二叉編碼樹以及Huffman編碼

abstract:

? 在初學二叉樹的時候，我們就提出了二叉樹的一個基本應用：編碼樹。那么，就編碼樹我們究竟該如何實現(xiàn)呢？下面我們來探討這個問題。

一、PFC編碼以及解碼

前面我們講述了編碼樹的基本原理以及前綴無歧義編碼樹的要求。下面我們來考慮如何實現(xiàn)一個無前綴歧義二叉編碼樹。

我們給出一個性質：

若字符集M1和M2之間沒有公共字符，且二者構成的前綴無歧義二叉編碼樹都使用PFC編碼方案，則通過引入一個新節(jié)點合并兩個對應編碼樹的根節(jié)點T1和T2之后得到的二叉樹，就是對應于M1-M2的一種編碼方案。

二樹合并：

基于上方性質，我們不妨自底向上地構造PFC編碼樹。

規(guī)則：

首先，我們將每一個字符分別構建為一個單節(jié)點二叉樹，并將它們視作一個森林（樹的集合）。然后反復從森林中取出兩棵樹將其合二為一，顯然經過N-1次迭代以后就可以得到一棵完整的前綴無歧義二叉編碼樹。接下來，再將PFC編碼樹轉譯為編碼表。至此，對于任何待編碼文本，經過反復查閱編碼表，即可高效地將其轉化為二進制編碼。

解碼：

每當接收者從信道獲取編碼串后，接收者可以通過編碼串在編碼樹中進行漫游，即可高效地進行解碼。

過程：

若對字符A B C D E F G H進行編碼

1、初始化PFC編碼森林（森林是樹的集合，這里我們用Vector存儲樹組成森林）

將每個字符看作一個樹，顯然每個字符都放置于樹的根節(jié)點中，然后將這些樹放入一個list或vector中：

2、構造PFC編碼樹

該過程是核心：在PFC編碼森林中，隨機選取兩個生成一個新的PFC編碼樹，同時森林的規(guī)模-1

反復迭代：

.....

最終可以獲取某一前綴無歧義二叉編碼樹：

3、生成PFC編碼表：

A000

B	111
C	10
D	001
E	1100
F	1101
G	010
H	011

最后，將編碼表存入Map字典中即可。然后根據(jù)字典即可對明文進行編碼，通過編碼結合編碼樹即可進行解碼。

二、最優(yōu)編碼樹

我們在前面最終生成一個編碼樹的時候，特意給出了一個“某一”字眼。說的，對于一個字符集，實際上可以生成很多種編碼樹。既然如此，很多種編碼樹有沒有一個是效率最高的？這就是我們的最優(yōu)編碼樹問題。

高效的編碼算法生成的編碼串應該盡可能的斷。因此，不同編碼方法的效率主要體現(xiàn)于所生成的二進制編碼串的總長度，或者更準確地說，體現(xiàn)于二進制碼長與原始文本長度的比率。

我們很容易理解：某字符的編碼長度實際上就等價于該葉節(jié)點的深度。所以，各字符的平均編碼長度就是編碼樹T中各葉結點的平均深度。

因此，為導出最優(yōu)編碼樹的構造算法，我們必須更為深入地從最優(yōu)編碼樹的性質入手。

1、最優(yōu)編碼樹的性質：

雙子性：首先，最優(yōu)二叉編碼樹必為真二叉樹。（其內部節(jié)點左右孩子均存在）

層次性：最優(yōu)編碼樹中，葉結點位置的選取有嚴格的限制：葉結點之間的深度之差不得超過1。

2、最優(yōu)編碼二叉樹的獲取：

根據(jù)以上兩個特點，我們給出一個構造最優(yōu)二叉樹的技巧：節(jié)點位置互換

如圖:

由于A與BC兩個葉結點之間的深度之差大于1，因此我們將A與BC之父節(jié)點位置互換：

對于任意一棵前綴無歧義二叉編碼樹，我們不斷重復這個節(jié)點互換操作，直到所有的葉節(jié)點之間的深度只差不超過1，如此一來即可獲取最優(yōu)編碼樹。

3、思考：

到目前為止，我們似乎已經完成了編碼樹的構建工作，甚至我們可以實現(xiàn)一個最優(yōu)編碼樹的獲取。。。但是我們考慮到現(xiàn)實情況，事情似乎并沒有那么簡單。通常，在一個文章中，26個英文字母出現(xiàn)的頻率并不一樣，但是如果這時候我們仍然采取上方的編碼樹構造方式，也就代表了我們忽略了這一實際情況。這時候我們考慮一下問題出現(xiàn)在何處。我們在構造編碼二叉樹的時候，森林中的樹的組合的時候是一個隨機的過程，這也就意味著我們對于每一個字符出現(xiàn)的概率均視為一致，這就是問題之所在。

