勾股定理证明评监
導(dǎo)讀：
勾股定理（又叫「畢氏定理」）說：「在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等於兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和。」據(jù)考證，人類對(duì)這條定理的認(rèn)識(shí)，少說也超過4000年！又據(jù)記載，現(xiàn)時(shí)世上一共有超過300個(gè)對(duì)這定理的證明！
我覺得，證明多，固然是表示這個(gè)定理十分重要，因而有很多人對(duì)它作出研究；但證明多，同時(shí)令人眼花繚亂，亦未能夠一針見血地反映出定理本身和證明中的數(shù)學(xué)意義。故此，我在這篇文章中，為大家選出了7個(gè)我認(rèn)為重要的證明，和大家一起分析和欣賞這些證明的特色，與及認(rèn)識(shí)它們的歷史背境。
證明一
圖一
在圖一中，DABC為一直角三角形，其中DA為直角。我們?cè)谶匒B、BC和AC之上分別畫上三個(gè)正方形ABFG、BCED和ACKH。過A點(diǎn)畫一直線AL使其垂直於DE并交DE於L，交BC於M。不難證明，DFBC全等於DABD（S.A.S.）。所以正方形ABFG的面積= 2 DFBC的面積= 2 DABD的面積= 長(zhǎng)方形BMLD的面積。類似地，正方形ACKH的面積= 長(zhǎng)方形MCEL的面積。即正方形BCED的面積= 正方形ABFG的面積+正方形ACKH的面積，亦即是 AB2+ AC2= BC2。由此證實(shí)了勾股定理。
這個(gè)證明巧妙地運(yùn)用了全等三角形和三角形面積與長(zhǎng)方形面積的關(guān)系來進(jìn)行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和」的幾何意義，這就是以ML將正方形分成BMLD和MCEL的兩個(gè)部分！
這個(gè)證明的另一個(gè)重要意義，是在於它的出處。這個(gè)證明是出自古希臘大數(shù)學(xué)歐幾里得之手。
歐幾里得（Euclid of Alexandria）約生於公元前325年，卒於約公元前265年。他曾經(jīng)在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，并完成了著作《幾何原本》。《幾何原本》是一部劃時(shí)代的著作，它收集了過去人類對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)，并利用公理法建立起演繹體系，對(duì)後世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。而書中的第一卷命題47，就記載著以上的一個(gè)對(duì)勾股定理的證明。
證明二
圖二
圖二中，我們將4個(gè)大小相同的直角三角形放在一個(gè)大正方形之內(nèi)，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個(gè)正方形。設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)度為c，其余兩邊的長(zhǎng)度為a和b，則由於大正方形的面積應(yīng)該等於4個(gè)直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有
(a+ b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展開得 a2+ 2ab+ b2 = 2ab+ c2
化簡(jiǎn)得 a2+ b2 = c2
由此得知勾股定理成立。
證明二可以算是一個(gè)非常直接了當(dāng)?shù)淖C明。最有趣的是，如果我們將圖中的直角三角形翻轉(zhuǎn)，拼成以下的圖三，我們依然可以利用相類似的手法去證明勾股定理，方法如下：
圖三
由面積計(jì)算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b-a)2
展開得 = 2ab+ b2-2ab+ a2
