來(lái)源：數(shù)學(xué)建模清風(fēng)學(xué)習(xí)內(nèi)容整理

---

文章目錄

• 插值算法
• 拉格朗日插值法合和牛頓插值法
• • 拉格朗日插值法
  • 拉格朗日插值存在的問(wèn)題
  • 牛頓插值法
  • 兩種插值法的對(duì)比和問(wèn)題
• ※埃爾米特插值（常用）
• ※三次樣條插值（常用）
• n維插值
• 插值預(yù)測(cè)
• 建模實(shí)例

---

插值算法

• 插值的作用： 數(shù)模比賽中，常常需要根據(jù)已知的函數(shù)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)、模型的處理和
  分析，而有時(shí)候現(xiàn)有的數(shù)據(jù)是極少的，不足以支撐分析的進(jìn)行，這時(shí)就
  需要使用一些數(shù)學(xué)的方法，“模擬產(chǎn)生”一些新的但又比較靠譜的值來(lái)滿(mǎn)
  足需求，這就是插值的作用。

拉格朗日插值法合和牛頓插值法

拉格朗日插值法

拉格朗日插值存在的問(wèn)題

當(dāng)次數(shù)n太多會(huì)造成不穩(wěn)定，誤差急劇增大，可采用分段解決

牛頓插值法

兩種插值法的對(duì)比和問(wèn)題

• 所以 拉格朗日插值 和 牛頓插值 都不常用

---

※埃爾米特插值（常用）

• 能夠保持線(xiàn)性程度良好

% 分段三次埃爾米特插值 x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p = pchip(x,y,new_x); figure(1); % 在同一個(gè)腳本文件里面，要想畫(huà)多個(gè)圖，需要給每個(gè)圖編號(hào)，否則只會(huì)顯示最后一個(gè)圖 plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')% plot函數(shù)用法: % plot(x1,y1,x2,y2) % 線(xiàn)方式： - 實(shí)線(xiàn) :點(diǎn)線(xiàn) -. 虛點(diǎn)線(xiàn) - - 波折線(xiàn) % 點(diǎn)方式： . 圓點(diǎn) +加號(hào) * 星號(hào) x x形 o 小圓 % 顏色： y黃； r紅； g綠； b藍(lán)； w白； k黑； m紫； c青

---

※三次樣條插值（常用）

% 三次樣條插值和分段三次埃爾米特插值的對(duì)比 x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p1 = pchip(x,y,new_x); %分段三次埃爾米特插值 p2 = spline(x,y,new_x); %三次樣條插值 figure(2); plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-') legend('樣本點(diǎn)','三次埃爾米特插值','三次樣條插值','Location','SouthEast') %標(biāo)注顯示在東南方向 % 說(shuō)明： % LEGEND(string1,string2,string3, …) % 分別將字符串1、字符串2、字符串3……標(biāo)注到圖中，每個(gè)字符串對(duì)應(yīng)的圖標(biāo)為畫(huà)圖時(shí)的圖標(biāo)。 % ‘Location’用來(lái)指定標(biāo)注顯示的位置

n維插值

% n維數(shù)據(jù)的插值 x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p = interpn (x, y, new_x, 'spline'); % 等價(jià)于 p = spline(x, y, new_x); figure(3); plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')

插值預(yù)測(cè)

% 人口預(yù)測(cè)（注意：一般我們很少使用插值算法來(lái)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，隨著課程的深入，后面的章節(jié)會(huì)有更適合預(yù)測(cè)的算法供大家選擇，例如灰色預(yù)測(cè)、擬合預(yù)測(cè)等） population=[133126,133770,134413,135069,135738,136427,137122,137866,138639, 139538]; year = 2009:2018; p1 = pchip(year, population, 2019:2021) %分段三次埃爾米特插值預(yù)測(cè) p2 = spline(year, population, 2019:2021) %三次樣條插值預(yù)測(cè) figure(4); plot(year, population,'o',2019:2021,p1,'r*-',2019:2021,p2,'bx-') legend('樣本點(diǎn)','三次埃爾米特插值預(yù)測(cè)','三次樣條插值預(yù)測(cè)','Location','SouthEast')

建模實(shí)例

• 使用matlab插值補(bǔ)其缺少的數(shù)據(jù)

%插值預(yù)測(cè)中間周的水體評(píng)價(jià)指標(biāo) load Z.mat x=Z(1,:); %Z的第一行是星期Z: 1 3 5 7 9 11 13 15 [n,m]=size(Z);%n為Z的行數(shù)，m為Z的列數(shù) % 注意Matlab的數(shù)組中不能保存字符串，如果要生成字符串?dāng)?shù)組，就需要使用元胞數(shù)組，其用大括號(hào){}定義和引用 ylab={'周數(shù)','輪蟲(chóng)','溶氧','COD','水溫','PH值','鹽度','透明度','總堿度','氯離子','透明度','生物量'}; % 等會(huì)要畫(huà)的圖形的標(biāo)簽 disp(['共有' num2str(n-1) '個(gè)指標(biāo)要進(jìn)行插值。']) disp('正在對(duì)一號(hào)池三次埃爾米特插值，請(qǐng)等待')%一號(hào)池共有十一組要插值的數(shù)據(jù)，算上星期所在的第一行，共十二行 P=zeros(11,15);%對(duì)要儲(chǔ)存數(shù)據(jù)的矩陣P賦予初值 for i=2:n%從第二行開(kāi)始都是要進(jìn)行插值的指標(biāo)y=Z(i,:);%將每一行依次賦值給ynew_x=1:15;%要進(jìn)行插值的xp1=pchip(x,y,new_x);%調(diào)用三次埃爾米特插值函數(shù)subplot(4,3,i-1);%將所有圖依次變現(xiàn)在4*3的一幅大圖上plot(x,y,'ro',new_x,p1,'-');%畫(huà)出每次循環(huán)處理后的圖像axis([0 15,-inf,inf]) %設(shè)置坐標(biāo)軸的范圍，這里設(shè)置橫坐標(biāo)軸0-15，縱坐標(biāo)不變化% xlabel('星期')%x軸標(biāo)題ylabel(ylab{i})%y軸標(biāo)題 這里是直接引用元胞數(shù)組中的字符串哦P(i-1,:)=p1;%將每次插值之后的結(jié)果保存在P矩陣中 end legend('原始數(shù)據(jù)','三次埃爾米特插值數(shù)據(jù)','Location','SouthEast')%加上標(biāo)注，注意要手動(dòng)在圖中拖動(dòng)標(biāo)注到圖片右下角哦 P = [1:15; P] %把P的第一行加上周數(shù)% % 注意：代碼文件僅供參考，一定不要直接用于自己的數(shù)模論文中 % % 國(guó)賽對(duì)于論文的查重要求非常嚴(yán)格，代碼雷同也算作抄襲

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的插值算法模型的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。