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文章目錄

• 前言
• 一.排序算法
• 二.查找算法
• • 2.1 哈希查找
  • • 2.1.1 兩數(shù)之和
    • 2.1.2 兩個數(shù)組的交集
    • 2.1.3 日志速率限制器
  • 2.2 最長公共前綴
  • 2.3 KMP
  • • 2.3.1 實(shí)現(xiàn) strStr()
  • 2.4 二分查找
  • 前言
  • • 2.4.1 搜索插入位置
    • 2.4.2 Sqrt(x)
    • 2.4.2 有效的完全平方數(shù)
    • 2.4.3 第一個錯誤的版本
  • 2.5 存在重復(fù)元素2
• 三.數(shù)論相關(guān)
• 前言
• • 3.1 快速冪
  • 3.3 反轉(zhuǎn)
  • • 3.3.1 整數(shù)反轉(zhuǎn)（非常重要，涉及溢出）
    • 3.3.2 回文數(shù)
    • 3.3.3 回文排列
  • 3.4 映射規(guī)則
  • • 3.4.1 羅馬字符轉(zhuǎn)數(shù)字
    • 3.4.2 同構(gòu)字符串
    • 3.4.3 單詞規(guī)律
  • 3.5 大數(shù)運(yùn)算
  • • 3.5.1 加1
    • 3.5.2 二進(jìn)制求和
    • 3.5.3 階乘后的零
  • 3.6 快樂數(shù)
  • 3.7 素數(shù)
  • • 3.7.1 計數(shù)素數(shù)
  • 3.8 各位相加
  • 3.9 丑數(shù)
• 四.棧
• • 4.1 有效的括號
• 五.線性表和鏈表
• 前言
• • 5.1 指針
  • • 5.1.1 合并兩個有序鏈表
    • 5.1.1 合并兩個有序數(shù)組
    • 5.1.2 刪除排序數(shù)組中的重復(fù)項
    • 5.1.2 刪除排序鏈表中的重復(fù)元素
    • 5.1.3 移除元素
    • 5.1.4 驗證回文串
    • 5.1.5 環(huán)形鏈表
    • 5.1.6 回文鏈表
    • 5.1.7 刪除鏈表中的節(jié)點(diǎn)
  • 5.2 最后一個單詞的長度
  • 5.3 雙指針
  • • 5.3.1 相交鏈表
    • 5.3.2 反轉(zhuǎn)鏈表
    • 5.3.3 匯總區(qū)間
    • 5.3.4 會議室
    • 5.3.5 移動零
  • 5.4 棧和隊列
  • • 5.4.1 用隊列實(shí)現(xiàn)棧
    • 5.4.3 用棧實(shí)現(xiàn)隊列
  • 5.5 區(qū)域和檢索 - 數(shù)組不可變
• 六.動態(tài)規(guī)劃
• • 6.1 最大子序列和
  • 6.2 爬樓梯
  • 6.3 楊輝三角
  • 6.4 楊輝三角2
  • 6.5 買賣股票的最佳時機(jī)
  • 6.6 買賣股票的最佳時機(jī)2
  • 6.7 比特位計數(shù)
• 七. 樹
• • 前言
  • 7.1 樹的遍歷
  • • 7.1.1 二叉樹的中序遍歷
    • 7.1.2 相同的樹
    • 7.1.3 對稱二叉樹
    • 7.1.4 二叉樹的最大深度
    • 7.1.5 將有序數(shù)組轉(zhuǎn)換為二叉搜索樹
    • 7.1.6 平衡二叉樹
    • 7.1.7 二叉樹的最小深度
    • 7.1.8 路徑總和
    • 7.1.8 二叉樹的所有路徑
    • 7.1.9 翻轉(zhuǎn)二叉樹
  • 7.2 二叉搜索樹的最近公共祖先
  • 7.3 最接近的二叉搜索樹值
• 八. 位運(yùn)算
• • 8.1 只出現(xiàn)一次的數(shù)字
  • 8.2 Excel表列名稱
  • 8.3 顛倒二進(jìn)制位
  • 8.4 2的冪
  • 8.4 3的冪
  • 8.5 丟失的數(shù)字
• 九. 字符串
• • 9.1 最短單詞距離
• 十. 博弈論
• • 10.1 nim游戲