化簡(jiǎn)得 c2 = a2+ b2（定理得證）
圖三的另一個(gè)重要意義是，這證明最先是由一個(gè)中國(guó)人提出的！據(jù)記載，這是出自三國(guó)時(shí)代（即約公元3世紀(jì)的時(shí)候）吳國(guó)的趙爽。趙爽為《周髀算經(jīng)》作注釋時(shí)，在書中加入了一幅他稱為「勾股圓方圖」（或「弦圖」）的插圖，亦即是上面圖三的圖形了。
證明三
圖四
圖四一共畫出了兩個(gè)綠色的全等的直角三角形和一個(gè)淺黃色的等腰直角三角形。不難看出，整個(gè)圖就變成一個(gè)梯形。利用梯形面積公式，我們得到︰
1/2(a+ b)(b+ a) = 2(1/2 ab) + 1/2c2
展開得 1/2a2+ ab+ 1/2b2 = ab+ 1/2c2
化簡(jiǎn)得 a2+ b2 = c2（定理得證）
有一些書本對(duì)證明三十分推祟，這是由於這個(gè)證明是出自一位美國(guó)總統(tǒng)之手！
在1881年，加菲（James A. Garfield；1831-1881）當(dāng)選成為美國(guó)第20任總統(tǒng)，可惜在當(dāng)選後5個(gè)月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有關(guān)證明，是他在1876年提出的。
我個(gè)人覺得證明三并沒有甚麼優(yōu)勝之處，它其實(shí)和證明二一樣，只不過它將證明二中的圖形切開一半罷了！更何況，我不覺得梯形面積公式比正方形面積公式簡(jiǎn)單！
又，如果從一個(gè)老師的角度來看，證明二和證明三都有一個(gè)共同的缺點(diǎn)，它就是需要到恒等式(ab)2= a22ab+ b2了。雖然這個(gè)恒等式一般都包括在中二的課程之中，但有很多學(xué)生都未能完全掌握，由於以上兩個(gè)證明都使用了它，往往在教學(xué)上會(huì)出現(xiàn)學(xué)生不明白和跟不上等問題。
證明四
(a) (b) (c)
圖五
證明四是這樣做的：如圖五(a)，我們先畫一個(gè)直角三角形，然後在最短的直角邊旁向三角形那一邊加上一個(gè)正方形，為了清楚起見，以紅色表示。又在另一條直角邊下面加上另一個(gè)正方形，以藍(lán)色表示。接著，以斜邊的長(zhǎng)度畫一個(gè)正方形，如圖五(b)。我們打算證明紅色和藍(lán)色兩個(gè)正方形面積之和，剛好等於以斜邊畫出來的正方形面積。
留意在圖五(b)中，當(dāng)加入斜邊的正方形後，紅色和藍(lán)色有部分的地方超出了斜邊正方形的范圍。現(xiàn)在我將超出范圍的部分分別以黃色、紫色和綠色表示出來。同時(shí)，在斜邊正方形內(nèi)，卻有一些部分未曾填上顏色。現(xiàn)在依照?qǐng)D五(c)的方法，將超出范圍的三角形，移入未有填色的地方。我們發(fā)現(xiàn)，超出范圍的部分剛好填滿未曾填色的地方！由此我們發(fā)現(xiàn)，圖五(a)中，紅色和藍(lán)色兩部分面積之和，必定等於圖五(c)中斜邊正方形的面積。由此，我們就證實(shí)了勾股定理。
這個(gè)證明是由三國(guó)時(shí)代魏國(guó)的數(shù)學(xué)家劉徽所提出的。在魏景元四年（即公元263年），劉徽為古籍《九章算術(shù)》作注釋。在注釋中，他畫了一幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理。由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個(gè)部分，又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以後世數(shù)學(xué)家都稱這圖為「青朱入出圖」。亦有人用「出入相補(bǔ)」這一詞來表示這個(gè)證明的原理。
在歷史上，以「出入相補(bǔ)」的原理證明勾股定理的，不只劉徽一人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在歐洲，都有出現(xiàn)過類似的證明，只不過他們所繪的圖，在外表上，或許會(huì)和劉徽的圖有些少分別。下面的圖六，就是將圖五(b)和圖五(c)兩圖結(jié)合出來的。留意我經(jīng)已將小正方形重新畫在三角形的外面。看一看圖六，我們?cè)?jīng)見過類似的圖形嗎？
