線性方程組：

• • 線性代數考研筆記（三）：線性方程組
  • • • • 非齊次線性方程組解的個數判定：
        • 齊次線性方程組解的個數判定：
        • 求解矩陣方程的方法：
        • 線性方程Ax=b的解的結構：

線性代數考研筆記（三）：線性方程組

• 非齊次線性方程組解的個數判定：

  • 唯一解：$r(系數)=r(增廣)=n?|A|=0$ ;
  • 無窮解：$r(系數)=r(增廣)<n?|A|=0$ ;
  • 無解/不相容：$r(系數)<r(增廣)?|A|=0$ ;

• 齊次線性方程組解的個數判定：

  • 唯一解/零解：$r=n?|A|=0$ ;
  • 無窮解：$r<n?|A|=0$;

• 求解矩陣方程的方法：

  • 初等行變換：

    • $AX=B:（A|B）?(E|X)$；
    • $XA=B:(A^T|B^T)?(E|X^T)$；

  • 逆矩陣法：

    • $AX=B:X=A^{?1}B$；
    • $XA=B:X=B{A}^{?1}$；

  • 克拉默法則：

    對于$AX=b$的n個n元線性方程組，若系數矩陣的行列式$|A|=0$，則方程組有唯一解：
    $$X=(x_1,x_2,..,x_n),x_j=\frac{|A_j|}{|A|}$$
    其中$A_j$是將系數矩陣$A$的第$j$列用$b$替換得到的矩陣；

• 線性方程Ax=b的解的結構：

  • 基礎解系：$Ax=b$的解，將A化為行最簡階梯型矩陣，可得到含n-r個參數的由n-r個解列向量線性組合而成的基礎解系（一般n-r個解是依次令參數$c_i=1$，其余$c_j=0$，從而得到一組線性無關的解集）；
  • 通解：
    • 對于齊次線性方程組而言，基礎解系為其通解，基礎解系生成的線性空間叫做解空間；
    • 對于非齊次線性方程組而言，其導出組（即對應的齊次方程組）的通解，再加上一組特解，即為非齊次線性方程組的通解，特解的構造方法一般是將$(A|b)$化為A的行最簡階梯型矩陣，再令n-r個參數全為零，此時得到的解，就是一個特解）；
  • 已知$Ax=0$的基礎解系，反求系數矩陣$A$：
    • $A$的任意行向量${\alpha }_i$與解向量$x$是正交的：$\alpha ?x=0$；
    • 則將解向量的基礎解系轉置作為齊次方程組$Bx=0$的行向量時，$A$的行向量${\alpha }_i$就是該方程組的解向量的基礎解系的轉置；
    • 注：所求方程組的表達式不唯一，但是都是同解方程組；
  • $A^{?}x=0$的通解：因為$A^{?}{A}^{?1}=|A|E$，若$|A|=0$，則$A$的列向量的極大線性無關組即是該方程的基礎解系；
  • 若$r(A)=r<n$，則齊次方程$Ax=0$有$n?r$個線性無關的解向量，此時若非齊次方程$Ax=b$有解，則其有$n?r+1$個線性無關的解向量；
  • 齊次方程組的同解問題：若兩個齊次方程組的系數矩陣行等價，則二者同解（充要）；
  • 非齊次方程組的公共解和同解問題：
    • 已知兩個具體的方程組, 求它們的公共解：聯立方程組, 新的方程組若有解, 即為所求的公共解。
    • 已知兩個具體的同解方程組, 其中一個含參數, 另外一個不含參數：
      • 求解無參數的方程組, 得到它的解, 代入含參數方程組解出參數；
      • 將所求參數代回含參方程組，求出通解, 驗證兩個方程組同解；
  • 矩陣方程$AX=B$有解的充要條件為：$r(A)=r(A|B)$；

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数考研笔记（三）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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