常用的一維搜索算法

• 搜索算法概述
• “成功-失敗”法
• 0.618法(黃金分割法)
• 二分法
• 牛頓法
• 插值法
• • 二次插值法
  • 三次插值法
• 非精確一維搜索
• • Armijo-Goldstein準(zhǔn)則
  • Wolfe-Powell準(zhǔn)則

搜索算法概述

求解無約束優(yōu)化問題min f(x), x∈Rⁿ
f: D是Rⁿ的 子集，D->R

一般求解方法：
求無約束的某可微函數(shù)的最優(yōu)解，根據(jù)一階必要條件，可以令函數(shù)的梯度等于0，由此求得駐點(diǎn)；然后通過充分條件進(jìn)行判別，求出所要的解。

問題：

• 對某些較簡單的函數(shù)，這樣做有時是可行的；但對一般n元函數(shù) f(x) 來說，由條件?f(x)=0得到的是一個非線性方程組，解它相當(dāng)困難。
• 對于不可微函數(shù)，當(dāng)然談不上使用這樣的方法。
  為此，常直接使用迭代法

迭代法一般思路：
為了求函數(shù)f(x)的最優(yōu)解，首先給定一個初始估計x⁰,然后按某種規(guī)劃(即算法)找出比x⁰更好的解x¹,f(x¹)<f(x⁰),再按此種規(guī)則找出比x¹更好的解x²，如此迭代。
如此即可得到一個解的序列{x^k}，若這個解序列有極限x*，lim||x^k -x*|| = 0，則稱他收斂與x*；
若算法是有效的，則它產(chǎn)生的解序列收斂于該問題的最優(yōu)解。

終止條件：
理想的終止條件為：|f(x)-f(x*)|<ε 或者 ||x-x*||<ε。但是x*是未知的。

實(shí)用的終止條件是根據(jù)相繼兩次迭代的結(jié)果

根據(jù)相繼兩次迭代的絕對誤差 |f(x^k+1)-f(x^k)|<ε 或者 ||x^k+1-x^k||<ε

根據(jù)相繼兩次迭代的相對誤差 |f(x^k+1)-f(x^k)|/|f(x^k)| <ε 或者 ||x^k+1-x^k||/||x^k||< ε

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)梯度的模足夠小 ||?f(x^k)|| < ε

收斂速度：

迭代法分類：
根據(jù)是否計算目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

直接法：不需要導(dǎo)數(shù)信息；僅利用函數(shù)值，簡單易用

非直接法：需要導(dǎo)數(shù)信息；利用導(dǎo)數(shù)信息，收斂性結(jié)果更強(qiáng)

根據(jù)迭代點(diǎn)是否沿某個方向產(chǎn)生

線搜索方法：迭代點(diǎn)沿某方向產(chǎn)生；每次迭代沿某個方向搜索下個迭代點(diǎn)，最常見研究最多的方法

信賴域方法：迭代點(diǎn)在某區(qū)域內(nèi)搜索產(chǎn)生；每次迭代在某區(qū)域內(nèi)搜索下個迭代點(diǎn)，近30年來發(fā)展起來的一類方法

線搜索迭代法基本思想：
若從x^k 出發(fā)至少存在一個方向d^k可使目標(biāo)函數(shù)值有所下降，可選定這個方向d^k,沿這個方向邁進(jìn)適當(dāng)?shù)囊徊?#xff0c;得到下一個迭代點(diǎn)x^k+1,使f(x^k+1)<f(x^k)。
相當(dāng)于在射線x=x^k+λd^k上選定新的點(diǎn)x^k+1=x^k+λ_kd^k；
其中d^k成搜索方向；λ_k稱為步長或?qū)W習(xí)率(在ML中)

線搜索迭代法的一般步驟：

選取初始點(diǎn)x0,k=0

確定搜索方向dk

從xk出發(fā)沿方向dk求步長λk，以產(chǎn)生下一個迭代點(diǎn)xk+1

檢查得到的新店xk+1是否為極小點(diǎn)或近似極小點(diǎn)；即，判斷是否滿足終止條件

之后各種算法的區(qū)分，主要在于搜索方向d^k的不同。

迭代步長常見方法：

令它等于某一常數(shù)(例如令λk =1)，這樣做不能保證目標(biāo)函數(shù)值下降。

第二種稱為可接受點(diǎn)算法，只要能使目標(biāo)函數(shù)值下降，可任意選取步長。

第三種方法的思路是：沿搜索方向使目標(biāo)函數(shù)值下降最多；求目標(biāo)函數(shù) f(x) 的極小：λk=arg min f(xk+λdk)

方法三又稱精確一維搜索或精確線搜索或一維最優(yōu)化，確定的步長為最佳步長。

注意：在搜索方向上所得最優(yōu)點(diǎn)處的梯度和該搜索方向正交

精確的一維搜索方法：

試探法：按某種方式找試探點(diǎn)，通過比較一系列試探點(diǎn)的函數(shù)值的大小確定極小點(diǎn)。 “成功-失敗”法

區(qū)間收縮法：用某種分割技術(shù)縮小最優(yōu)解所在的區(qū)間(稱為搜索區(qū)間)。 二分法、0.618法

函數(shù)逼近法：用比較簡單函數(shù)的極小值點(diǎn)近似代替原函數(shù)的極小值點(diǎn)。從幾何上看是用比較簡單的曲線近似代替原來的曲線，用簡單曲線的極小值點(diǎn)代替原曲線的極小點(diǎn)。 Newton法、二次插值法、三次插值法

非精確一維搜索：
通過計算少量的函數(shù)值，得到一步長λk，使得后續(xù)迭代點(diǎn)x^k+1=x^k+λ_kd^k滿足f(x^k+1)<f(x^k)，即使目標(biāo)函數(shù)要“充分”下降