圖六
其實(shí)圖六不就是圖一嗎？它只不過是將圖一從另一個(gè)角度畫出罷了。當(dāng)然，當(dāng)中分割正方形的方法就有所不同。
順帶一提，證明四比之前的證明有一個(gè)很明顯的分別，證明四沒有計(jì)算的部分，整個(gè)證明就是單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出。我不知道大家是否接受這些沒有任何計(jì)算步驟的「證明」，不過，我自己就非常喜歡這些「無字證明」了。
圖七
在多種「無字證明」中，我最喜歡的有兩個(gè)。圖七是其中之一。做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成4 分。之後依照?qǐng)D七中的顏色，將兩個(gè)直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。
事實(shí)上，以類似的「拼圖」方式所做的證明非常之多，但在這里就未有打算將它們一一盡錄了。
另一個(gè)「無字證明」，可以算是最巧妙和最簡(jiǎn)單的，方法如下：
證明五
(a) (b)
圖八
圖八(a)和圖二一樣，都是在一個(gè)大正方形中，放置了4個(gè)直角三角形。留意圖中淺黃色部分的面積等於c2。現(xiàn)在我們將圖八(a)中的4個(gè)直角三角形移位，成為圖八(b)。明顯，圖八(b)中兩個(gè)淺黃色正方形的面積之和應(yīng)該是a2+ b2。但由於(a)、(b)兩圖中的大正方形不變，4個(gè)直角三角形亦相等，所以余下兩個(gè)淺黃色部的面積亦應(yīng)該相等，因此我們就得到a2+ b2= c2，亦即是證明了勾股定理。
對(duì)於這個(gè)證明的出處，有很多說法：有人說是出自中國(guó)古代的數(shù)學(xué)書；有人相信當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯就是做出了這個(gè)證明，因而宰殺了一百頭牛來慶祝。總之，我覺得這是眾多證明之中，最簡(jiǎn)單和最快的一個(gè)證明了。
不要看輕這個(gè)證明，它其實(shí)包含著另一個(gè)意義，并不是每一個(gè)人都容易察覺的。我現(xiàn)在將上面兩個(gè)圖「壓扁」，成為圖九：
(a) (b)
圖九
圖九(a)中間的淺黃色部分是一個(gè)平行四邊形，它的面積可以用以下算式求得：mnsin(a+ b)，其中m和n分別是兩個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)度。而圖九(b)中的淺黃色部分是兩個(gè)長(zhǎng)方形，其面積之和是：(mcos a)(nsin b) + (msin a)(ncos b)。正如上面一樣，(a)、(b)兩圖淺黃色部分的面積是相等的，所以將兩式結(jié)合并消去共有的倍數(shù)，我們得：sin(a+ b) = sin acos b+ sin bcos a，這就是三角學(xué)中最重要的復(fù)角公式！原來勾股定理和這條復(fù)角公式是來自相同的證明的！
在證明二中，當(dāng)介紹完展開(a+ b)2的方法之後，我提出了趙爽的「弦圖」，這是一個(gè)展開(a-b)2的方法。而證明五亦有一個(gè)相似的情況，在這里，我們除了一個(gè)類似(a+ b) 的「無字證明」外，我們亦有一個(gè)類似 (a-b)的「無字證明」。這方法是由印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅（Bhaskara; 1114-1185）提出的，見圖十。
(a) (b)
圖十
證明六
圖十一
圖十一中，我們將中間的直角三角形ABC以CD分成兩部分，其中DC為直角，D位於AB之上并且CD^AB。設(shè)a= CB，b= AC，c= AB，x= BD，y= AD。留意圖中的三個(gè)三角形都是互相相似的，并且DDBC~DCBA~DDCA，所以
