行列式：

• • 線性代數考研筆記（一）：行列式
  • • • • 行列式相關概念：
        • 行列式的運算性質：
        • 特殊行列式：

線性代數考研筆記（一）：行列式

• 行列式相關概念：

  • k階子式：對于矩陣A，任取k行和k列，將位于這些行和列的交點上的元素按照原來的次序組成的k階方陣的行列式，叫做A的一個k階子式；
  • k階余子式：對于n階行列式$D$，把某k階子式劃去之后，所留下來的n-k階行列式$D^{\prime }$叫$D$的一個k階余子式；
  • k階代數余子式：對于劃去第$i_1,i_2,..,i_k$行和第$j_1,j_2,..,j_k$列的元素的k階余子式$D^{\prime }$，稱$M=(?1{)}^{\sum i+\sum j}{D}^{\prime }$為$D^{\prime }$對應的k階代數余子式；

• 行列式的運算性質：

  • 行列式運算原理：$D=\Sigma (?1{)}^k{a}_{1k_1}{a}_{2k_2}...a_{n{k}_n}$

    其中，ki是行列式的列序號的某一種排列，k是其對應的逆序數，若行序號同樣取任意排列，則k為兩個排列的逆序數之和；

    由表達式可知，行列式的某一個加數一定是取自不同行且不同列的元相乘得到的，這種本質規則在很多時候能簡化行列式的運算；

  • 初等變換：

    • 交換變換：對換兩行/列，行列式變號 $?$ 若行列式某兩行/列相等，則為零；
    • 數乘變換：若行列式某行/列有公因數k，則可以將k提到行列式外部 $?$ 若行列式數乘k，則相當于行列式中某一行/列乘以k，而不是全部元素；
    • 消法變換：行列式不變 $?$ 若行列式兩行/列成比例，則行列式為零；

  • 行列式的加法拆分：
    如果行列式的某一行/列的每個元素都可以拆成兩個數之和，則該行列式可以拆成兩個行列式之和;

    其中這兩個行列式的某行以原行列式對應元素拆成的兩個數分別組成；

  • 拉普拉斯展開定理：

    • 在n階行列式$D=|a_{ij}|$中任取k行（k列），則由這k行（k列）元素組成的所有k階子式與它們的代數余子式的乘積之和等于$|D|$；

    • 當$k=1$時，行列式$D$的任一行（任一列）元素與其對應代數余子式乘積之和為$|D|$，與另一行（另一列）的代數余子式乘積之和為0，即：
      $$\begin{gathered} \sum _{k=1}^n{a}_{ik}{M}_{jk}=\{\begin{array}{ll}|D|,& j=i\\ 0,& j=i\end{array} \\ \sum _{k=1}^n{a}_{ki}{M}_{kj}=\{\begin{array}{ll}|D|,& j=i\\ 0,& j=i\end{array} \end{gathered}$$

    • 兩個特殊的拉普拉斯展開式：設$A,B$分別為$m,n$階矩陣，則：
      $$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc}A& ?\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ ?& B\end{array}\right|=|A||B| \\ \left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& ?\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}?& A\\ B& O\end{array}\right|=(?1{)}^{mn}|A||B| \end{gathered}$$

  • 比內特-柯西公式：

    設$A,B$分別是$n\times s,s\times n$矩陣，則：
    $$det(AB)=?\begin{array}{ll}0,& n>s\\ det(A)\times det(B),& n=s\\ \sum _{k_1,k_2,..,k_n}detA(12..n;k_1{k}_2..k_n)\times detB(k_1{k}_2..k_n;12..n),& n<s\end{array}$$

  • 常用運算公式：

    • $|D|=|D^T|$；
    • $|kD|=k^n|D|$；
    • $|AB|=|A||B|$；
    • $|A^n|=|A{|}^n,n\in N或n=?1$；
    • $|A^{?}|=|A{|}^{n?1}$；
    • $|A|=\prod {\lambda }_i$，其中${\lambda }_i$是$A$的第i個特征根；

• 特殊行列式：

  • 主對角線的上、下三角行列式：
    $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ..& a_{1n}\\ 0& a_{22}& ..& a_{2n}\\ ..& ..& ..& ..\\ 0& 0& ..& a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& ..& 0\\ a_{21}& a_{22}& ..& 0\\ ..& ..& ..& ..\\ a_{n1}& a_{n2}& ..& a_{nn}\end{array}\right|=\prod a_{ii}$$

  • 副對角線的上、下三角行列式：
    $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ..& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ..& 0\\ ..& ..& ..& ..\\ a_{n1}& 0& ..& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& 0& ..& a_{1n}\\ 0& a_{22}& ..& a_{2n}\\ ..& ..& ..& ..\\ a_{n1}& a_{n2}& ..& a_{nn}\end{array}\right|=(?1{)}^{\frac{n(n?1)}{2}}\prod a_{i(n?i)}$$

  • 范德蒙德行列式：
    $$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& ..& 1\\ x_1& x_2& ..& x_n\\ x_1^2& x_2^2& ..& x_n^2\\ ..& ..& ..& ..\\ x_1^{n?1}& x_2^{n?1}& ..& x_n^{n?1}\end{array}\right|=\prod _{1\le j<i\le n}(x_i?x_j)$$

  • 三對角行列式：
    $$\begin{gathered} D_n=\left|\begin{array}{cccccc}b& a& 0& ..& 0& 0\\ c& b& a& ..& 0& 0\\ 0& c& b& ..& 0& 0\\ ..& ..& ..& ..& ..& ..\\ 0& 0& 0& ..& b& a\\ 0& 0& 0& ..& c& b\end{array}\right|=b{D}_{n?1}?c{D}_{n?2} \\ {D}_1=\left|\begin{array}{c}b\end{array}\right|=b,D_2=\left|\begin{array}{cc}b& a\\ c& b\end{array}\right|=b^2?ac \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数考研笔记（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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