Armiji-Goldstein準(zhǔn)則

Wolfe-Powell準(zhǔn)則

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“成功-失敗”法

常用的一維直接法有消去法和近似法兩類。它們都是從某個初始搜索區(qū)間出發(fā)，利用單峰函數(shù)的消去性質(zhì)，逐步縮小搜索區(qū)間，直到滿足精度要求為止。

單峰函數(shù)：

進(jìn)退算法（成功-失敗法）
由單峰函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)值在極小點(diǎn)左邊嚴(yán)格下降，在右邊嚴(yán)格上升。 （直接法）
基本思想：從某個初始點(diǎn)出發(fā)，沿函數(shù)值下降的方向前進(jìn)，直至發(fā)現(xiàn)函數(shù)值上升為止。由兩邊高，中間低的三點(diǎn)，可確定極小點(diǎn)所在的初始區(qū)間。
步驟：

選定初始點(diǎn)a和步長h

計算并比較f(a)和f(a+h)；有前進(jìn)和后退兩種情況


算法說明：
缺點(diǎn)：效率低；
優(yōu)點(diǎn)：可以求搜索區(qū)間；
注意：h選擇要適當(dāng)，初始步長不能選的太小，也不能太大

例題

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0.618法(黃金分割法)

0.618算是成功-失敗法的進(jìn)階 （直接法）

成功-失敗法的初始點(diǎn)是隨機(jī)選取的；
黃金分割法考慮兩個條件：

對稱原則： x₁ – a = b- x₂ 式(1)
使“壞”情況去掉

保持縮減比原則 t=(保留的區(qū)間長度／原區(qū)間長度) 不變 t=0.618

聯(lián)立式子1,2可求得t=0.618

最后初始的x1和x2選擇為： t = 0.618
x1 = a + （1- t）(b - a )
x2 =a +t (b -a )

算法說明：
優(yōu)點(diǎn)：不要求函數(shù)可微，且每次迭代只需計算一個函數(shù)值，計算量小，程序簡單
缺點(diǎn)：收斂速度慢
比成功失敗法效率稍微好一點(diǎn)

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二分法

基本思想 （非直接法）

計算步驟

算法說明
優(yōu)點(diǎn)：計算量較少，總能收斂到一個局部極小點(diǎn)
缺點(diǎn)：收斂速度較慢

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牛頓法

牛頓法是一種函數(shù)逼近法，基本思想是：在極小點(diǎn)附近用函數(shù)的二階泰勒多項式近似代替目標(biāo)函數(shù)，從而求得目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)的近似值。

計算步驟

算法說明
優(yōu)點(diǎn)：收斂速度快，局部二階收斂
缺點(diǎn)：須計算二階導(dǎo)數(shù)，工作量大；對初始點(diǎn)要求高，要求初始點(diǎn)離極小點(diǎn)不太遠(yuǎn)，否則有可能使極小化發(fā)散或收斂到非極小點(diǎn)；局部收斂。

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插值法

二次插值法

（直接法）

基本原理：通過三個點(diǎn)模擬一個曲線，求此曲線的極小值點(diǎn)，每次迭代就模擬一次并求出極小點(diǎn)。
通過等式1，2，3不斷化簡，最后極小點(diǎn)求得為：

基本步驟：

每次選完x后x左右兩邊的點(diǎn)就為下一次迭代的x1,x3；終止條件由中間的點(diǎn)x2和x* 的差的絕對值判定。

三次插值法

基本思想：用四個已知值（如兩個點(diǎn)函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)值）構(gòu)造一個三次多項式P3(x)，用P3(x)的極小點(diǎn)近似目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)x*； （非直接法）

三次插值法的收斂速度比二次插值法要快，達(dá)到2階收斂速度。
利用函數(shù)在兩點(diǎn)的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值：
p(x) = A(x-x1)³+B(x-x1)²+C(x-x1)+D
推理過程：

根據(jù)極值的條件：

• 一階必要條件：一階導(dǎo)為0；
  
• 二階充分條件：二階導(dǎo)>0
  

最后迭代公式為：

滿足(u-v+2w>0)

基本流程：

算法說明：
優(yōu)點(diǎn)：收斂速度快
缺點(diǎn)：計算復(fù)雜，計算量大，

一維方法總結(jié)：

如目標(biāo)函數(shù)能求二階導(dǎo)數(shù)：用Newton法 收斂快

如目標(biāo)函數(shù)能求一階導(dǎo)數(shù) ：首先考慮用三次插值法，收斂較快；二分法、收斂速度慢，但可靠；二次插值法也可選擇。

只需計算函數(shù)值的方法 ：首先考慮用二次插值法, 收斂快黃金分割法收斂速度較慢，但可靠

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非精確一維搜索

考慮非精確一維搜索方法的原因：

保證目標(biāo)函數(shù)在每次迭代有滿意下降量的方法，就是非精確一維搜索方法或稱為可接受一維搜索方法。

Armijo-Goldstein準(zhǔn)則

原理：

其中 0<ρ<1/2 目的是為保證目標(biāo)函數(shù)有一個滿意的下降量，必須避免步長太靠近區(qū)間的端點(diǎn)。

Armijo-Goldstein準(zhǔn)則下可接受區(qū)間[b,c]，其中的點(diǎn)稱為可接受步長

基本步驟：

A-G 方法會出現(xiàn)的問題是：把最佳步長排除在可接受區(qū)間外面。

Wolfe-Powell準(zhǔn)則

原理：

計算步驟：

（感覺非精確一維計算不會考 就算會考會算就行）

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的工程优化第三章总结的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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