最近在準(zhǔn)備2022的計(jì)算機(jī)考研本篇文章是數(shù)學(xué)一，線性代數(shù)的筆記教材是同濟(jì)大學(xué)的教材后續(xù)會(huì)更新

目錄

• 0. 概要
• 1. 行列式
• 2. 矩陣
• • 2.1 特殊矩陣
  • 2.2 矩陣運(yùn)算
  • • 2.2.1 矩陣乘法
    • 2.2.2 矩陣轉(zhuǎn)置
    • 2.2.3 方陣的行列式
  • 2.3 伴隨矩陣
• 3. 向量
• 4. 線性方程組
• 5. 矩陣特征
• 6. 二次型
• • 6.1 基本概念
  • 6.2 化標(biāo)準(zhǔn)型
  • 6.3 化規(guī)范型
  • 6.4 正定矩陣
  • 6.5 等價(jià)，相似，合同

0. 概要

1. 行列式

2. 矩陣

2.1 特殊矩陣

考試中我們會(huì)經(jīng)常見到三類特殊的矩陣，關(guān)于他們的一些特殊的性質(zhì)我會(huì)在矩陣乘法里詳細(xì)介紹。

列向量
$$?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ?\\ x_n\end{array}?$$
行向量
$$\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& ?& x_n\end{array}\right]$$
對角矩陣
$$?\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& ?& 0\\ 0& a_{22}& ?& 0\\ ?& ?& ?& ?\\ 0& 0& ?& a_{mn}\end{array}?$$

2.2 矩陣運(yùn)算

2.2.1 矩陣乘法

矩陣的運(yùn)算不滿足交換律和消去律！！！

2.2.2 矩陣轉(zhuǎn)置

2.2.3 方陣的行列式

2.3 伴隨矩陣

3. 向量

4. 線性方程組

5. 矩陣特征

6. 二次型

二次型的概念可能有很多同學(xué)不清楚，一定不要因?yàn)樽詈笠徽露粢暂p心，本章是重點(diǎn)，同時(shí)要分清相似，合同，等價(jià)的不同。

6.1 基本概念

二次型的定義
$$f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{T}Ax，其中A為系數(shù)矩陣，A=（a_{ij}{）}_{n\times n}$$

矩陣A并不一定是對稱矩陣，但是為方便運(yùn)算，常常把A寫成對稱的形式，我們在計(jì)算時(shí)，一定要先注意先把A化成對稱的形式

有些時(shí)候題目可能會(huì)在二次型的表示上有難度，我們只要記住將：
$$a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=[a,b,c]?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=\alpha ?x=x^T?{\alpha }^T$$ $$(a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3{)}^2=(\alpha ?x{)}^2=x^T{\alpha }^T\alpha x$$
表示為行向量與列向量相乘的形式即可，比如上式子中可以求得$A={\alpha }^T\alpha$

標(biāo)準(zhǔn)型：只含平方項(xiàng)的二次型（標(biāo)準(zhǔn)型不唯一）
規(guī)范型：平方項(xiàng)的系數(shù)只取1，-1,0(二次型的規(guī)范型是唯一的)
正慣性指數(shù)：正平方項(xiàng)個(gè)數(shù)
負(fù)慣性指數(shù)：負(fù)平方項(xiàng)個(gè)數(shù)

