時間復雜度。

同理，最壞情況時間復雜度就是，在最糟糕的情況下，執行這段代碼的時間復雜度。就像剛舉的那個例子，如果數組中沒有要查找的變量 x，我們需要把整個數組都遍歷一遍才行，所以這種最糟糕情況下對應的時間復雜度就是最壞情況時間復雜度。

具體的平均情況時間復雜度和均攤時間復雜度就記錄了，有興趣的可以去看看。

總結

一、什么是復雜度分析？
1.數據結構和算法解決是“如何讓計算機更快時間、更省空間的解決問題”。
2.因此需從執行時間和占用空間兩個維度來評估數據結構和算法的性能。
3.分別用時間復雜度和空間復雜度兩個概念來描述性能問題，二者統稱為復雜度。
4.復雜度描述的是算法執行時間（或占用空間）與數據規模的增長關系。
二、為什么要進行復雜度分析？
1.和性能測試相比，復雜度分析有不依賴執行環境、成本低、效率高、易操作、指導性強的特點。
2.掌握復雜度分析，將能編寫出性能更優的代碼，有利于降低系統開發和維護成本。
三、如何進行復雜度分析？
1.大O表示法
1）來源
算法的執行時間與每行代碼的執行次數成正比，用T(n) = O(f(n))表示，其中T(n)表示算法執行總時間，f(n)表示每行代碼執行總次數，而n往往表示數據的規模。
2）特點
以時間復雜度為例，由于時間復雜度描述的是算法執行時間與數據規模的增長變化趨勢，所以常量階、低階以及系數實際上對這種增長趨勢不產決定性影響，所以在做時間復雜度分析時忽略這些項。
2.復雜度分析法則
1）單段代碼看高頻：比如循環。
2）多段代碼取最大：比如一段代碼中有單循環和多重循環，那么取多重循環的復雜度。
3）嵌套代碼求乘積：比如遞歸、多重循環等
4）多個規模求加法：比如方法有兩個參數控制兩個循環的次數，那么這時就取二者復雜度相加。
四、常用的復雜度級別？
多項式階：隨著數據規模的增長，算法的執行時間和空間占用，按照多項式的比例增長。包括，
O(1)（常數階）、O(logn)（對數階）、O(n)（線性階）、O(nlogn)（線性對數階）、O(n^{2)（平方階）、O(n}3)（立方階）
非多項式階：隨著數據規模的增長，算法的執行時間和空間占用暴增，這類算法性能極差。包括，
O(2^n)（指數階）、O(n!)（階乘階）
五、如何掌握好復雜度分析方法？
復雜度分析關鍵在于多練，所謂孰能生巧。

六、復雜度分析的4個概念
1.最壞情況時間復雜度：代碼在最理想情況下執行的時間復雜度。
2.最好情況時間復雜度：代碼在最壞情況下執行的時間復雜度。
3.平均時間復雜度：用代碼在所有情況下執行的次數的加權平均值表示。
4.均攤時間復雜度：在代碼執行的所有復雜度情況中絕大部分是低級別的復雜度，個別情況是高級別復雜度且發生具有時序關系時，可以將個別高級別復雜度均攤到低級別復雜度上。基本上均攤結果就等于低級別復雜度。

七、為什么要引入這4個概念？
1.同一段代碼在不同情況下時間復雜度會出現量級差異，為了更全面，更準確的描述代碼的時間復雜度，所以引入這4個概念。
2.代碼復雜度在不同情況下出現量級差別時才需要區別這四種復雜度。大多數情況下，是不需要區別分析它們的。

八、如何分析平均、均攤時間復雜度？
1.平均時間復雜度
代碼在不同情況下復雜度出現量級差別，則用代碼所有可能情況下執行次數的加權平均值表示。
2.均攤時間復雜度
兩個條件滿足時使用：1）代碼在絕大多數情況下是低級別復雜度，只有極少數情況是高級別復雜度；2）低級別和高級別復雜度出現具有時序規律。均攤結果一般都等于低級別復雜度。

情況下時間復雜度會出現量級差異，為了更全面，更準確的描述代碼的時間復雜度，所以引入這4個概念。
2.代碼復雜度在不同情況下出現量級差別時才需要區別這四種復雜度。大多數情況下，是不需要區別分析它們的。

八、如何分析平均、均攤時間復雜度？
1.平均時間復雜度
代碼在不同情況下復雜度出現量級差別，則用代碼所有可能情況下執行次數的加權平均值表示。
2.均攤時間復雜度
兩個條件滿足時使用：1）代碼在絕大多數情況下是低級別復雜度，只有極少數情況是高級別復雜度；2）低級別和高級別復雜度出現具有時序規律。均攤結果一般都等于低級別復雜度。

總結均為極客時間用戶“姜威”的評論總結。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的复杂度分析（大O表示法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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