前言

概念

蠻力法(brute force)：直接基于問題的描述和所涉及的概念定義的進行算法設計，簡單而直接。

蠻力法應用特點

蠻力法所能解決的問題跨越的領域非常廣泛。

對于一些重要的問題，運用蠻力策略可以設計出具備一定實用價值的算法，并且不用限制實例的規模。

當要解決的問題實例不多并且可以接受蠻力法的運算速度時，蠻力法的設計代價通常較為低廉。

蠻力算法可以作為衡量其它算法的準繩，服務于研究或教學。

枚舉法

算法框架

依據問題，設定枚舉范圍；

找出約束條件，建立計算模型；

利用計算模型在枚舉范圍內搜索可能的解。

例題1

輸入n個數字(在0與9之間)，然后統計出這組數中相鄰兩個數字組成的鏈環數字對出現的次數。如：n=20,輸入為0 1 5 9 8 7 2 2 2 3 2 7 8 7 8 7 9 6 5 9，則輸出為（7，8）=2，（8，7）=3，（7，2）=1，（2，7）=1，（2，2）=2，（2，3）=1，（3，2）=1。

問題分析

可以利用一個二維數組$a[10][10]$存儲出現的數字隊。
首先，將二維數組初始化$a[i][j]=0(0\le i<10,\le j<10)$
然后，每輸入一個數字對，則把對應下標的數組元素加1，如數據輸入的序列為$x$，則$a[x_k][x_{k+1}]=a[x_k][x_{k+1}]+1$
如題目中的例子可以構建出如下的二維數組：

計算模型

輸入序列：$x$
初始化：$a[i][j]=0(0\le i<10,\le j<10)$
$$a[x_k][x_{k+1}]=a[x_k][x_{k+1}]+10\le k<n$$
最后，統計完畢后，輸出a

算法設計與描述

算法分析

例題2

解數字謎，如下

問題分析

一共可以采用三種方式

枚舉測試：五位數的范圍為30000-99999。時間復雜度為99999-30000 + 1 = 70000次

采用構造式的枚舉法：A取值從3-9，B-C取值0-9。時間復雜度為71010 = 700

構造式的枚舉法——除法：D的值從1-9，而A的取值仍然從3-9。兩重循環，時間復雜度為7*9=63。

計算模型

主要針對第三種進行分析
設$A_i\in [3,9],D_j\in [1,9]$
$$?\begin{array}{lr}D=D_j?10^5+?+D_j& \\ Dmod{A}_i==0& 上一步算得的D可以被A_i整除\\ S_i=D/A_i& \\ B_1=S_{i}mod10& \\ A_1=(S_i/10)mod10& \\ C=(S_i/10^2)mod10& \\ B_2=(S_i/10^3)mod10& \\ A_2=(S_i/10^4)mod10& \end{array}$$
判斷$D$是否可以被$A_i$整除，$A_1$與$A_2$是否相等，$B_1$和$B_2$是否相等，上述條件均成立，則找到一個解。

算法設計與描述

輸出：五位數ABCAB，六位數DDDDDD

例題3

輸出玫瑰矩陣，其為n*n的方陣，特征如下所示對應下標的數組元素加1

問題分析

設矩陣為$a[n,n]$可以采用兩種思路

用$i$代表圈數（從0開始），j代表圈內下標變化量：
$$?\begin{array}{lrcc}a[j,i]\leftarrow k& k\leftarrow k+1& j\leftarrow j+1& 左側\\ a[n?i?1,j]\leftarrow k& k\leftarrow k+1& j\leftarrow j+1& 底側\\ a[j,n?i?1]\leftarrow k& k\leftarrow k+1& j\leftarrow j?1& 右側\\ a[i,j]\leftarrow k& k\leftarrow k+1& j\leftarrow j?1& 頂側\end{array}$$
若n為奇數，還需要最后處理，令$a[(n?1)/2,(n?1)/2]=n^2$

可以看出每半圈元素值增長規律變換一次
設增量$t=1$，每半圈變換一次$t\leftarrow ?t$
設矩陣邊長為i，每半圈的元素就是$2?i?1$個，$hc$為半圈內計數變量，$0\le hc<2?i?1$，前1/4圈是$0\le hc<i$，后1/4圈是$i\le hc<2?i?1$。
其中$i$從$n$開始變換，每過半圈 $i=i?1$

計算模型

算法設計與描述

算法分析

窮舉查找

有一些求最優解的問題經過抽象，可以轉換為組合優化問題，使用蠻力法來求解是一種簡單的方法，稱之為窮舉查找（exhaustive search）。

例題4

旅行商問題(traveling salesman problem，TSP) 有一個旅行商由某市出發，經過所有給定的n個城市后，再回到出發的城市。除了出發的城市外，其它城市只經過一回。這樣的回路可能有多個，求其中路徑成本最小的回路。

問題分析

給出一個問題實例，如下

可以通過遍歷a - d的全排列來實現問題求解。

計算模型

存儲 利用圖G(V,E)。邊以臨界矩陣形式存儲，如下

計算 列出所有路徑
a - b - c - d - a
a - b - d - c - a
a - c - b - d - a
a - c - d - b - a
a - d - b - c - a
a - d - c - b - a

計算路徑代價

算法設計與描述

算法分析

$$T(n)=\sum _{i=0}^{n?1}T(i+1)+C$$

例題5

背包問題。給定$n$個重量為$w_1,w_2,\dots w_n$，價值為$v_1,v_2,\dots v_n$的物品和一個承重為$W$的背包，求將這些物品中的某些裝入背包中，在不超出重量$W$的情況下，價值最高的裝法。

問題分析

計算模型

算法設計與描述

圖的搜索

圖的兩個重要的遍歷算法：深度優先查找(depth-first search, DFS)和廣度優先查找(breadth-frist search, BFS)，是窮舉查找的重要應用之一。

深度優先查找

廣度優先查找

例題6

迷宮問題。如圖所示，圖中方格內標為0的為通路，標為1墻。(0,0)為迷宮入口，(7,7)為迷宮出口，請查出由(0,0)到(7,7)的路徑。

問題分析

存儲

移動

計算模型

存儲
采用二維矩陣maze[n][n],進行存儲
其中maze[x][y] = 0表示通路，maze[x][y]=1表示墻，maze[x][y]=2表示死路，maze[x][y] = 3表示已經走過。

行走相對路徑
行走方向：fx[]={-1,1,0,0 }，fy[]={0,0, -1,1}
行走過程：nextx=x+fx[i]，nexty=y+fy[i]
其中，i=0, 1, 2, 3。

算法設計與描述

算法分析

迷宮矩陣：maze[n][n]

依據不同的行走方向，可知$T(n,n)=T(n?1,n)+T(n+1,n)+T(n,n?1)+T(n,n+1)$。然而，這公式并不準確，因為墻的布局對算法的影響很大，所以，最壞情況下，所有頂點都測試過，這時，時間復雜度為
$T(n)=O((n?n?1)?4)$

存儲空間中包括遞歸時的所用的棧，所以，空間復雜度至少為$O(2?n^2)$。

參考資料：張小東老師ppt

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法】蛮力法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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