文章目錄

• • 1.1 蠻力法的定義
  • 1.2 蠻力法的優(yōu)缺點(diǎn)
  • 1.3 蠻力法的設(shè)計(jì)思想
  • 1.4 蠻力法的經(jīng)典使用
  • • 1.4.1 排序
    • • 1.4.1.1選擇排序
      • 1.4.1.2冒泡排序
    • 1.4.1.3 順序查找
    • 1.4.2 字符串匹配問(wèn)題
    • 1.4.3 最近點(diǎn)對(duì)的蠻力算法
    • 1.4.4 凸包問(wèn)題的蠻力算法
    • 1.4.5 窮舉法
    • • 1.4.5.1 NP難問(wèn)題
      • • 1.4.5.2 TSP問(wèn)題
        • 1.4.5.3 背包問(wèn)題
      • 1.4.5.4 分配問(wèn)題

1.1 蠻力法的定義

?蠻力法又稱為枚舉法，窮舉法，暴力法。蠻力算法是一種簡(jiǎn)單直接地解決問(wèn)題，但不一定是最高效的方法

1.2 蠻力法的優(yōu)缺點(diǎn)

蠻力法所具有的優(yōu)點(diǎn)：

應(yīng)用范圍廣，不受實(shí)列規(guī)模的限制

當(dāng)要解決的問(wèn)題低頻率出現(xiàn)，并且高效算法很難設(shè)計(jì)時(shí)可選用蠻力法

對(duì)解決一些小規(guī)模的問(wèn)題實(shí)列仍然有效

可作為衡量其他算法的參照物

蠻力法所具有的缺點(diǎn)：

用蠻力法設(shè)計(jì)的算法其時(shí)間性能往往也是最低的, 典型的指數(shù)時(shí)間算法一般都是通過(guò)蠻力搜索而得到的

1.3 蠻力法的設(shè)計(jì)思想

蠻力法是指采用遍歷（掃描）技術(shù)，即采用一定的策略將待求解問(wèn)題的所有元素依次處理一次，從而找出問(wèn)題的解。依次處理所有元素是蠻力法的關(guān)鍵，為了避免陷入重復(fù)試探，應(yīng)保證處理過(guò)的元素不再被處理。

1.4 蠻力法的經(jīng)典使用

1.4.1 排序

1.4.1.1選擇排序

問(wèn)題描述：

? 給定一個(gè)可排序的n元序列，將它們按照非降序方法重新排序

使用蠻力法的思路（遞歸描述）：

掃描整個(gè)列表，找出n個(gè)元素中最小的元素，將其置于末端

對(duì)剩余的n-1個(gè)元素執(zhí)行步驟一

當(dāng)所剩元素為1時(shí)，停止操作

算法設(shè)計(jì)（偽代碼）：

//非遞歸 Algorithm SS(A[0..n-1]) //SelectionSort//輸入：n元數(shù)組//輸出：n元數(shù)組for i=0 to n-2 domin:=i;for j:=i+1 to n-1 doif A[j]<A[min] then min->j;swap A[i] and A[min]

算法分析：

• 輸入規(guī)模（空間復(fù)雜度）

  因?yàn)檩斎氲氖莕元數(shù)組，故空間復(fù)雜度是：O(n)

• 算法的基本操作：

  比較A[j] < A[min]，數(shù)據(jù)交換swap

• 比較次數(shù)C(n)
  $$C(n)=\sum _{i=0}^{n?2}\sum _{j=i+1}^{n?1}1=\sum _{i=0}^{n?2}(n?1?i)=\frac{n(n?1)}{2}$$
  于是C(n)屬于O（n2）

1.4.1.2冒泡排序

問(wèn)題描述：

? 給定一個(gè)可排序的n元序列，將它們按照非降序方法重新排序

使用蠻力法的解決思路：

比較相鄰的元素，將大的元素交換到右邊的位置，重復(fù)多次后，最大的元素交換到最右邊

第二遍將第二大的元素沉下去，n-1次后結(jié)束

算法設(shè)計(jì)：

Algorithm BS(A[0..n-1]) //BubbleSort//輸入：n元數(shù)組//輸出：n元數(shù)組for i:=0 to n-2 dofor j:=0 to n-2-i doif A[j+1]<A[j] then swap A[j] and A[j+1]

算法分析：

• 輸入規(guī)模（空間復(fù)雜度）

  因?yàn)檩斎氲氖莕元數(shù)組，故空間復(fù)雜度是：O(n)

• 算法的基本操作：

  比較A[j] < A[j+1]，數(shù)據(jù)交換swap

• 比較次數(shù)C(n)
  $$C(n)=\sum _{i=0}^{n?2}\sum _{j=0}^{n?2?i}1=\sum _{i=0}^{n?2}(n?1?i)=\frac{n(n?1)}{2}$$
  于是C(n)屬于O（n2）

1.4.1.3 順序查找

問(wèn)題描述：

? 已知有n個(gè)元素的數(shù)組A[0…n]，給定元素K，要求找出一個(gè)下標(biāo)i,，使得A[i]=K.。輸出第一個(gè)值等于K的元素的位置，找不到返回-1。

使用蠻力法解決問(wèn)題的思路：

? 遍歷數(shù)組

算法設(shè)計(jì)：

Algorithm SequentialSearch(A[0..n-1],K)//輸入：n元數(shù)組，給定元素k//輸出：所尋找到的元素k的下標(biāo)i:=0;while A[i]≠K and i<n do i:=i+1; if A[i]=K then return ielse return -1

算法分析：

• 輸入規(guī)模

  因?yàn)檩斎氲氖莕元數(shù)組，故空間復(fù)雜度是：O(n)

