齊次方程組：

就是這個(gè)樣子的，后面的自由項(xiàng)全是0的方程組叫齊次方程組。

那我們現(xiàn)在把未知數(shù)前面的系數(shù)全部提出來，就形成了一個(gè)m*n矩陣，其實(shí)這個(gè)矩陣就是方程組的系數(shù)矩陣。那么根據(jù)這個(gè)系數(shù)矩陣我們就可以唯一確定一個(gè)齊次方程組。如果m=n，那么這個(gè)東西就有行列式了。

如果把所有的x都提取出來，那么久形成了一個(gè)未知數(shù)矩陣。

齊次方程組的三種形式；

矩陣形式：

這個(gè)就是矩陣形式，始終記住我們矩陣的乘法運(yùn)算是怎么算的。

向量形式：

普通形式：

其實(shí)就是我們上面說的那個(gè)基本定義式子

齊次方程組的解

記住一個(gè)小技巧，在方程組中，它的系數(shù)矩陣的秩是幾，就表示獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)。矩陣的秩就是行階梯矩陣的臺階數(shù)。

我們要知道一個(gè)常識，那就是，一個(gè)獨(dú)立方程，控制一個(gè)未知數(shù)，也就是說，一個(gè)未知數(shù)，它有一個(gè)獨(dú)立方程的話就能解出來。如果是兩個(gè)未知數(shù)，那么久必須要兩個(gè)獨(dú)立方程才能解出來。少了就不行。

方程組有解的條件：

首先看第一條：

我們上面已經(jīng)說了，一個(gè)未知數(shù)需要一個(gè)獨(dú)立方程，同樣我們還說了，矩陣的秩就是獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)。那么現(xiàn)在秩是n。就表示方程組的n個(gè)未知數(shù)有n個(gè)獨(dú)立方程來控制了，每一個(gè)未知數(shù)都被控制了，那么這個(gè)方程一定是有唯一的解的。而在齊次方程組中，這個(gè)解就是零解。

第二種：

很明顯，當(dāng)秩少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)的時(shí)候，這個(gè)時(shí)候，有一些未知數(shù)就沒有辦法被獨(dú)立方程限制，因?yàn)楠?dú)立方程的個(gè)數(shù)不夠。這個(gè)時(shí)候，方程組就會(huì)出現(xiàn)無窮多個(gè)解，因?yàn)橛形粗獢?shù)沒有辦法被限制，那么它的取值就是負(fù)無窮到正無窮。

解的性質(zhì)：

性質(zhì)一：

這句話的意思就是說，如果和都是方程組的解，那么這兩個(gè)解的線性組合也是方程組的解。

基礎(chǔ)解系：

很明顯，考研的時(shí)候是一定會(huì)考秩r(A)<n的情況的。這個(gè)時(shí)候一定是無窮多個(gè)解。但是我們都知道，無窮多個(gè)解我們是沒有辦法一一列舉出來的。所以我們就有了基礎(chǔ)解系這個(gè)概念，它是這無窮多個(gè)解的代表。

想要成為代表，那么肯定要有這幾個(gè)要求；

1.首先，要代表無窮多個(gè)解，那么你首先得是解。

2.線性無關(guān)，就是這些個(gè)解之間，誰都沒有辦法表示另外一個(gè)。就是說，你隨便怎么變換，都沒有辦法變成另外一個(gè)解。

3.基礎(chǔ)解系的成員個(gè)數(shù)=n-r(A)

基礎(chǔ)解系的求解方法：

我們嚴(yán)格按照程序辦事

1.將方程組的系數(shù)矩陣使用初等行變換化為行階梯矩陣或者最簡行階梯矩陣，注意了，化的過程中通通使用初等行變換。

2.按照列找出一個(gè)秩為r(A)的子矩陣。則剩余位置的元素就是自由變量。

3.按照基礎(chǔ)解系的定義，寫出通解。

舉個(gè)栗子：

第一步：化成行階梯矩陣

第二步：找出一個(gè)秩為3的子矩陣

找的技巧，每一個(gè)臺階上任取一列。比如我們這里找的是第1、2、5這散列，那么3和4就是剩下的位置，那么就是自由變量。

第三步：按照基礎(chǔ)解系定義寫出通解

我們一定要記住，這里的通解，一定是滿足方程組的解的那3個(gè)要求的。

所以確定通解的時(shí)候我們有下面3步：

a.確定通解的個(gè)數(shù)

b.解之間線性無關(guān)

記住一個(gè)小技巧：當(dāng)我們在自由變量的區(qū)域賦值的時(shí)候，我們要保證它的行列式不等于0，那么這個(gè)就一定是線性無關(guān)的。

?c.是解

我們把確定了自由變量的的解，帶到系數(shù)矩陣中去確定剩下位置的解。

最后的結(jié)果：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数：方程组的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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