兩種方法對(duì)最近對(duì)問題的解釋

背景描述：

??終于，隔了將近一周，開始更新第二篇算法博客。今天的問題是最近對(duì)問題。問題描述如下：對(duì)于二維坐標(biāo)系中的若干個(gè)點(diǎn)，從中判斷出相距最近的兩個(gè)點(diǎn)，并輸出最近的這個(gè)距離。
??我之前也翻看了很多篇博客，大家都解釋的很好，但是都只是輸出了最近的距離，而我希望這個(gè)程序不僅能輸出最近距離，同時(shí)還能鎖定是哪兩個(gè)點(diǎn)得到的這個(gè)最近距離。于是，經(jīng)過反復(fù)試錯(cuò)后，終于得到滿意的結(jié)果，馬不停蹄過來更新博客了。

蠻力法：

??首先介紹蠻力法的思路。顧名思義，就是從第一個(gè)點(diǎn)開始，求它和第二個(gè)點(diǎn)之間的距離，然后求它和第三個(gè)點(diǎn)之間的距離，依次往后遍歷。經(jīng)過兩重循環(huán)之后就可以得出最短的距離，同時(shí)鎖定是哪兩個(gè)點(diǎn)產(chǎn)生的。
??可以設(shè)置兩個(gè)一維數(shù)組，一個(gè)存儲(chǔ)橫坐標(biāo)，另一個(gè)存儲(chǔ)縱坐標(biāo)，注意要兩個(gè)數(shù)組彼此之間一一對(duì)應(yīng)。完整算法如下（由于蠻力法較為簡單，此處只給出算法部分，完整程序請(qǐng)參考下面分治法）：

//返回最短長度，并得到該兩個(gè)點(diǎn)在數(shù)組中的下標(biāo)索引index1和index2 float Getclosedpoint(int *x, int *y, int n, int &index1, int &index2) {float min = (x[0] - x[1])*(x[0] - x[1]) + (y[0] - y[1])*(y[0] - y[1]);float path;for (int i = 0; i < n - 1; i++){for (int j = i + 1; j < n; j++){path = (x[i] - x[j])*(x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j])*(y[i] - y[j]);if (path <= min){min = path;index1 = i;index2 = j;}}}return min; }

蠻力法時(shí)間復(fù)雜度分析：

??假設(shè)有n個(gè)點(diǎn)，則從外層循環(huán)是從第一個(gè)數(shù)字開始，循環(huán)到第n-1個(gè)數(shù)停止，共循環(huán)n-1次。內(nèi)層循環(huán)一開始從第一個(gè)數(shù)開始，遍歷求與后面所有的點(diǎn)之間的距離，共n-1次，最后一次循環(huán)從第n-1個(gè)數(shù)開始，求和第n個(gè)數(shù)之間的距離，執(zhí)行1次。所以共執(zhí)行1+2+…+(n-2)+(n-1)=n(n-1)/2;所以時(shí)間復(fù)雜度O(n²).

分治法

??分治法顧名思義是分而治之，將一個(gè)大問題分解成幾個(gè)小問題再逐個(gè)解決。對(duì)于最近對(duì)問題，分治法的思路如下：
??1.首先將這些雜亂的點(diǎn)按照橫坐標(biāo)進(jìn)行排序，然后取中間值mid將這堆點(diǎn)分成左右兩部分。
??2.分別對(duì)左邊和右邊的兩小堆點(diǎn)集再次遞歸使用分治法，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的最短距離d1和d2。
??3.接下來處理mid中間線部分的情況。因?yàn)橛幸环N可能就是距離最短的兩個(gè)點(diǎn)一個(gè)在左區(qū)域一個(gè)在右區(qū)域。因此我們要對(duì)這種情況進(jìn)行解決。辦法是從剛才第二步中的兩個(gè)結(jié)果中取最小值d，然后以步驟1中的中間值mid為基準(zhǔn)，劃分出寬度為2d的一個(gè)區(qū)域，然后將這個(gè)區(qū)域中的點(diǎn)進(jìn)行蠻力法求得對(duì)應(yīng)的最短距離d3。
??4.最后將結(jié)果進(jìn)行比較。
??算法的完整程序如下：