= 和 =
由此得 a2 = cx 和 b2 = cy
將兩式結(jié)合，得 a2+ b2= cx+ cy= c(x+ y) = c2。定理得證。
證明六可以說是很特別的，因?yàn)樗潜疚乃凶C明中，唯一一個(gè)證明沒有使用到面積的概念。我相信在一些舊版的教科書中，也曾使用過證明六作為勾股定理的證明。不過由於這個(gè)證明需要相似三角形的概念，而且又要將兩個(gè)三角形翻來覆去，相當(dāng)復(fù)雜，到今天已很少教科書采用，似乎已被人們?nèi)諠u淡忘了！
可是，如果大家細(xì)心地想想，又會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)證明其實(shí)和證明一（即歐幾里得的證明）沒有分別！雖然這個(gè)證明沒有提及面積，但a2= cx其實(shí)就是表示BC 上正方形的面積等於由AB和 BD兩邊所組成的長(zhǎng)方形的面積，這亦即是圖一中黃色的部分。類似地，b2= cy亦即是圖一中深綠色的部分。由此看來，兩個(gè)證明都是依據(jù)相同的原理做出來的！
證明七
(a) (b) (c)
圖十二
在圖十二(a)中，我們暫時(shí)未知道三個(gè)正方形面積之間有甚麼直接的關(guān)系，但由於兩個(gè)相似圖形面積之比等於它們對(duì)應(yīng)邊之比的平方，而任何正方形都相似，所以我們知道面積I : 面積II : 面積III = a2: b2: c2。
不過，細(xì)心地想想就會(huì)發(fā)現(xiàn)，上面的推論中，「正方形」的要求是多余的，其實(shí)只要是一個(gè)相似的圖形，例如圖十二(b)中的半圓，或者是圖十二(c)中的古怪形狀，只要它們互相相似，那麼面積I : 面積II : 面積III 就必等於 a2: b2: c2了！
在蕓蕓眾多的相似圖形中，最有用的，莫過於與原本三角形相似的直角三角形了。
(a) (b)
圖十三
在圖十三(a)中，我在中間的直角三角形三邊上分別畫上三個(gè)和中間三角形相似的直角三角形。留意：第III 部分其實(shí)和原本三角形一樣大，所以面積亦相等；如果我們從三角形直角的頂點(diǎn)引一條垂直線至斜邊，將中間的三角形分成兩分，那麼我們會(huì)發(fā)現(xiàn)圖十三(a)的面積I 剛好等於中間三角形左邊的面積，而面積II 亦剛好等於右邊的面積。由圖十三(b)可以知道：面積I + 面積II = 面積III。與此同時(shí)，由於面積I : 面積II : 面積III = a2: b2: c2，所以a2+ b2= c2。
七個(gè)證明之中，我認(rèn)為這一個(gè)的布局最為巧妙，所用的數(shù)學(xué)技巧亦精彩。可惜對(duì)一個(gè)初中學(xué)生而言，這個(gè)證明就比較難掌握了。
我不太清楚這個(gè)證明的出處。我第一次認(rèn)識(shí)這個(gè)證明，是在大學(xué)時(shí)候，一位同學(xué)從圖書館看到這個(gè)證明後告訴我的。由於印象深刻，所以到了今天仍依然記憶猶新。
歐幾里得《幾何原本》的第六卷命題31是這樣寫的：「在直角三角形中，對(duì)直角的邊上所作的圖形等於夾直角邊上所作與前圖相似且有相似位置的二圖形之和。」我估計(jì)，相信想出證明七的人，應(yīng)該曾經(jīng)參考過這一個(gè)命題。
2001 年8 月13 日
2002年5月27 日（加添證明六的注釋）
子吉注曰：2001 年6 月，本人獲教育署數(shù)學(xué)組之邀請(qǐng)，在一個(gè)就著新數(shù)學(xué)課程而舉辦的研討會(huì)中，以「勾股定理證明評(píng)監(jiān)」為題，發(fā)表了約半小時(shí)的演講。本文就是依照當(dāng)日的講稿改寫而成的。在演講中，亦有使用演示軟件輔助講解，讀者如對(duì)該簡(jiǎn)報(bào)檔有興趣，可按下面的連結(jié)下載。
本文轉(zhuǎn)自
http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/jiao_xue/py_thm/py_thm.html