三、Huffman編碼樹（最優(yōu)帶權編碼樹）

既然我們找到了問題之所在，下面我們就可以進行問題的優(yōu)化：

實際上Huffman編碼樹的構造過程與普通編碼樹構造過程基本一致，當然，在Huffman編碼樹中，我們還需要對每個節(jié)點賦予權值，然后樹的迭代合并過程，只讓權值最小的兩棵樹進行合并。并且合并后權值相加，最后我們得到的那棵樹就是Huffman編碼樹。

代碼實現(xiàn)：
基本TreeNode頭文件：

#ifndef __TREE__ #define __TREE__ #include<iostream>enum class Index {LEFT = 0,RIGHT };//枚舉，用以區(qū)分左右孩子template <typename T> class _Tree_Node {T data;//數(shù)據(jù)域int height = 0; //節(jié)點層次_Tree_Node* parent = nullptr;//父親_Tree_Node* lChild = nullptr;//左孩子_Tree_Node* rChild = nullptr;//右孩子bool sign = false; //節(jié)點訪問標記int treeHeight = 0;//以該節(jié)點為樹根的子樹的高度//等于左右子樹高度的最大值+1public://無參構造函數(shù)_Tree_Node() {};//賦值構造函數(shù)_Tree_Node(T data_,_Tree_Node* parent_, _Tree_Node* lChild_ = nullptr, _Tree_Node* rChild_ = nullptr):data(data_), parent(parent_), lChild(lChild_), rChild(rChild_){this->height = this->parent->height + 1;//樹高為父親樹高+1}//拷貝構造函數(shù)_Tree_Node(_Tree_Node& Node):data(Node.getData()), height(Node.getHeight()), parent(Node.getParent()), lChild(Node.getlChild()), rChild(Node.getrChild()), sign(Node.flag()){}//析構函數(shù)~_Tree_Node() {}T getData() const { return this->data; }//獲取節(jié)點數(shù)據(jù)int getHeight() const { return this->height; }//獲取節(jié)點層次_Tree_Node* getParent() const { return this->parent; }//獲取節(jié)點父親的指針_Tree_Node* getlChild() const { return this->lChild; }//獲取節(jié)點左孩子的指針_Tree_Node* getrChild() const { return this->rChild; }//獲取節(jié)點右孩子的指針bool flag() const { return sign; } //查詢節(jié)點是否被訪問int getTreeHeight() const { return this->treeHeight; }//返回當前樹高void setTreeHeight(int height) { this->treeHeight = height; }void setData(const T& data) { this->data = data; }//修改datavoid setHeight(int height) { this->height = height; } //修改節(jié)點層次void setParent(_Tree_Node& parent) { this->parent = &parent; }//修改節(jié)點的父親void setlChild(_Tree_Node& lChild) { this->lChild = &lChild; }//修改節(jié)點的左孩子void setrChild(_Tree_Node& rChild) { this->rChild = &rChild; }//修改節(jié)點的右孩子void setSign(bool sign) { this->sign = sign; }//根據(jù)參數(shù)對訪問標記進行修改 };//輸出節(jié)點信息 template <typename T> std::ostream& operator<<(std::ostream& os, const _Tree_Node<T>& node) {return os << "--------------------------\n當前節(jié)點地址" << &node << "\n當前節(jié)點高度：" << node.getHeight()<< "\n當前節(jié)點父親：" << node.getParent() << "\n當前節(jié)點左孩子：" << node.getlChild()<< "\n當前節(jié)點右孩子：" << node.getrChild()<< "\n當前節(jié)點數(shù)據(jù)：" << node.getData() << "\n--------------------------\n"; } #endif // !__TREE__

Huffman樹頭文件（繼承TreeNode）:

#ifndef __HUFFMANTREE__ #define __HUFFMANTREE__ #include"_Tree_Node.h" #include <vector>template <typename T> class HuffmanTree : public _Tree_Node<T>{int weight = 0;//權重public://無參構造函數(shù)HuffmanTree() {}HuffmanTree(int w,const T& d):weight(w){this->setData(d);}int getWeight() const { return this->weight; }//獲取節(jié)點權重void setWeight(int w) { this->weight = w; }//設置權重 };//遞歸式先序遍歷更新孩子層次 template <typename T> void middleRand(_Tree_Node<T>* base) {//邏輯bug?但影響不大if (base != nullptr) {base->setHeight(base->getHeight() + 1);middleRand(base->getlChild());middleRand(base->getrChild());} }//合成樹函數(shù)： template <typename T> HuffmanTree<T>* combain(HuffmanTree<T>& treeLeft,HuffmanTree<T>& treeRight) {HuffmanTree<T>* baseTree = new HuffmanTree<T>();baseTree->setlChild(treeLeft);baseTree->setrChild(treeRight);treeLeft.setParent(*baseTree);treeRight.setParent(*baseTree);baseTree->setTreeHeight((treeLeft.getTreeHeight() >= treeRight.getTreeHeight() ? treeLeft.getTreeHeight() : treeRight.getTreeHeight())+1);baseTree->setWeight(treeLeft.getWeight() + treeRight.getWeight());//更新子樹各節(jié)點的層次middleRand(&treeLeft);middleRand(&treeRight);return baseTree; } #endif // !__HUFFMANTREE__

代碼實現(xiàn)：
main函數(shù)文件：

// __Tree.cpp : 此文件包含 "main" 函數(shù)。程序執(zhí)行將在此處開始并結束。 #include "Huffmantree.h" using namespace std;//生成Huffman樹 HuffmanTree<char>* createHuffman(vector<HuffmanTree<char>*>& data) {if (data.size() == 0) {cout << "森林不能為空！！\n";}else if(data.size() == 1){return data[0];}else{while (data.size() != 1){int left, right, min;left = -1;right = -1;min = 1000000;for (int i = 0; i < data.size(); i++) {if (min > data[i]->getWeight()) {min = data[i]->getWeight();left = i;}}//獲取左值索引，存放到leftmin = 1000000;for (int i = 0; i < data.size(); i++) {if (i != left) {if (min > data[i]->getWeight()) {min = data[i]->getWeight();right = i;}}}//獲取右值//合成樹（在這里給定：權值小者設置為左孩子）data[left] = combain(*data[left], *data[right]);//刪除多余樹，這里不能對節(jié)點進行析構，因為析構后節(jié)點會直接消失，這樣無法完成樹的構建vector<HuffmanTree<char>*> data_(data.size()-1);int j = 0;for (int i = 0; i < data.size();i++) {if (i != right) {data_[j] = data[i];j++;}}data = data_;}return data[0];}}//先序遍歷一棵樹，打印其節(jié)點信息（<<已經在父親class中重載） template <typename T> void RandInformation(_Tree_Node<T>* base) {if (base != nullptr) {cout << *base;RandInformation(base->getlChild());RandInformation(base->getrChild());} } int main() {//創(chuàng)建一個森林，用向量表示vector<HuffmanTree<char>*> forest;//給出一些數(shù)據(jù)及其權值：HuffmanTree<char> tree0(10,'a');HuffmanTree<char> tree1(13,'b');HuffmanTree<char> tree2(8,'c');HuffmanTree<char> tree3(7,'d');HuffmanTree<char> tree4(12,'e');HuffmanTree<char> tree5(6,'f');HuffmanTree<char> tree6(17,'g');HuffmanTree<char> tree7(20,'h');HuffmanTree<char> tree8(5,'i');HuffmanTree<char> tree9(15,'j');//壓入向量，森林生成forest.push_back(&tree0);forest.push_back(&tree1);forest.push_back(&tree2);forest.push_back(&tree3);forest.push_back(&tree4);forest.push_back(&tree5); forest.push_back(&tree6); forest.push_back(&tree7); forest.push_back(&tree8);forest.push_back(&tree9);//打印所有節(jié)點的地址信息for (HuffmanTree<char>* address : forest) {cout << address << endl;}//生成一棵編碼樹并將其樹根地址賦予treeHuffmanTree<char>* tree = createHuffman(forest);//打印生成的huffman樹的高度cout << *tree;//先序遍歷打印樹的所有結點基本信息cout << tree->getTreeHeight() << endl;//遞歸遍歷打印節(jié)點信息：cout << "打印樹的信息：\n";RandInformation(tree);getchar();return 0; }