#include<iostream> #include<math.h> #include<time.h> using namespace std;struct point {int x, y; };//對(duì)數(shù)組R[low]到R[hjgh]之間進(jìn)行一次劃分，返回劃分之后中樞軸的位置 int Partition(point *R, int low, int high) {int pivotkey;R[0] = R[low];pivotkey = R[low].x;while (low < high){while (low < high&&R[high].x >= pivotkey)high--;if (low < high)R[low++] = R[high];while (low < high&&R[low].x <= pivotkey)low++;if (low < high)R[high--] = R[low];}R[low] = R[0];return low; } //對(duì)記錄序列R[s..t]進(jìn)行快速排序 void Sort(point *R, int s, int t) {int pivotloc;if (s < t){pivotloc = Partition(R, s, t);Sort(R, s, pivotloc - 1);Sort(R, pivotloc + 1, t);} } //對(duì)數(shù)組R[]進(jìn)行快速排序 R[0]為哨兵單元 void QuickSort(point *R, int n) {Sort(R, 1, n - 1); }double Distance(point a, point b) {return sqrt((a.x - b.x)*(a.x - b.x) + (a.y - b.y)*(a.y - b.y)); }int index(double x, point *S, int low, int high) {for (int i = 0; i < high - low + 1; i++){if (S[i].x <= x && S[i + 1].x > x)return i;} }//對(duì)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組S[low]和S[high]之間的元素進(jìn)行遞歸查找，返回其中最近的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離 //其中l(wèi)oc1，loc2表示這兩個(gè)點(diǎn)在S[]中的下標(biāo) double Closest(point S[], int low, int high,int &loc1,int &loc2) {double d1, d2, d3, d;int a1, b1, a2, b2; //用于遞歸時(shí)記錄最近對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)int mid;int n1 = 0; //遞歸函數(shù)中，用來表示最近對(duì)的下標(biāo)int n2 = 0;if (high - low == 1) //只有兩個(gè)點(diǎn){loc1 = low;loc2 = high;return Distance(S[low], S[high]);}if (high - low == 2) //只有三個(gè)點(diǎn)，求最近距離{d1 = Distance(S[low], S[low + 1]);d2 = Distance(S[low + 1], S[high]);d3 = Distance(S[low], S[high]);if ((d1 < d2) && (d1 < d3)){loc1 = low;loc2 = low + 1;return d1;}else if (d2 < d3){loc1 = low + 1;loc2 = high;return d2;}else{loc1 = low;loc2 = high;return d3;}}mid = (low + high) / 2; //計(jì)算中間點(diǎn)d1 = Closest(S, low, mid, a1, a2); //遞歸求解子問題1d2 = Closest(S, mid + 1, high, b1, b2); //遞歸解決子問題2if (d1 < d2) //以下求解子問題3{d = d1;loc1 = a1;loc2 = a2;}else{d = d2;loc1 = b1;loc2 = b2;}//篩選范圍 S[mid].x-d, S[mid].x+dint index1 = 0;int index2 = 0;for (int i = 0; i < high - low + 1; i++){if (S[i].x <= S[mid].x - d && S[i + 1].x > S[mid].x - d){index1 = i;break;}}for (int i = 0; i < high - low + 1; i++){if (S[i].x <= S[mid].x + d && S[i + 1].x > S[mid].x + d){index2 = i;break;}}//對(duì)S[index1]和S[index2]之間進(jìn)行蠻力法for (int i = index1; i < index2 - index1; i++){for (int j = i + 1; j < index2 - index1; j++){if (S[j].y - S[i].y >= 0)break;else{d3 = Distance(S[i], S[j]);if (d3 < d){d = d3;loc1 = i;loc2 = j;}}}}return d; }int main() {point *S = new point[11];int x[10] = { 12,14,4,77,89,9,99,96,77,93 };int y[10] = { 13,56,55,67,34,21,65,78,87,22 };S[0].x = 0;S[0].y = 0;for (int i = 1; i < 11; i++){S[i].x = x[i - 1];S[i].y = y[i - 1];}QuickSort(S, 11);int index1 = 0;int index2 = 0;cout << Closest(S, 1, 10, index1, index2) << endl;//cout << index1 << " " << index2 << endl;cout << "(" << S[index1].x << "," << S[index1].y << ") 和 (" << S[index2].x << "," << S[index2].y << ")" << endl;cout << "The run time is:" << (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl; }

分治法的時(shí)間復(fù)雜度分析

??對(duì)于分治法，假設(shè)有k個(gè)數(shù)，當(dāng)k=2時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為：T(n)=1;
當(dāng)k>2時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為T(n)=2T(n/2)+n;對(duì)這樣的遞推式最終得到T(n)=O(nlog₂n )。

算法總結(jié)

??對(duì)于分治法，有三點(diǎn)總結(jié)：1.寫遞歸函數(shù)時(shí)，一定一定一定要考慮到遞歸跳出的情況，寫出這種情況時(shí)如何return。2.對(duì)于確定點(diǎn)的坐標(biāo)，遞歸函數(shù)中將index作為引用參數(shù)，傳入函數(shù)體內(nèi)，這種思路沒毛病，需要注意的是，在函數(shù)體內(nèi)再次調(diào)用遞歸函數(shù)時(shí)，傳入的引用不能再是index，要用新的變量。否則的話index就得不到想要的值。3.對(duì)于遞歸函數(shù)，也是可以用new函數(shù)動(dòng)態(tài)分配內(nèi)存空間的，如果報(bào)錯(cuò)，原因極可能是代碼出錯(cuò)。
??最后的最后，這幾天莫名的有些焦慮。因?yàn)樘魬?zhàn)杯，因?yàn)榇髮W(xué)生計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大賽，很多比賽擺在面前但是我卻不知道怎么參加，不知道和誰一起參加，不知道自己的能力夠不夠參加，但是內(nèi)心對(duì)于參賽這種經(jīng)歷的渴望又在催促我去參加。自我的懷疑和對(duì)未知的渴望在我心中糾纏，好焦慮。唉，明天還是去找老師聊一聊伐。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的蛮力法-分治法-处理最近对问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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