假設列表房由0(= x)的對(x，pop)組成， 4 * L的位置和流行的人口。

我們想要最大化的目標函數(shù)是

def revenue(i):

return sum(pop * min((i-j)%(4*L), 4*L - (i-j)%(4*L)) for j,pop in houses)

樸素算法O(LN)算法簡單：

max_revenue = max(revenue(i) for i in range(4*L))

但是，完全重新評估每個地點的收入是非常浪費的。

為了避免這種情況，請注意這是一個分段線性函數(shù);所以它的導數(shù)是分段常數(shù)，不等式在兩點上：

>在房子我，衍生物從斜坡變化到2 *人口[i]

>在島上對面的位置，衍生物從斜坡變化到斜坡 – 2 *人口[i]

這使事情很簡單：

>我們只需要檢查實際的房屋或對面的房子，所以復雜度下降到O(N2)。

>我們知道如何更新房屋i-1到房屋i的坡度，只需要O(1)個時間。

>由于我們知道位置0的收入和斜率，并且由于我們知道如何迭代地更新斜率，所以復雜性實際上下降到O(N)：在兩個連續(xù)房屋/對立房屋之間，我們可以將通過距離斜率獲得收入差額。

所以完整的算法是：

def algorithm(houses, L):

def revenue(i):

return sum(pop * min((i-j)%(4*L), 4*L - (i-j)%(4*L)) for j,pop in houses)

slope_changes = sorted(

[(x, 2*pop) for x,pop in houses] +

[((x+2*L)%(4*L), -2*pop) for x,pop in houses])

current_x = 0

current_revenue = revenue(0)

current_slope = current_revenue - revenue(4*L-1)

best_revenue = current_revenue

for x, slope_delta in slope_changes:

current_revenue += (x-current_x) * current_slope

current_slope += slope_delta

current_x = x

best_revenue = max(best_revenue, current_revenue)

return best_revenue

為了保持簡單，我使用sorted()來合并兩種類型的斜率變化，但這并不是最優(yōu)的，因為它具有O(N log N)的復雜性。如果想要更好的效率，可以在O(N)時間內生成對應于對面房屋的排序列表，并將其與O(N)中的房屋列表合并(例如使用標準庫的heapq.merge) 。如果要最小化內存使用情況，您也可以從迭代器而不是列表流式傳輸。

TLDR：該解決方案實現(xiàn)了O(N)的最低可行復雜度。

總結

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