對于一個多元函數

，用最速下降法(又稱梯度下降法)求其極小值的迭代格式為

其中

為負梯度方向，即最速下降方向，αkαk為搜索步長。

一般情況下，最優步長αkαk的確定要用到線性搜索技術，比如精確線性搜索，但是更常用的是不精確線性搜索，主要是Goldstein不精確線性搜索和Wolfe法線性搜索。

為了調用的方便，編寫一個Python文件，里面存放線性搜索的子函數，命名為linesearch.py，這里先只編寫了Goldstein線性搜索的函數，關于Goldstein原則，可以參看最優化課本。

線性搜索的代碼如下(使用版本為Python3.3)：

'''

線性搜索子函數

'''

import numpy as np

import random

def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):

flag=0

a=0

b=alpham

fk=f(x)

gk=df(x)

phi0=fk

dphi0=np.dot(gk,d)

alpha=b*random.uniform(0,1)

while(flag==0):

newfk=f(x+alpha*d)

phi=newfk

if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):

if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):

flag=1

else:

a=alpha

b=b

if(b

alpha=(a+b)/2

else:

alpha=t*alpha

else:

a=a

b=alpha

alpha=(a+b)/2

return alpha

上述函數的輸入參數主要包括一個多元函數f，其導數df，當前迭代點x和當前搜索方向d，返回值是根據Goldstein準則確定的搜索步長。

我們仍以Rosenbrock函數為例，即有

于是可得函數的梯度為

最速下降法的代碼如下：

"""

最速下降法

Rosenbrock函數

函數 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2

梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)

"""

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import random

import linesearch

from linesearch import goldsteinsearch

def rosenbrock(x):

return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2

def jacobian(x):

return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])

X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)

X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)

[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)

f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 給定的函數

plt.contour(x1,x2,f,20) # 畫出函數的20條輪廓線

def steepest(x0):

print('初始點為:')

print(x0,'\n')

imax = 20000

W=np.zeros((2,imax))

W[:,0] = x0

i = 1

x = x0

grad = jacobian(x)

delta = sum(grad**2) # 初始誤差

while i10**(-5):

p = -jacobian(x)

x0=x

alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2)

x = x + alpha*p

W[:,i] = x

grad = jacobian(x)

delta = sum(grad**2)

i=i+1

print("迭代次數為:",i)

print("近似最優解為:")

print(x,'\n')

W=W[:,0:i] # 記錄迭代點

return W

x0 = np.array([-1.2,1])

W=steepest(x0)

plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 畫出迭代點收斂的軌跡

plt.show()

為了實現不同文件中函數的調用，我們先用import函數導入了線性搜索的子函數，也就是下面的2行代碼

import linesearch

from linesearch import goldsteinsearch

當然，如果把定義goldsteinsearch函數的代碼直接放到程序里面，就不需要這么麻煩了，但是那樣的話，不僅會使程序顯得很長，而且不便于goldsteinsearch函數的重用。

此外，Python對函數式編程也支持的很好，在定義goldsteinsearch函數時，可以允許抽象的函數f，df作為其輸入參數，只要在調用時實例化就可以了。與Matlab不同的是，傳遞函數作為參數時，Python是不需要使用@將其變為函數句柄的。

運行結果為

初始點為:

[-1.2 1. ]

迭代次數為: 1504

近似最優解為:

[ 1.00318532 1.00639618]

迭代點的軌跡為

由于在線性搜索子程序中使用了隨機函數，初始搜索點是隨機產生的，因此每次運行的結果不太相同，比如再運行一次程序，得到

初始點為:

[-1.2 1. ]

迭代次數為: 1994

近似最優解為:

[ 0.99735222 0.99469882]

所得圖像為

以上這篇用Python實現最速下降法求極值的方法就是小編分享給大家的全部內容了，希望能給大家一個參考，也希望大家多多支持。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python迭代法求极值_用Python实现最速下降法求极值的方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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