勾股定理（又叫「畢氏定理」）說：「在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等於兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和。」據(jù)考證，人類對(duì)這條定理的認(rèn)識(shí)，少說也超過4000年！又據(jù)記載，現(xiàn)時(shí)世上一共有超過300個(gè)對(duì)這定理的證明！
我覺得，證明多，固然是表示這個(gè)定理十分重要，因而有很多人對(duì)它作出研究；但證明多，同時(shí)令人眼花繚亂，亦未能夠一針見血地反映出定理本身和證明中的數(shù)學(xué)意義。故此，我在這篇文章中，為大家選出了7個(gè)我認(rèn)為重要的證明，和大家一起分析和欣賞這些證明的特色，與及認(rèn)識(shí)它們的歷史背境。
證明一
圖一
在圖一中，DABC為一直角三角形，其中DA為直角。我們?cè)谶匒B、BC和AC之上分別畫上三個(gè)正方形ABFG、BCED和ACKH。過A點(diǎn)畫一直線AL使其垂直於DE并交DE於L，交BC於M。不難證明，DFBC全等於DABD（S.A.S.）。所以正方形ABFG的面積= 2 DFBC的面積= 2 DABD的面積= 長(zhǎng)方形BMLD的面積。類似地，正方形ACKH的面積= 長(zhǎng)方形MCEL的面積。即正方形BCED的面積= 正方形ABFG的面積+正方形ACKH的面積，亦即是 AB2+ AC2= BC2。由此證實(shí)了勾股定理。
這個(gè)證明巧妙地運(yùn)用了全等三角形和三角形面積與長(zhǎng)方形面積的關(guān)系來進(jìn)行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和」的幾何意義，這就是以ML將正方形分成BMLD和MCEL的兩個(gè)部分！
這個(gè)證明的另一個(gè)重要意義，是在於它的出處。這個(gè)證明是出自古希臘大數(shù)學(xué)歐幾里得之手。
歐幾里得（Euclid of Alexandria）約生於公元前325年，卒於約公元前265年。他曾經(jīng)在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，并完成了著作《幾何原本》。《幾何原本》是一部劃時(shí)代的著作，它收集了過去人類對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)，并利用公理法建立起演繹體系，對(duì)後世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。而書中的第一卷命題47，就記載著以上的一個(gè)對(duì)勾股定理的證明。
證明二
圖二
圖二中，我們將4個(gè)大小相同的直角三角形放在一個(gè)大正方形之內(nèi)，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個(gè)正方形。設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)度為c，其余兩邊的長(zhǎng)度為a和b，則由於大正方形的面積應(yīng)該等於4個(gè)直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有
(a+ b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展開得 a2+ 2ab+ b2 = 2ab+ c2
化簡(jiǎn)得 a2+ b2 = c2
由此得知勾股定理成立。
證明二可以算是一個(gè)非常直接了當(dāng)?shù)淖C明。最有趣的是，如果我們將圖中的直角三角形翻轉(zhuǎn)，拼成以下的圖三，我們依然可以利用相類似的手法去證明勾股定理，方法如下：
圖三
由面積計(jì)算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b-a)2
展開得 = 2ab+ b2-2ab+ a2
化簡(jiǎn)得 c2 = a2+ b2（定理得證）
