用叉乘求法向量.doc

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平面法向量的求法及其應(yīng)用

平面的法向量

1、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類(從方向上分)，無數(shù)條。

2、平面法向量的求法

方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量[或，或]，在平面內(nèi)任找兩個不共線的向量。由，得且，由此得到關(guān)于的方程組，解此方程組即可得到。

方法二：任何一個的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個平面的方程是的一次方程。 ，稱為平面的一般方程。其法向量;若平面與3個坐標(biāo)軸的交點為,如圖所示,則平面方程為:,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的法向量。

圖1-1C1CByFADxA1D1zB1E方法三(外積法): 設(shè) , 為空間中兩個不平行的非零向量，其外積為一長度等于，(θ為,兩者交角，且)，而與 , 皆垂直的向量。通常我們采取「右手定則」，也就是右手四指由 的方向轉(zhuǎn)為 的方向時，大拇指所指的方向規(guī)定為的方向,。

圖1-1

C1

C

B

y

F

A

D

x

A1

D1

z

B1

E

(注：1、二階行列式: ；2、適合右手定則。)

已知，，

試求(1)：(2)：

Key: (1) ;

例2、如圖1-1,在棱長為2的正方體中，

圖2-1-1αBAC求平面AEF的一個法向量

圖2-1-1

α

B

A

C

AB

A

B

α

圖2-1-2

C

求空間角

(1)、求線面角：如圖2-1，設(shè)是平面的法向量，

AB是平面的一條斜線，，則AB與平面

所成的角為：

圖2-1-1:

圖2-1-2:

α圖2-3ββα圖2-2(2)、求面面角:設(shè)向量，分別是平面、的法向量，則二面角的平面角為：

α

圖2-3

β

β

α

圖2-2

(圖2-2);

(圖2-3)

兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，的方向?qū)ζ矫娑韵蛲?#xff0c;的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)；在圖2-3中，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)。我們只要用兩個向量的向量積(簡稱“外積”，滿足“右手定則”)使得兩個半平面的法向量一個向內(nèi)一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。

求空間距離

(1)、異面直線之間距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量、，

圖2-4nabAB求a、b的法向量，即此異面直線

圖2-4

n

a

b

A

B

②在直線a、b上各取一點A、B，作向量；

③求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為

圖2-5AαM

圖2-5

A

α

M

B

N

O

(2)、點到平面的距離:

方法指導(dǎo)：如圖2-5,若點B為平面α外一點，點A

AaBα圖2-6為平面α內(nèi)任一點，平面的法向量為

A

a

B

α

圖2-6

平面α的距離公式為

(3)、直線與平面間的距離:

圖2-7αβAB方法指導(dǎo)：如圖2-6,直線

圖2-7

α

β

A

B

，其中。是平面的法向量

(4)、平面與平面間的距離:

圖2-8αa方法指導(dǎo)：如圖2-7,兩平行平面

圖2-8

α

a

，其中。是平面、的法向量。

圖2-9α

圖2-9

α

a

圖2-10βα(1)、證明線面垂直：在圖2-8中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線()。

圖2-10

β

α

(2)、證明線面平行：在圖2-9中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直()。

圖2-11αβ(3)、證明面面垂直：在圖2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直()

圖2-11

α

β

(4)、證明面面平行：在圖2-11中, 向是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線()。

圖3-1C

圖3-1

C

D

M

A

P

B

1、(2005全國I，18)(本大題滿分12分)

已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點

(Ⅰ)證明：面PAD⊥面PCD；

(Ⅱ)求AC與PB所成的角；

(Ⅲ)求面AMC與面BMC所成二面角的大小

解:以A點為原點,以分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖所示.

，，設(shè)平面PAD的法向量為

，，設(shè)平面PCD的法向量為

，，即平面PAD平面PCD。

，，

，，設(shè)平在AMC的法向量為.

又,設(shè)平面PCD的法向量為.

.

面AMC與面BMC所成二面角的大小為.

2、(2006年云南省第一次統(tǒng)測19題) (本題滿分12分)

圖3-2 如圖3-2，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，

圖3-2

已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中點。

(Ⅰ)求證：AD∥平面A1BC；

(Ⅱ)求證：平面A1MC⊥平面A1BD1；

(Ⅲ)求點A到平面A1MC的距離。

解:以D

總結(jié)

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