擴(kuò)展有限元求解弱不連續(xù)問題.

擴(kuò)展有限元求解弱不連續(xù)問題數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) 2011屆 段斯琦摘要：擴(kuò)展有限元 ( XFEM ) 是在標(biāo)準(zhǔn)有限元的框架下，提出來的一種有利于解決裂紋、孔洞、夾雜等不連續(xù)問題的數(shù)值方法. 本文闡述了XFEM的基本原理，分別以孔洞、夾雜做為弱不連續(xù)問題的代表，推導(dǎo)了擴(kuò)展有限元求解弱不連續(xù)問題的支配方程，并采用水平集法 ( LSM ) 描述不連續(xù)面的幾何特性及其移動(dòng)規(guī)律；展示了擴(kuò)展有限元法在求解弱不連續(xù)問題中的獨(dú)特優(yōu)勢(shì). 關(guān)鍵詞：擴(kuò)展有限元；弱不連續(xù)；水平集法；孔洞/夾雜中圖分類號(hào)：TB115The Extended Finite Element Method for Weak DiscontinuitiesAbstract: The extended finite element method ( XFEM ) is a new numerical method for modeling discontinuity such as cracks，holes，inclusions etc，which based on the standard finite element framework. In this paper，the basic principle of extended finite element method for solving the weak discontinuity problem such as void or inclusion in solids is introduced. The governing equation of extended finite element method solution of weak discontinuities is derived. The level sets method ( LSM ) is used to describe the geometric characteristics and movement rules of discontinuity. The numerical results show the unique advantage of the extended finite element method to solving the weak discontinuity problems.Key words: extended finite element method; weak discontinuities; level sets method; void & inclusion目錄1 引言12 擴(kuò)展有限元法 ( XFEM )22.1 XFEM的基本方程22.2 單位分解函數(shù) ( PUM )22.3 孔洞和夾雜問題33 水平集法 ( LSM )43.1 水平集函數(shù)53.2 LSM對(duì)孔洞和夾雜的描述54 XFEM的位移模式84.1 Standard-XFEM84.2 Shifted-XFEM94.3 Modified-XFEM94.4 Corrected-XFEM94.5 Expanded corrected-XFEM105 數(shù)值算例105.1 單夾雜問題115.2 多夾雜問題13結(jié)束語(yǔ)14參考文獻(xiàn)14致謝15擴(kuò)展有限元求解弱不連續(xù)問題1 引言固體力學(xué)中存在兩類不連續(xù)問題：強(qiáng)不連續(xù) ( 位移不連續(xù) ) 問題和弱不連續(xù) ( 應(yīng)變不連續(xù) ) 問題. 常規(guī)有限元法 ( finite element method，FEM ) 在處理這些不連續(xù)問題時(shí)，需嚴(yán)格按照材料的幾何或物理邊界來剖分網(wǎng)格，前處理工作十分繁瑣甚至無能為力. 　 常規(guī)有限元方法是目前解決科學(xué)和工程問題最有效的數(shù)值方法，與其它數(shù)值方法相比，它具有適用于任意幾何形狀和邊界條件、材料和幾何非線性問題、容易編程、成熟的大型商用軟件較多等優(yōu)點(diǎn). 但是，在求解一些特殊問題，特別是間斷問題時(shí)，有限元方法存在著某些固有的缺陷. 例如： ( 1 ) 有限元采用的是連續(xù)性的位移近似函數(shù)，對(duì)于裂紋類強(qiáng)間斷問題，為獲得足夠的計(jì)算精度，需要對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行足夠的細(xì)分，計(jì)算量極大. ( 2 ) 在采用拉格朗日法求解金屬?zèng)_壓成形、裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展、流固耦合、局部剪切等涉及特大變形問題時(shí)，有限元網(wǎng)格可能會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重扭曲，使計(jì)算精度急劇下降甚至計(jì)算無法繼續(xù)，因此，需要不斷地進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)，計(jì)算量極大. 同時(shí)，為了模擬裂紋的動(dòng)態(tài)擴(kuò)展過程，也需要不斷地進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu). ( 3 ) 在處理夾雜問題時(shí)，單元的邊須位于夾雜與基體的界面處，即使對(duì)于網(wǎng)格自動(dòng)化程度很高的二維問題這也很不容易，而三維問題則更復(fù)雜. 針對(duì)有限元方法的這些不足，1999年，美國(guó)西北大學(xué)的Belytschko研究組提出了一種用于處理

總結(jié)

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