前言

此篇文章的目的是在于建立一個可以協(xié)同配合的工作流，我希望對于一個算法的理解包含以下內(nèi)容：詳盡的分析，程序的結(jié)構(gòu)，代碼。文章中包含前兩個部分，然后在本地完成代碼。編寫代碼是否需要再附上結(jié)構(gòu)，很難說，我現(xiàn)在想的是只加上主干，再附上一個鏈接即可

一.排序算法

二.查找算法

2.1 哈希查找

2.1.1 兩數(shù)之和

題目：給定一個整數(shù)數(shù)組 nums 和一個整數(shù)目標(biāo)值 target，請你在該數(shù)組中找出 和為目標(biāo)值 target 的那 兩個 整數(shù)，并返回它們的數(shù)組下標(biāo)。

你可以假設(shè)每種輸入只會對應(yīng)一個答案。但是，數(shù)組中同一個元素在答案里不能重復(fù)出現(xiàn)。

暴力解法：兩層循環(huán)遍歷所有的下標(biāo)組合

優(yōu)化：對于時空復(fù)雜度分別為n方和1的問題，優(yōu)先考慮空間換時間
-在遍歷的同時，記錄一些信息，以省去一層循環(huán)，這是“以空間換時間"的想法
-需要記錄已經(jīng)遍歷過的數(shù)值和它所對應(yīng)的下標(biāo)，可以借助查找表實(shí)現(xiàn)
-查找表有兩個常用的實(shí)現(xiàn):
·哈希表
·平衡二叉搜索樹

因為不需要維護(hù)結(jié)果的順序，因此使用哈希表

本質(zhì)上，此問題是尋找target - x是否存在于數(shù)組中，暴力解法的問題就在于尋找target-x的時間復(fù)雜度太高，剛好哈希表查找的復(fù)雜度是o(1)

我犯了一個錯誤，雖然是找target-x, 但不是將target-x存到哈希表中，而是將數(shù)組中的元素逐個存到哈希表中。極端一點(diǎn)，我可以先將數(shù)組的元素使用哈希表存儲，再遍歷數(shù)組尋找target-x

程序上需要注意的是需要使用高級程序語言提供的哈希表，不需要自己構(gòu)建哈希表
哈希表的使用
簡單介紹哈希表：
哈希表是基于鍵、值對存儲的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，底層一般采用的是列表(數(shù)組)
使用除留余數(shù)法確定數(shù)據(jù)在哈希表中的位置，需要選擇一個p，對P取余。P還決定了哈希表的長度，P要盡可能的原理2的冪
使用線性探測法處理沖突，比如兩個數(shù)的哈希值相等，a占據(jù)位置之后，b以1為單位向后順延

對于python，字典就是哈希表
enumerate()返回的是一個引用類型的變量，打印出來是這個變量的地址，屬于enumerate類，需要類型轉(zhuǎn)換為list.每個元素的順序是，(下標(biāo)，元素)

2.1.2 兩個數(shù)組的交集

分析：很容易得出，目標(biāo)是求出同時在兩個數(shù)組的元素，且這個元素唯一

我最開始認(rèn)為只需要將一個數(shù)組哈希化，但這樣處理重復(fù)元素就很麻煩了。除非把a(bǔ)ns數(shù)組也給哈希化，這樣在推入一個新的交集元素之前才能以O(shè)(1)的性能判斷該交集元素是否已經(jīng)存在于ans. 哈希化的過程除了統(tǒng)計元素之外，也同時可以去除重復(fù)元素

2.1.3 日志速率限制器

又重新想了一下什么叫每x秒一次，從數(shù)值上來說，如果t發(fā)生了，那么下一次發(fā)生在t+x，這就是每x秒一次

2.2 最長公共前綴

編寫一個函數(shù)來查找字符串?dāng)?shù)組中的最長公共前綴。

如果不存在公共前綴，返回空字符串 “”。

法一：橫向掃描
依次遍歷字符串?dāng)?shù)組中的每個字符串，對于每個遍歷到的字符串，更新最長公共前綴，當(dāng)遍歷完所有的字符串以后，即可得到字符串?dāng)?shù)組中的最長公共前綴。

第一個字符串就作為最長公共前綴，再去遍歷下一個字符串，更新最長公共前綴。一直迭代下去
時間：0(mn)

法二：縱向掃描
同上
這種方法最符合我的思考習(xí)慣

法三：分治法
法四：二分查找

2.3 KMP

2.3.1 實(shí)現(xiàn) strStr()

