【問題提出】克列爾(A.L.Crelle)公式

對任意四面體$ABCD$，其體積$V$和外接球半徑$R$滿足$$6RV=\sqrt{p(p-aa_1)(p-bb_1)(p-cc_1)}.$$

其中$p=\frac 12(aa_1+bb_1+cc_1)$，$a,a_1,b,b_1,c,c_1$分別為四面體的三組對棱的長.

允許我先跑個題且在正文里介紹下近代歐氏幾何學中的布洛卡點. 克列爾(1780-1855)法國數學家和數學教育家，布洛卡點早在1816年就被克列爾首次發現，1875年被法國軍官布洛卡(Brocard)重新發現此特殊點并用他的名字命名，這才引起萊莫恩，圖克等一大批數學家興趣，一時形成了一股研究“三角形幾何”的熱潮.

【布洛卡點】 2013年全國卷I第17題的背景是也

點$P$是$\triangle ABC$內部一點，若$\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\alpha$，則稱$\alpha$為布洛卡角，點$P$為布洛卡點.

這里說個特殊情況，當$\alpha=30^\circ$時，則此$\triangle ABC$為正三角形，這是個看似簡單實難的幾何題.

【簡單引理】四面體的體積公式之一

$V=\frac 2{3a}\cdot S_1S_2\cdot \sin \theta$，其中，$S_1,S_2$為以$a$為公共棱的兩個面的面積，$\theta$為這兩個面所成的二面角.

此式的證明極易，只需要將$V=\frac 13Sh$中的$h$用這兩個面的夾角表示即可.

【問題解決】 輔助線爽心悅目，千錘百煉，嘆為觀止

證明：如圖所示，過$A$作四面體外接球的切面$\alpha$，過$D$作平面$ABC$平行平面$\beta$.

平面$\alpha$，平面$\beta$，平面$ ABD$相交于點$E$；平面$\alpha$，平面$\beta$，平面$ ACD$相交于點$F$.

平面$\beta \sslash $平面$ABC$，平面$ACD$與這兩面均相交，由平面平行性質可知$AC\sslash DF$，需要提醒的是，$AC$與$DF$是否相等無法判斷.

于是$\angle ADF=\angle DAC$，由于平面$\alpha$是四面體外接球的切面，所以在平面$ACD$中，$AF$是$\odot ACD$在點$A$的切線，由弦切角定理，知$\angle FAD=\angle ACD$，所以$$\triangle FAD \sim \triangle DCA\Rightarrow \frac{AF}a=\frac cb\Rightarrow AF=\frac {ac}b.$$

同理由$AB\sslash DE$，有$\angle ADE=\angle DAB$在平面$ABD$中$AE$為$\odot ABD$的切線，有$\angle EAD=\angle ABD$，所以$$\triangle EAD \sim \triangle DBA\Rightarrow \frac{AE}{b_1}=\frac c{a_1}\Rightarrow AE=\frac {b_1c}{a_1}.$$

下面求$EF$的長.

同樣的方法，如圖，作平面$\gamma\ \sslash$平面$ACD$，這樣三面相交得到點$G$，$H$.

同樣可得$$AG=\frac {a_1c_1}b,AH=\frac{a_1b_1}c.$$

平面$\alpha\ \cap$平面$ABC=AG$，平面$\alpha \ \cap$平面$\beta=EF$，平面$ABC\sslash $平面$\beta$，于是$AG\sslash EF$，同理知$GH\sslash AF$，而$H,A,E$在一條線(平面$\alpha$與平面$ABD$的交線)上，所以$$\triangle EFA \sim \triangle AGH\Rightarrow \frac{EF}{AG}=\frac {AE}{AH}\Rightarrow EF=\frac {c^2c_1}{a_1b}.$$

將$\triangle AEF$放縮$\dfrac{a_1b}{c}$倍，就得到三邊為$aa_1$，$bb_1$，$cc_1$的三角形，由海倫公式，將此三角形的面積記為$$S=\sqrt{p(p-aa_1)(p-bb_1)(p-cc_1)}.$$

設點$D$在四面體$ABCD$外接球過$A$的直徑上的投影為$D'$，則$$h=AD'=\frac{AD^2}{2R}=\frac {c^2}{2R}.$$

這樣一來，$$V_1=V_{D-AEF}=\frac13 S \left(\frac c{a_1b}\right)^2 h=\frac{c4}{a_12b^2}\cdot \frac{S}{6R}.$$

另一方面，四面體$ADEF$與四面體$ABCD$的體積比為

$$\frac{V_1}{V}=\frac{S_{\triangle ADF}\cdot S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ACD}\cdot S_{\triangle ABD}}$$

$$=\frac{S_{\triangle ADF}}{S_{\triangle ACD}}\cdot \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}$$

$$=\left(\frac{AF}a\right)^2\cdot \left(\frac{AE}{b_1}\right)^2$$

$$=\frac {c2}{b2}\cdot\frac {c2}{a_12}$$

$$=\frac {c4}{a_12b^2}$$

$$\therefore V_1=\frac {c4}{a_12b^2}\cdot V.$$

從而$$6RV=\sqrt{p(p-aa_1)(p-bb_1)(p-cc_1)}.$$ \qed

PS:高考中的熱點與難點

PSS:1988年趙光明 、武建沛在《數學教學》發表了“任意四面體外接球半徑的計算公式”，從角出發；本文從六條邊出發，即 克列爾(A.L.Crelle)公式，參考了唐立華著的《向量與立體幾何》；沈文選、張垚、冷崗松著的《奧林匹克數學中的幾何問題》

總結

以上是生活随笔為你收集整理的三角形外接球万能公式_任意四面体的外接球的半径(克列尔(A.L.Crelle)公式)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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