圖三的另一個(gè)重要意義是，這證明最先是由一個(gè)中國(guó)人提出的！據(jù)記載，這是出自三國(guó)時(shí)代（即約公元3世紀(jì)的時(shí)候）吳國(guó)的趙爽。趙爽為《周髀算經(jīng)》作注釋時(shí)，在書中加入了一幅他稱為「勾股圓方圖」（或「弦圖」）的插圖，亦即是上面圖三的圖形了。
證明三
圖四
圖四一共畫出了兩個(gè)綠色的全等的直角三角形和一個(gè)淺黃色的等腰直角三角形。不難看出，整個(gè)圖就變成一個(gè)梯形。利用梯形面積公式，我們得到︰
1/2(a+ b)(b+ a) = 2(1/2 ab) + 1/2c2
展開得 1/2a2+ ab+ 1/2b2 = ab+ 1/2c2
化簡(jiǎn)得 a2+ b2 = c2（定理得證）
有一些書本對(duì)證明三十分推祟，這是由於這個(gè)證明是出自一位美國(guó)總統(tǒng)之手！
在1881年，加菲（James A. Garfield；1831-1881）當(dāng)選成為美國(guó)第20任總統(tǒng)，可惜在當(dāng)選後5個(gè)月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有關(guān)證明，是他在1876年提出的。
我個(gè)人覺得證明三并沒有甚麼優(yōu)勝之處，它其實(shí)和證明二一樣，只不過它將證明二中的圖形切開一半罷了！更何況，我不覺得梯形面積公式比正方形面積公式簡(jiǎn)單！
又，如果從一個(gè)老師的角度來看，證明二和證明三都有一個(gè)共同的缺點(diǎn)，它就是需要到恒等式(ab)2= a22ab+ b2了。雖然這個(gè)恒等式一般都包括在中二的課程之中，但有很多學(xué)生都未能完全掌握，由於以上兩個(gè)證明都使用了它，往往在教學(xué)上會(huì)出現(xiàn)學(xué)生不明白和跟不上等問題。
證明四
(a) (b) (c)
圖五
證明四是這樣做的：如圖五(a)，我們先畫一個(gè)直角三角形，然後在最短的直角邊旁向三角形那一邊加上一個(gè)正方形，為了清楚起見，以紅色表示。又在另一條直角邊下面加上另一個(gè)正方形，以藍(lán)色表示。接著，以斜邊的長(zhǎng)度畫一個(gè)正方形，如圖五(b)。我們打算證明紅色和藍(lán)色兩個(gè)正方形面積之和，剛好等於以斜邊畫出來的正方形面積。
留意在圖五(b)中，當(dāng)加入斜邊的正方形後，紅色和藍(lán)色有部分的地方超出了斜邊正方形的范圍。現(xiàn)在我將超出范圍的部分分別以黃色、紫色和綠色表示出來。同時(shí)，在斜邊正方形內(nèi)，卻有一些部分未曾填上顏色。現(xiàn)在依照?qǐng)D五(c)的方法，將超出范圍的三角形，移入未有填色的地方。我們發(fā)現(xiàn)，超出范圍的部分剛好填滿未曾填色的地方！由此我們發(fā)現(xiàn)，圖五(a)中，紅色和藍(lán)色兩部分面積之和，必定等於圖五(c)中斜邊正方形的面積。由此，我們就證實(shí)了勾股定理。
這個(gè)證明是由三國(guó)時(shí)代魏國(guó)的數(shù)學(xué)家劉徽所提出的。在魏景元四年（即公元263年），劉徽為古籍《九章算術(shù)》作注釋。在注釋中，他畫了一幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理。由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個(gè)部分，又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以後世數(shù)學(xué)家都稱這圖為「青朱入出圖」。亦有人用「出入相補(bǔ)」這一詞來表示這個(gè)證明的原理。
在歷史上，以「出入相補(bǔ)」的原理證明勾股定理的，不只劉徽一人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在歐洲，都有出現(xiàn)過類似的證明，只不過他們所繪的圖，在外表上，或許會(huì)和劉徽的圖有些少分別。下面的圖六，就是將圖五(b)和圖五(c)兩圖結(jié)合出來的。留意我經(jīng)已將小正方形重新畫在三角形的外面。看一看圖六，我們?cè)?jīng)見過類似的圖形嗎？
