習(xí)題十

:

等價(jià)關(guān)系與等價(jià)類

‘

‘

1

．設(shè)

R

和

R

是集合

A

上的等價(jià)關(guān)系，用例子證明

R???R

不一定是等價(jià)關(guān)系。

2

．試問由

4

個(gè)元素組成的有限集上所有的等價(jià)關(guān)系的個(gè)數(shù)為多少

3

．給定集合

S

=

｛

1

，

2

，

3

，

4

，

5

｝，找出

S

上的等價(jià)關(guān)系

R

，此關(guān)系

R

能夠產(chǎn)生劃分｛

｛

1

，

2

｝，｛

3

｝，｛

4

，

5

｝｝并畫出關(guān)系圖。

4

．設(shè)

R

是一個(gè)二元關(guān)系，設(shè)

S

｛

a,b

|

對(duì)于某一

c

，有

a,?c

R

且

c,b

R

｝

，證

明若

R

是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，則

S

也是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

5

．設(shè)正整數(shù)的序偶集合

A

，在

A

上定義的二元關(guān)系

R

如下：

x,?y?,?u,?v

R,

當(dāng)且僅當(dāng)

xv

yu

，證明

R

是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

6

．設(shè)

R

是集合

A

上的對(duì)稱和傳遞關(guān)系，證明如果對(duì)于

A

中的每一個(gè)元素

a

，在

A

中同時(shí)也

存在一個(gè)

b

，使

a,?b

在

R

之中，則

R

是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

7

．設(shè)

R

1

和

R

2

是非空集合

A

上的等價(jià)關(guān)系，確定下述各式，哪些是

A

上的等價(jià)關(guān)系，對(duì)不

是的提供反例證明。

a)

(?A??A)??R

1

b)

R

1

R

2

c)

R

1

2

d)

r?(R

1

R

2

)

(

即

R

1

R

2

的自反閉包

)

。

8

．

設(shè)

C

*

是

實(shí)

數(shù)

部

分

非

零

的

全

體

復(fù)

數(shù)

組

成

的

集

合

，

C

*

上

關(guān)

系

R

定

義

為

：

(

a

b

i

)?R(c

d

i

)

ac

0

，證明

R

是等價(jià)關(guān)系，并給出關(guān)系

R

的等價(jià)類的幾何說明。

9

．設(shè)

和

‘

A

‘

和

誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系，那

是非空集合

上的劃分，并設(shè)

R

和

R

是分別由

么，

細(xì)分

的充要條件是

R????R

。

10

．設(shè)

R

j

表示

I

上的模

j

等價(jià)關(guān)系，

R

k

表示

I

上的模

k

等價(jià)關(guān)系，

證明

I

/

R

k

細(xì)分

I

/

R

j

當(dāng)且僅當(dāng)

k

是

j

的整數(shù)倍。

11

．

A

，

B

是全集

E

的子集，各命題及由這些命題構(gòu)成的集合

X

如下所示。

X

p,?q,?r,?s,?t,u,?v,?w,?y,?z

，其中

總結(jié)

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