6.2 化標(biāo)準(zhǔn)型

求標(biāo)準(zhǔn)型有兩種方法，兩種的適用范圍不同，并且都要掌握。
1. 正交變換法（特征值法）
對稱矩陣是必定可以相似對角化的，所以這種方法是這肯定可以的
利用$|A?\lambda E|=0$解出特征值和對應(yīng)特征向量，同時(shí)利用 施密特正交化 k重根的對應(yīng)的特征向量（因?yàn)椴煌卣髦祵?yīng)的特征向量已經(jīng)正交了）
一般考研中就考到2個(gè)，這里給出示例:
假如三階矩陣A對應(yīng)特征值為${\lambda }_1,{\lambda }_1,{\lambda }_2$，對應(yīng)特征向量為${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$
令$$\begin{gathered} {\beta }_1={\alpha }_1 \\ {\beta }_2={\alpha }_2?\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}?{\beta }_1 \end{gathered}$$
然后單位化得到：
$$(\frac{{\beta }_1}{||{\beta }_1||},\frac{{\beta }_2}{||{\beta }_2||},\frac{{\alpha }_3}{||{\alpha }_3||})=P$$
則$$P^{T}AP=?\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_1& \\ & & {\lambda }_3\end{array}?$$
其中P為正交矩陣，即$P^T=P^{?1}$
2. 配方法
當(dāng)特征值不好求或者說特征值的值求出來比較復(fù)雜的時(shí)候（比如帶根號或者復(fù)雜的分?jǐn)?shù)），并且題目只求標(biāo)準(zhǔn)型而不求正交矩陣P的時(shí)候，就可以考慮配方法。
要點(diǎn)在于每次提取參數(shù)時(shí)要保證少一個(gè)，也就是說如果$x_1$被提出來之后，之后就不能再出現(xiàn)$x_1$了，這樣才能保證是線性變換，下面給出示例：
假設(shè)$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2?2x_1{x}_2?2x_2{x}_3?2x_1{x}_3$
先配$x_1$，再配$x_2$和$x_3$:
$$\begin{gathered} 2(x_1^2?x_1{x}_2?x_1{x}_3)+2x_2^2+2x_3^2 \\ =2[x_1^2?2x_1?\frac{x_2+x_3}{2}+(\frac{x_2+x_3}{2}{)}^2]+\frac{3}{2}(x_2+x_3{)}^2 \end{gathered}$$
最后就可以得到標(biāo)準(zhǔn)型：$$f(x_1,x_2,x_3)=2y_1^2+\frac{3}{2}{y}_2^2$$

注意：

標(biāo)準(zhǔn)型一定是以特征值作為系數(shù)嗎？當(dāng)然不是，首先我們知道標(biāo)準(zhǔn)型不是唯一的，其次兩種方法得到的系數(shù)是否相同，這取決于變換的矩陣P，如果是正交變換，那么系數(shù)一定是特征值，如果不是，則不是對應(yīng)特征值。

配方法的前提一定是可逆變換，即$x=Py$中的P一定要是可逆矩陣，所以不當(dāng)題目看似已經(jīng)配好了平方項(xiàng)的時(shí)候，一定要寫出P是否為可逆變換，按照經(jīng)驗(yàn)來說，多半是命題人挖的坑。

6.3 化規(guī)范型

這個(gè)考點(diǎn)比較偏，很難考到，但是秉持面面俱到的原則，還是提出來。在我們已經(jīng)得到正交矩陣P將系數(shù)矩陣A變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型的情況下，如何獲得變換為標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣呢？
我們只需要將對角矩陣單位化，但是需要左右兩邊都乘一個(gè)矩陣，所以考慮一個(gè)對角矩陣，其對角元素取特征值絕對值的根號分之一，如果為0，則取1，如下所示：
$$Q={?\begin{array}{cccccc}\frac{1}{\sqrt{|{\lambda }_1|}}& & & & & \\ & \frac{1}{\sqrt{|{\lambda }_2|}}& & & & \\ & & ?& & & \\ & & & \frac{1}{\sqrt{|{\lambda }_p|}}& & \\ & & & & 1& \\ & & & & & ?\end{array}?}_{n\times n}$$
令$x=Py$得到標(biāo)準(zhǔn)型，$y=Qz$ 得到標(biāo)準(zhǔn)型，那么$x=PQz$
$$f=x^{T}Ax=z^T(PQ{)}^{T}A（PQ）z=(\pm )z_1^2+.......(\pm )z_p^2$$
$\pm$取決于特征值的正負(fù),而雖然變換$x=Py$是正交變換，但是$x=PQz$不一定是正交變換

6.4 正定矩陣

正定矩陣應(yīng)該是二次型考的最多的地方了，一般是考察對正定矩陣的判定。充分必要條件有四個(gè)，都很重要：（一定要注意，正定矩陣一定是對稱矩陣）
若一個(gè)二次型為正定二次型：
$?$ 1. 特征值：A的n個(gè)特征值全部大于零 $?$ 正慣性指數(shù)為n
$?$ 2. 定義：任意$\mathbf{x}=0$ 有$x^{T}Ax>0$
$?$ 3. 順序主子式：矩陣A的個(gè)順序主子式大于零

