1. 余子式和代數(shù)余子式

1) 余子式

$n$ 階行列式中，劃去元 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行與第 $j$ 列的元，剩下的元不改變原來的順序所構成的 $n?1$ 階行列式稱為元 $a_{ij}$ 的余子式。

作用：能把 $n$ 階的行列式化簡為 $n?1$ 階。

2) 代數(shù)余子式

2. 行列式的含義

行列式，記作 $det(A)$，是一個將方陣 $A$ 映射到實數(shù)的函數(shù)。行列式等于矩陣特征值的乘積。行列式的絕對值可以被認為是衡量矩陣相乘后空間擴大或者縮小了多少。如果行列式是 $0$, 那么空間至少沿著某一維完全收縮了，使其失去了所有的體積。如果行列式是 $1$, 那么矩陣相乘沒有改變空間體積。

行列式等于它任意一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和。

本質含義（幾何意義）：行列式就是在給定一組基下，$N$ 個向量張成的一個 $N$ 維廣義四邊形的體積。$2$ 階行列式代表的是平面內的面積；$3$ 階行列式自然而然就是 $3$ 維空間內的體積；$4$ 階行列式是 $4$ 維空間里的超體積。

3. 矩陣的秩(rank)

1) 基本概念

$k$ 階子式：在一個矩陣或行列式中取 $k$ 行 $k$ 列，交叉處的 $k^2$ 個元素按原順序構成的行列式。

[1] 從子式的角度定義：矩陣的秩就是矩陣中非零子式的最高階數(shù)。

[2] 從極大線性無關組的角度定義：矩陣的所有行向量中極大線性無關組的元素個數(shù)。

[3] 從標準型的角度定義：求一個矩陣的秩，可以先將其化為行階梯型，非零行的個數(shù)即為矩陣的秩。（行階梯型矩陣的秩等于其非零行的行數(shù)。）

2) 與向量組的關系

矩陣的秩等于它列向量組的秩，也等于它行向量組的秩。

向量組的秩定義為向量組的極大線性無關組所含向量的個數(shù)。

3) 與向量空間的關系（幾何意義）

任何矩陣的行空間的維數(shù)等于矩陣的列空間的維數(shù)等于矩陣的秩。

4) 與線性方程組解的關系

設 $A$ 是 $m\times n$ 矩陣，若 $R(A)=r＜n$，則齊次線性方程組 $Ax=0$ 有基礎解系，且每個基礎解系都含 $n?r$ 個解向量。

4. 矩陣的跡

方陣 $A(n?n)$ 的跡定義為對角線元素的和。即：

5. 線性方程組解的情況 / 判斷一個線性方程組是否有解有哪幾種方法？

1) 對于齊次線性方程組$Ax=0$

$r(A)=n$，有惟一零解；$r(A)<n$，有無窮多解。

2) 對于非齊次線性方程組$Ax=b$

$r(A)=r(A,b)$，無解；$r(A)=r(A,b)=n$，有唯一解；$r(A)=r(A,b)<n$，有無窮多解。

6. 線性相關與線性無關

1) 含義

向量組A線性無關的充分必要條件是 $R(A)=m$.

2) 幾何意義

一組矢量的線性相關性本質上，是描述他們所張成的廣義平行四邊形體積是否為零。$N$ 個向量線性無關?他們所張成的N維體體積不為零。于是有：線性無關矢量組成的矩陣的行列式不為零；線性相關矢量組成的矩陣的行列式必為零。

3) 一個矩陣線性無關的等價定義有什么？

非奇異矩陣、矩陣可逆、矩陣滿秩、特征值沒有 $0$。（奇異矩陣：行列式等于零的矩陣（方陣）。）

7. 線性空間（向量空間）

$n$ 維向量構成的非空集合，對于向量加法和數(shù)乘兩種運算封閉。

給元素裝配了加法和數(shù)乘的非空集合。

8. 向量空間的基與維數(shù)

1) 基

設 $V$ 是一向量空間，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r\in V$ 且滿足：

a) ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$ 線性無關；

b) $V$ 中向量均可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$ 線性表示。

則稱 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$ 為 $V$ 的一個基。

2) 維數(shù)

基中所含向量個數(shù) $r$ 稱為向量空間的維數(shù)。

9. 特征值和特征向量

1) 定義

對方陣 $A$ 滿足：$Ax=\lambda x$，其中 $x$ 為非零向量，則稱 $x$ 為特征向量，$\lambda$ 為特征值。

2) 矩陣的特征值與特征向量有什么關系？

[1] 一個特征值可能對應多個特征向量，一個特征向量只能屬于一個特征值。

[2] 屬于不同特征值的特征向量一定線性無關。

[3] 設 $\lambda$ 是 $n$ 階方陣 $A$ 的一個 $k$ 重特征值（$\lambda$ 為特征方程的 $k$ 重根），對應于 $\lambda$ 的線性無關的特征向量的最大個數(shù)為 $l$，則 $k\ge l$，即特征值 $\lambda$ 的代數(shù)重數(shù)不小于幾何重數(shù)。

3) 特征值和特征向量的意義

如果一個向量投影到一個方陣定義的空間中只發(fā)生伸縮變化，而不發(fā)生旋轉變化，那么該向量就是這個方陣的一個特征向量，伸縮的比例就是特征值。

特征向量的代數(shù)含義是：將矩陣乘法轉換為數(shù)乘操作；特征向量的幾何含義是：特征向量通過方陣 $A$ 變換只進行伸縮，而保持特征向量的方向不變。特征值表示的是這個特征到底有多重要，類似于權重，而特征向量在幾何上就是一個點，從原點到該點的方向表示向量的方向。

10. 相似矩陣

11. 什么是向量正交？什么是矩陣正交？

若$(\alpha ,\beta )=0$，則稱向量 $\alpha$ 與 $\beta$ 正交。

若 $n$ 階方陣 $A$ 滿足 ，則稱 $A$ 為 $n$ 階正交矩陣。

12. 正交矩陣

矩陣的轉置和矩陣的乘積=單位陣，那么這個矩陣就是正交矩陣，它的列向量組一定是標準正交向量組。

正交矩陣是指矩陣的轉置等于矩陣的逆的矩陣。

13. 合同矩陣

14. 什么是正定矩陣？什么是半正定矩陣？

1) 正定矩陣

• 前提：矩陣是對稱的

• 正定矩陣的所有特征值大于零

• 各階主子式大于零

2) 半正定矩陣

• 多元正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣要求是半正定的。

15. 相似與對角化

相似對角化后，對角線的值就是矩陣 $A$ 的 $n$ 個特征值。

16. 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)

1) 向量范數(shù)

• $1$-范數(shù)：，即向量元素絕對值之和，$x$ 到零點的曼哈頓距離。

• $2$-范數(shù)：，Euclid范數(shù)（歐幾里得范數(shù)，常用于計算向量長度），即向量元素絕對值的平方和再開方，表示 $x$ 到零點的歐式距離。

• $\infty$-范數(shù)： ，即所有向量元素絕對值中的最大值。

• $?\infty$-范數(shù)：，即所有向量元素絕對值中的最小值。

• $p$-范數(shù)：，即向量元素絕對值的 $p$ 次方和的 $\frac{1}{p}$ 次冪，表示 $x$ 到零點的 $p$ 階閔氏距離。

2) 矩陣范數(shù)

總結

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