1.二次型及矩陣表示

二次型的定義：
含有$n$個變量$x_1,x_2,?,x_n$的$n$元二次齊次多項式$f(x_1,x_2,?,x_n)=a_{11}{x}_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+a_{22}{x}_2^2+2a_{23}{x}_2{x}_3+?+2a_{2n}{x}_2{x}_n+?+a_{nn}{x}_n^2$稱為一個$n$元二次型。
二次型的表示：
在二次型中取$a_{ij}=a_{ji}$,則上述二次型可以寫成
$f(x_1,x_2,?,x_n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=(x_1,x_2,?,x_n)?\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ?& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}\\ ?& ?& & ?\\ a_{n1}& a_{n2}& ?& a_{nn}\end{array}??\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ?\\ x_n\end{array}?=x^{T}Ax$
其中$A$是對稱矩陣，稱為二次型$f$的矩陣，矩陣$A$的秩稱為二次型$f$的秩。
二次型的標準型
若二次型$f(x_1,x_2,?,x_n)$中只有平方項，所有混合項的系數全為零，即$f(x_1,x_2,?,x_n)=x^{T}Ax=d_1{x}_1^2+d_2{x}_2^2+?+d_n{x}_n^2$，則稱這樣的二次型為標準型。在標準型中，正平方項的個數$p$為正慣性指數，負平方項的個數$q$稱為負慣性指數。
注意，考研中可以利用正交變換和配方法來實現對二次型題目的求解。

2.合同矩陣

定義：
對于兩個$n$解矩陣$A$和$B$，如果存在可逆矩陣$C$，使得$B=C^{T}AC$,則稱$A$和$B$合同，記作$A?B$
性質：
(1)反身性：$A?A$
(2)對稱性:若$A?B$,則$B?A$
(3)傳遞性:若$A?B$，$B?C$，則$A?C$
合同的充分和必要條件
(1)實對稱矩陣$A?B?$二次型$x^{T}Ax$與$x^{T}Bx$有相同的正負慣性指數。
(2)實對稱矩陣$A～B?A?B$,反之不成立。

3.正定矩陣

正定二次型和正定矩陣：
若對于任何的非零向量$x=(x_1,x_2,?,x_n{)}^T$,恒有
$f(x_1,x_2,?,x_n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{T}Ax>0$
則稱二次型$f(x_1,x_2,?,x_n)$為正定二次型，對應的矩陣$A$為正定矩陣。
注意： 可逆線性變換不改變二次型的正定性。

二次型正定的充要條件：
$f(x_1,x_2,?,x_n)=x^{T}Ax$正定$?$$A$的正慣性指數$p=r=n$($r$是$A$的秩，$n$是未知量的個數)。
$f(x_1,x_2,?,x_n)=x^{T}Ax$正定$?$$A?E$,即存在可逆矩陣$C$，使得$C^{T}AC=E$。
$f(x_1,x_2,?,x_n)=x^{T}Ax$正定$?$$A=D^{T}D$，其中$D$為可逆矩陣。
$f(x_1,x_2,?,x_n)=x^{T}Ax$正定$?$$A$的全部特征值${\lambda }_i>0,i=1,2,?,n$
$f(x_1,x_2,?,x_n)=x^{T}Ax$正定$?$$A$的全部順序主子式大于零
二次型正定的必要條件：
二次型$f(x_1,x_2,?,x_n)=x^{T}Ax$正定$?$$A$的主對角元素$a_{ij}>0,i=1,2,?,n$.。
二次型$f(x_1,x_2,?,x_n)=x^{T}Ax$正定$?$$A$的行列式$|A|>0$。
結論：
(1)若$A,B$是正定陣，則$A+B$也是正定陣。
(2)若$A$是正定陣，則$A^k$也是正定陣，這里的$k$可以是負整數(此時$A^k$有意義)。
(3)若$A$是正定陣，則$A^{?}$也是正定陣。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数：二次型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。