圖六
其實(shí)圖六不就是圖一嗎？它只不過是將圖一從另一個(gè)角度畫出罷了。當(dāng)然，當(dāng)中分割正方形的方法就有所不同。
順帶一提，證明四比之前的證明有一個(gè)很明顯的分別，證明四沒有計(jì)算的部分，整個(gè)證明就是單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出。我不知道大家是否接受這些沒有任何計(jì)算步驟的「證明」，不過，我自己就非常喜歡這些「無字證明」了。
圖七
在多種「無字證明」中，我最喜歡的有兩個(gè)。圖七是其中之一。做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成4 分。之後依照?qǐng)D七中的顏色，將兩個(gè)直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。
事實(shí)上，以類似的「拼圖」方式所做的證明非常之多，但在這里就未有打算將它們一一盡錄了。
另一個(gè)「無字證明」，可以算是最巧妙和最簡(jiǎn)單的，方法如下：
證明五
(a) (b)
圖八
圖八(a)和圖二一樣，都是在一個(gè)大正方形中，放置了4個(gè)直角三角形。留意圖中淺黃色部分的面積等於c2。現(xiàn)在我們將圖八(a)中的4個(gè)直角三角形移位，成為圖八(b)。明顯，圖八(b)中兩個(gè)淺黃色正方形的面積之和應(yīng)該是a2+ b2。但由於(a)、(b)兩圖中的大正方形不變，4個(gè)直角三角形亦相等，所以余下兩個(gè)淺黃色部的面積亦應(yīng)該相等，因此我們就得到a2+ b2= c2，亦即是證明了勾股定理。
對(duì)於這個(gè)證明的出處，有很多說法：有人說是出自中國(guó)古代的數(shù)學(xué)書；有人相信當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯就是做出了這個(gè)證明，因而宰殺了一百頭牛來慶祝。總之，我覺得這是眾多證明之中，最簡(jiǎn)單和最快的一個(gè)證明了。
不要看輕這個(gè)證明，它其實(shí)包含著另一個(gè)意義，并不是每一個(gè)人都容易察覺的。我現(xiàn)在將上面兩個(gè)圖「壓扁」，成為圖九：
(a) (b)
圖九
圖九(a)中間的淺黃色部分是一個(gè)平行四邊形，它的面積可以用以下算式求得：mnsin(a+ b)，其中m和n分別是兩個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)度。而圖九(b)中的淺黃色部分是兩個(gè)長(zhǎng)方形，其面積之和是：(mcos a)(nsin b) + (msin a)(ncos b)。正如上面一樣，(a)、(b)兩圖淺黃色部分的面積是相等的，所以將兩式結(jié)合并消去共有的倍數(shù)，我們得：sin(a+ b) = sin acos b+ sin bcos a，這就是三角學(xué)中最重要的復(fù)角公式！原來勾股定理和這條復(fù)角公式是來自相同的證明的！
在證明二中，當(dāng)介紹完展開(a+ b)2的方法之後，我提出了趙爽的「弦圖」，這是一個(gè)展開(a-b)2的方法。而證明五亦有一個(gè)相似的情況，在這里，我們除了一個(gè)類似(a+ b) 的「無字證明」外，我們亦有一個(gè)類似 (a-b)的「無字證明」。這方法是由印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅（Bhaskara; 1114-1185）提出的，見圖十。
(a) (b)
圖十
證明六
圖十一
圖十一中，我們將中間的直角三角形ABC以CD分成兩部分，其中DC為直角，D位於AB之上并且CD^AB。設(shè)a= CB，b= AC，c= AB，x= BD，y= AD。留意圖中的三個(gè)三角形都是互相相似的，并且DDBC~DCBA~DDCA，所以
= 和 =
由此得 a2 = cx 和 b2 = cy
