插值算法

• 作用（目的）：在數學建模中，發現現有的數據是極少的，不足以支撐分析時，需要使用一些數學的方法，“模擬產生“一些新的但又比較靠譜的值來滿足需求。

• 相關概念：插值函數，插值，插值法
  

• 插值法的分類：分段插值（最經常使用），插值多項式，三角插值
  

插值法原理

一般插值多項式原理

插值法

• 拉格朗日插值法（一種多項式插值方法）
  在若干個不同的地方得到相應的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。
  
  
  
• 分段線性插值
  （1）分段低次插值
  采用分段低次插值可以提高插值的精度，因為當插值多項式次數高時其精度未必顯著提高，且易產生龍格現象，插值多項式的次數越高攝入誤差可能顯著增大。
• 分段二次插值（分段拋物插值）
  
• 牛頓插值法
  
• 埃爾米特（Hermite）插值
  （1）基本思路：函數值對應，導數值對應
  
  （2）埃爾米特（Hermite）插值原理
  
• 分段三次埃爾米特插值
  直接使用Hermite插值得到的多項式次數較高，但也存在龍格現象，因此在實際應用中，往往使用分段三次Hermite插值多項式（PCHIP）

%在matalab中有內置函數 p = pchip(x,y,new_x) %x是已知的樣本點的橫坐標 %y是已知的樣本點的縱坐標 %new_x是要插入處對應的橫坐標 %matlab中的plot()函數 plot(x1,y1,x2,y2) %線方式：-實線：點線-.虛點線--波折線 %點方式： .圓線 +加號 *星號 x x型 o 小圓 %顏色： y黃色 r紅色 g綠 b藍 w白 k黑 m紫 c q青 %給每一張圖片進行標號 figure(1)

• 三次樣條插值
  （1）基本思路： 函數值相等，三次多項式，二階連續可微
  （2）構造方法
  

%在matalab中有內置函數 p = spline(x,y,new_x) %x是已知的樣本點的橫坐標 %y是已知的樣本點的縱坐標 %new_x是要插入處對應的橫坐標 legend(string1,string2,string3,……,'Location','SouthEast') %分別表示將字符串1、字符串2、字符串3……標注到圖中，每個字符串對應的圖標為畫圖時的圖標。 %Location 用來指定標注顯示的位置

• n維數據的插值

%在matalab中有內置函數 p = interpn(x1,x2,x3,……,xn,y,new_x1,new_x2,……，new_xn,method) %x1,x2,……,xn是已知的樣本點的橫坐標 %y是已知的樣本點的縱坐標 %new_x1,new_x2,……,new_xn是要插入處對應的橫坐標 %method是插值的方法 'linear':線性插值（默認算法） 'cubic':三次插值； 'spline':三次樣條插值法（最為精準） 'nearest':最鄰近插值算法

總結：上面學的這些插值算法可用于短期預測，但在實際的建模中一般采用擬合算法來進行預測

牛頓插值法vs拉格朗日插值法

與拉格朗日插值法相比，牛頓插值法的計算過程更具繼承性，但是這兩種方法都易產生龍格現象。且這兩種插值方法僅僅只要求插值多項式在插值點處于被插函數有相等的函數值，而不能全面反映被插值函數的性態（導數值）。

龍格現象

高次插值會產生龍格現象，即在兩端處波動極大，產生明顯的震蕩。因此在不熟悉曲線運動趨勢的前提下，不要輕易使用高次插值。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的清风数学建模——插值算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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