對于抽象形矩陣，我們一般用定義法和特征值法結(jié)合使用來判斷一個(gè)矩陣是否正定

通過對抽象矩陣左乘$x^T$，右乘$x$來變換矩陣，然后利用已知條件求解，有時(shí)候會(huì)利用矩陣的秩，即如果出現(xiàn)$(Ax{）}^T(Ax)=||Ax|{|}^2$的形式，若已知A滿秩，那么$Ax=0$只有在$x=0$有解，也就是說任意$\mathbf{x}=0,||Ax|{|}^2>0$，即$A^{T}A$正定。、

如果已知一個(gè)矩陣A正定，那么A的逆矩陣，對稱矩陣，或者A的特征多項(xiàng)式都可以利用矩陣A的特征值來判斷，比如$B=A^2+A^{?1}$在A正定的前提下就一定正定，因?yàn)锽對應(yīng)特征值為${\lambda }^2+\frac{1}{\lambda }>0$

對于具體矩陣，一般利用順序主子式的判別法或者求出矩陣的特征值來判斷是否正定，有時(shí)候也會(huì)使用定義法。
這里特別提一下定義法解法，一般也是如下這種考察形式：

設(shè)$f(x_1,x_2,x_3)=(a{x}_1+x_2?x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2+(x_1?2x_2+a{x}_3{)}^2$正定，求$a$取值范圍
$[思路]$ 可以看到$f(x_1,x_2,x_3)$恒大于0，因?yàn)槭侨齻€(gè)平方項(xiàng)相加，唯一不正定的情況就是$f(x_1,x_2,x_3)=0$并且$x_1,x_2,x_3$不全為零，到這一步，就已經(jīng)將正定轉(zhuǎn)化為了線性方程組的問題，即將括號內(nèi)的三個(gè)方程看作系數(shù)矩陣，如果此矩陣滿秩，則沒有非零解，則$f(x_1,x_2,x_3)$正定。而判斷一個(gè)矩陣是否滿秩，如果是方陣可以直接求行列式，否則化作行階梯矩陣觀察。
而這道題如果打開括號，求出二次型的系數(shù)矩陣A，無論是用特征值法或者順序主子式法都很難算，考研的后期一定要注意簡化運(yùn)算的問題。

6.5 等價(jià)，相似，合同

很多同學(xué)到了后期對這三個(gè)概念可能會(huì)有模糊，這里特地做一個(gè)講解。
首先確定一個(gè)概念，三個(gè)矩陣關(guān)系中，相似是最強(qiáng)力的，等價(jià)最弱，然后就可以開始我們的講解了。
對于兩個(gè)矩陣$A,B$
1. 矩陣等價(jià)：指的是$A$可以經(jīng)過若干次初等變換變換成$B$，由于初等變換也是可逆變換，所以兩個(gè)矩陣的秩一定是相等的，并且兩個(gè)矩陣一定同型，不然是無法初等變換得到的，同時(shí)可以推理得到這個(gè)關(guān)系是可傳遞的，其實(shí)這三個(gè)關(guān)系都是可傳遞的。
2. 矩陣合同：不僅要求$A,B$同型，并且都是方陣和對稱矩陣，指的是存在一個(gè)可逆矩陣P使得$P^{T}AP=B$，這個(gè)概念可能有些抽象，從特征值的角度理解比較方便，就是兩者的特征值正負(fù)慣性指數(shù)相等，而這也就意味著二者秩相等，同時(shí)正定或者不正定。
3. 矩陣相似：要求$A,B$同型，并且都是方陣，指的是存在一個(gè)可逆矩陣P使得$P^{?1}AP=B$，從特征值的角度來說就是，二者特征值相等，并且還有一個(gè)隱含條件，二者必定同時(shí)可相似對角化或者不能，即對應(yīng)的特征值的對應(yīng)特征向量個(gè)數(shù)一樣。
發(fā)現(xiàn)了嗎？為什么等價(jià)最弱，因?yàn)楹贤拖嗨贫寄芡瞥龅葍r(jià)，秩相等是三個(gè)關(guān)系的共性，而為什么相似最強(qiáng)，因?yàn)樵诤贤幕A(chǔ)上，還要求了特征值相等，合同只是特征值的正負(fù)關(guān)系相等，但是注意相似卻不一定能推出合同，因?yàn)楹贤那疤崾菍ΨQ矩陣。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学一 线性代数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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