運行結果：

00BFFC88 00BFFC60 00BFFC38 00BFFC10 00BFFBE8 00BFFBC0 00BFFB98 00BFFB70 00BFFB4800BFFB20 --------------------------當前節(jié)點地址00F4DBE0 當前節(jié)點高度：0 當前節(jié)點父親：00000000 當前節(jié)點左孩子：00F4DA00 當前節(jié)點右孩子：00F4D780當前節(jié)點數(shù)據(jù)： --------------------------4打印樹的信息： --------------------------當前節(jié)點地址00F4DBE0 當前節(jié)點高度：0 當前節(jié)點父親：00000000 當前節(jié)點左孩子：00F4DA00 當前節(jié)點右孩子：00F4D780當前節(jié)點數(shù)據(jù)： ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00F4DA00 當前節(jié)點高度：1 當前節(jié)點父親：00F4DBE0 當前節(jié)點左孩子：00F4DB90 當前節(jié)點右孩子：00F4D910當前節(jié)點數(shù)據(jù)： ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00F4DB90 當前節(jié)點高度：2 當前節(jié)點父親：00F4DA00 當前節(jié)點左孩子：00BFFC88 當前節(jié)點右孩子：00F4D8C0當前節(jié)點數(shù)據(jù)： ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00BFFC88 當前節(jié)點高度：3 當前節(jié)點父親：00F4DB90 當前節(jié)點左孩子：00000000 當前節(jié)點右孩子：00000000當前節(jié)點數(shù)據(jù)：a ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00F4D8C0 當前節(jié)點高度：3 當前節(jié)點父親：00F4DB90 當前節(jié)點左孩子：00BFFB48 當前節(jié)點右孩子：00BFFBC0當前節(jié)點數(shù)據(jù)： ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00BFFB48 當前節(jié)點高度：4 當前節(jié)點父親：00F4D8C0 當前節(jié)點左孩子：00000000 當前節(jié)點右孩子：00000000當前節(jié)點數(shù)據(jù)：i ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00BFFBC0 當前節(jié)點高度：4 當前節(jié)點父親：00F4D8C0 當前節(jié)點左孩子：00000000 當前節(jié)點右孩子：00000000當前節(jié)點數(shù)據(jù)：f ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00F4D910 當前節(jié)點高度：2 當前節(jié)點父親：00F4DA00 當前節(jié)點左孩子：00BFFBE8 當前節(jié)點右孩子：00BFFC60當前節(jié)點數(shù)據(jù)： ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00BFFBE8 當前節(jié)點高度：3 當前節(jié)點父親：00F4D910 當前節(jié)點左孩子：00000000 當前節(jié)點右孩子：00000000當前節(jié)點數(shù)據(jù)：e ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00BFFC60 當前節(jié)點高度：3 當前節(jié)點父親：00F4D910 當前節(jié)點左孩子：00000000 當前節(jié)點右孩子：00000000當前節(jié)點數(shù)據(jù)：b ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00F4D780 當前節(jié)點高度：1 當前節(jié)點父親：00F4DBE0 當前節(jié)點左孩子：00F4D870 當前節(jié)點右孩子：00F4DC30當前節(jié)點數(shù)據(jù)： ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00F4D870 當前節(jié)點高度：2 當前節(jié)點父親：00F4D780 當前節(jié)點左孩子：00F4DB40 當前節(jié)點右孩子：00BFFB20當前節(jié)點數(shù)據(jù)： ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00F4DB40 當前節(jié)點高度：3 當前節(jié)點父親：00F4D870 當前節(jié)點左孩子：00BFFC10 當前節(jié)點右孩子：00BFFC38當前節(jié)點數(shù)據(jù)： ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00BFFC10 當前節(jié)點高度：4 當前節(jié)點父親：00F4DB40 當前節(jié)點左孩子：00000000 當前節(jié)點右孩子：00000000當前節(jié)點數(shù)據(jù)：d ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00BFFC38 當前節(jié)點高度：4 當前節(jié)點父親：00F4DB40 當前節(jié)點左孩子：00000000 當前節(jié)點右孩子：00000000當前節(jié)點數(shù)據(jù)：c ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00BFFB20 當前節(jié)點高度：3 當前節(jié)點父親：00F4D870 當前節(jié)點左孩子：00000000 當前節(jié)點右孩子：00000000當前節(jié)點數(shù)據(jù)：j ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00F4DC30 當前節(jié)點高度：2 當前節(jié)點父親：00F4D780 當前節(jié)點左孩子：00BFFB98 當前節(jié)點右孩子：00BFFB70當前節(jié)點數(shù)據(jù)： ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00BFFB98 當前節(jié)點高度：3 當前節(jié)點父親：00F4DC30 當前節(jié)點左孩子：00000000 當前節(jié)點右孩子：00000000當前節(jié)點數(shù)據(jù)：g ----------------------------------------------------當前節(jié)點地址00BFFB70 當前節(jié)點高度：3 當前節(jié)點父親：00F4DC30 當前節(jié)點左孩子：00000000 當前節(jié)點右孩子：00000000當前節(jié)點數(shù)據(jù)：h --------------------------

結果圖示：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构二叉树之Huffman编码的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。