• 算法的基本操作

  比較A[i]與k是否相同

• 比較次數(shù)

  • 最壞情況：n
  • 最好情況：1

1.4.2 字符串匹配問(wèn)題

問(wèn)題描述：

? 從文本中尋找匹配模式的子串，即求出第一個(gè)匹配模式的子串在文本中的開(kāi)始位置（子串最左元素的下標(biāo)）。

使用蠻力法解決問(wèn)題的思路：

? 將模式對(duì)準(zhǔn)文本的前m個(gè)字符從左往右進(jìn)行比對(duì)，如果其中有一個(gè)字符不匹配，模式往右移動(dòng)一位繼續(xù)下一個(gè)m個(gè)字符的比對(duì)。

算法設(shè)計(jì)：

Algorithm BFSM (T[0..n-1], P[0..m-1])// Brute Force String Match//輸入：文本數(shù)組T[0..n-1]，模式數(shù)組P[0..m-1] (n>m)//輸出：所尋找的的位置的下標(biāo)，查找不成功時(shí)返回-1for i :=0 to n-m doj := 0while j<m and P[j]=T[i+j] doj := j+1if j=m return ireturn -1

算法分析：

• 輸入規(guī)模

  輸入了兩個(gè)數(shù)組，長(zhǎng)度分別為n和m，故空間復(fù)雜度是：O(n+m)

• 算法的基本操作

  比較

• 比較次數(shù)

  • 最壞情況：

    模式需要移動(dòng)n-m+1次，模塊每次移動(dòng)前，都要做m次對(duì)比，此時(shí)的時(shí)間復(fù)雜度屬于nm級(jí)別

  • 最好情況：

    模式不需要移動(dòng)，只需要比較m次，時(shí)間復(fù)雜度屬于m級(jí)別

  • 平均時(shí)間復(fù)雜度屬于n級(jí)別的

1.4.3 最近點(diǎn)對(duì)的蠻力算法

問(wèn)題描述：

? 給定平面S上n個(gè)點(diǎn)，找其中的一對(duì)點(diǎn)，使得在n(n-1)/2個(gè)點(diǎn)對(duì)中，該點(diǎn)對(duì)的距離最小。

使用蠻力法解決問(wèn)題的思路：

? 把所有的點(diǎn)兩兩組合，比較它們之間的距離即可以得到距離最小的一對(duì)

算法設(shè)計(jì)：

Algorithm BFCP ( P ) // Brute Force Closest Points// 輸入：n個(gè)點(diǎn)的數(shù)組P，Pi(xi , yi), i=1, 2, …, n// 輸出：兩個(gè)最近點(diǎn)的下標(biāo)index1和index2dmin := ∞;for i := 1 to n-1 dofor j := i+1 to n dod := sqrt((xi-xj)2+(yi-yj)2);if d < dmin thendmin := d;index1 := i; index2 := j;return index1, index2

算法分析：

• 輸入規(guī)模

• 算法的基本操作

  平方操作

• 比較次數(shù)C(n)
  $$C(n)=\sum _{i=1}^{n?1}\sum _{j=i+1}^{n}2=2\sum _{i=0}^{n?2}(n?i)=n(n?1)$$
  于是C(n)屬于O（n2）

1.4.4 凸包問(wèn)題的蠻力算法

問(wèn)題描述：

凸集定義：

? 設(shè)S是平面點(diǎn)集，如果S中任意兩點(diǎn)的連線都屬于該集合，則稱S是凸的

凸包定義：

? 一個(gè)點(diǎn)集S的凸包是指包含S的最小凸集。顯然，如果S是凸的，則S的凸包就是S本身（橡皮筋圈解釋）。

? 給定一個(gè)n個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集S，求S的凸包。

使用蠻力法解決問(wèn)題的思路：

極點(diǎn)：

? 凸集的極點(diǎn)是指不會(huì)出現(xiàn)在集合中任何線段的中間的點(diǎn)。

? 設(shè)點(diǎn)集大小為n，首先將其中的點(diǎn)兩兩配對(duì)，得到直線段條。

? 然后對(duì)每一條直線段檢查其余的n-2個(gè)點(diǎn)的相對(duì)于該直線段的正負(fù)性，如果它們都有相同的正負(fù)性，那么這條直線段屬于凸多邊形的邊，其頂點(diǎn)是極點(diǎn)。

1.4.5 窮舉法

窮舉法是一種簡(jiǎn)單的蠻力方法，它要求生成所有可能的可行解，再?gòu)闹羞x擇最優(yōu)解。

1.4.5.1 NP難問(wèn)題

目前沒(méi)有已知的效率可以用多項(xiàng)式來(lái)表示的算法，需要通過(guò)窮舉法去解決，下面是兩個(gè)經(jīng)典問(wèn)題：

1.4.5.2 TSP問(wèn)題

給定n個(gè)城市相互之間的距離，求一條能走遍n個(gè)城市的最短路徑，使我們能從任一城市開(kāi)始，訪問(wèn)每個(gè)城市只一次后回到起點(diǎn)。

1.4.5.3 背包問(wèn)題

給定n個(gè)重量為w1、w2…wn，價(jià)值為v1、v2、…、vn的物品和一個(gè)承重為W的背包，如何將物品裝入背包使背包所獲的價(jià)值最大。

1.4.5.4 分配問(wèn)題

有n個(gè)任務(wù)需要分配給n個(gè)人執(zhí)行，一人一個(gè)任務(wù)。將第j個(gè)任務(wù)分配給第i個(gè)人的成本是C[i, j],求總成本最小的分配方案。

可用窮舉法列出n的階乘個(gè)可能的解決方案

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法小结 之 蛮力法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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