將兩式結(jié)合，得 a2+ b2= cx+ cy= c(x+ y) = c2。定理得證。
證明六可以說是很特別的，因?yàn)樗潜疚乃凶C明中，唯一一個(gè)證明沒有使用到面積的概念。我相信在一些舊版的教科書中，也曾使用過證明六作為勾股定理的證明。不過由於這個(gè)證明需要相似三角形的概念，而且又要將兩個(gè)三角形翻來覆去，相當(dāng)復(fù)雜，到今天已很少教科書采用，似乎已被人們?nèi)諠u淡忘了！
可是，如果大家細(xì)心地想想，又會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)證明其實(shí)和證明一（即歐幾里得的證明）沒有分別！雖然這個(gè)證明沒有提及面積，但a2= cx其實(shí)就是表示BC 上正方形的面積等於由AB和 BD兩邊所組成的長(zhǎng)方形的面積，這亦即是圖一中黃色的部分。類似地，b2= cy亦即是圖一中深綠色的部分。由此看來，兩個(gè)證明都是依據(jù)相同的原理做出來的！
證明七
(a) (b) (c)
圖十二
在圖十二(a)中，我們暫時(shí)未知道三個(gè)正方形面積之間有甚麼直接的關(guān)系，但由於兩個(gè)相似圖形面積之比等於它們對(duì)應(yīng)邊之比的平方，而任何正方形都相似，所以我們知道面積I : 面積II : 面積III = a2: b2: c2。
不過，細(xì)心地想想就會(huì)發(fā)現(xiàn)，上面的推論中，「正方形」的要求是多余的，其實(shí)只要是一個(gè)相似的圖形，例如圖十二(b)中的半圓，或者是圖十二(c)中的古怪形狀，只要它們互相相似，那麼面積I : 面積II : 面積III 就必等於 a2: b2: c2了！
在蕓蕓眾多的相似圖形中，最有用的，莫過於與原本三角形相似的直角三角形了。
(a) (b)
圖十三
在圖十三(a)中，我在中間的直角三角形三邊上分別畫上三個(gè)和中間三角形相似的直角三角形。留意：第III 部分其實(shí)和原本三角形一樣大，所以面積亦相等；如果我們從三角形直角的頂點(diǎn)引一條垂直線至斜邊，將中間的三角形分成兩分，那麼我們會(huì)發(fā)現(xiàn)圖十三(a)的面積I 剛好等於中間三角形左邊的面積，而面積II 亦剛好等於右邊的面積。由圖十三(b)可以知道：面積I + 面積II = 面積III。與此同時(shí)，由於面積I : 面積II : 面積III = a2: b2: c2，所以a2+ b2= c2。
七個(gè)證明之中，我認(rèn)為這一個(gè)的布局最為巧妙，所用的數(shù)學(xué)技巧亦精彩。可惜對(duì)一個(gè)初中學(xué)生而言，這個(gè)證明就比較難掌握了。
我不太清楚這個(gè)證明的出處。我第一次認(rèn)識(shí)這個(gè)證明，是在大學(xué)時(shí)候，一位同學(xué)從圖書館看到這個(gè)證明後告訴我的。由於印象深刻，所以到了今天仍依然記憶猶新。
歐幾里得《幾何原本》的第六卷命題31是這樣寫的：「在直角三角形中，對(duì)直角的邊上所作的圖形等於夾直角邊上所作與前圖相似且有相似位置的二圖形之和。」我估計(jì)，相信想出證明七的人，應(yīng)該曾經(jīng)參考過這一個(gè)命題。
2001 年8 月13 日
2002年5月27 日（加添證明六的注釋）
子吉注曰：2001 年6 月，本人獲教育署數(shù)學(xué)組之邀請(qǐng)，在一個(gè)就著新數(shù)學(xué)課程而舉辦的研討會(huì)中，以「勾股定理證明評(píng)監(jiān)」為題，發(fā)表了約半小時(shí)的演講。本文就是依照當(dāng)日的講稿改寫而成的。在演講中，亦有使用演示軟件輔助講解，讀者如對(duì)該簡(jiǎn)報(bào)檔有興趣，可按下面的連結(jié)下載。
本文轉(zhuǎn)自
http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/jiao_xue/py_thm/py_thm.html
總結(jié)
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