題目：實(shí)現(xiàn) strStr() 函數(shù)。

給你兩個字符串 haystack 和 needle ，請你在 haystack 字符串中找出 needle 字符串出現(xiàn)的第一個位置（下標(biāo)從 0 開始）。如果不存在，則返回 -1 。

法一：暴力解法
思路很明確，雙層循環(huán)。遍歷主串的每一位，每訪問到某一位時，遍歷副串的每一位。只要有一個不對，退出內(nèi)層循環(huán)

法二：KMP
以后再說

2.4 二分查找

前言

終止條件while l<=r, 為什么是小于等于？？？
A：
（1）對于偶數(shù)長度序列，當(dāng)查找第一或者倒數(shù)第一個元素時，會出現(xiàn)l=r的情況，此時l或者r指向的元素就是target
（2）對于奇數(shù)長度序列，當(dāng)查找第二個或者倒數(shù)第二個元素時，同上
由此需要將中止條件設(shè)為while l<=r

2.4.1 搜索插入位置

題目：給定一個排序數(shù)組和一個目標(biāo)值，在數(shù)組中找到目標(biāo)值，并返回其索引。如果目標(biāo)值不存在于數(shù)組中，返回它將會被按順序插入的位置。

請必須使用時間復(fù)雜度為 O(log n) 的算法。

在一個有序數(shù)組中進(jìn)行按值查找

這二分查找做下來，感覺處理邊界不是很清晰

比如說退出循環(huán)的條件是left <= right,為什么后面返回left的值就可以了，left的值表示的是索引，不是數(shù)組下標(biāo)

在不同情況下，究竟是在target<nums[mid]返回left,還是target>nums[mid]返回left
這些問題都需要解決

2.4.2 Sqrt(x)

題目：給你一個非負(fù)整數(shù) x ，計算并返回 x 的 算術(shù)平方根 。

由于返回類型是整數(shù)，結(jié)果只保留 整數(shù)部分 ，小數(shù)部分將被 舍去 。

注意：不允許使用任何內(nèi)置指數(shù)函數(shù)和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

由于 xx 平方根的整數(shù)部分 \textit{ans}ans 是滿足 k^2 \leq xk
2
≤x 的最大 kk 值，因此我們可以對 kk 進(jìn)行二分查找，從而得到答案。

二分查找的下界為 0，上界可以粗略地設(shè)定為 xx。在二分查找的每一步中，我們只需要比較中間元素 mid 的平方與 xx 的大小關(guān)系，并通過比較的結(jié)果調(diào)整上下界的范圍。由于我們所有的運(yùn)算都是整數(shù)運(yùn)算，不會存在誤差，因此在得到最終的答案 ans 后，也就不需要再去嘗試ans + 1

一般來說，二分查找的結(jié)果由mid來表示，之前找插入位置那個問題返回left是因為插入的位置不是mid的位置，而是left的位置

2.4.2 有效的完全平方數(shù)

一開始還沒有意識到這是個查找問題，只是想到將原來的乘法問題轉(zhuǎn)換成乘法問題，但本質(zhì)上還是要找出一個符合條件的結(jié)果

一直以來對于二分查找不是特別熟悉

left <= right???
A：這是因為序列長度可能是奇數(shù)或者偶數(shù)，當(dāng)left > right，對上述兩種情況，循環(huán)都應(yīng)該結(jié)束

mid的更新方式？？？
A：有兩種。一般使用的是left + (right - low) / 2, 但實(shí)際上稍微合并一下就是第二種形式，(left + right) / 2

結(jié)果在哪里？？？？
A：一般情況下，left指針表示最終的結(jié)果

2.4.3 第一個錯誤的版本

題目：你是產(chǎn)品經(jīng)理，目前正在帶領(lǐng)一個團(tuán)隊開發(fā)新的產(chǎn)品。不幸的是，你的產(chǎn)品的最新版本沒有通過質(zhì)量檢測。由于每個版本都是基于之前的版本開發(fā)的，所以錯誤的版本之后的所有版本都是錯的。

假設(shè)你有 n 個版本 [1, 2, …, n]，你想找出導(dǎo)致之后所有版本出錯的第一個錯誤的版本。

你可以通過調(diào)用 bool isBadVersion(version) 接口來判斷版本號 version 是否在單元測試中出錯。實(shí)現(xiàn)一個函數(shù)來查找第一個錯誤的版本。你應(yīng)該盡量減少對調(diào)用 API 的次數(shù)。

分析：
第一時間想到了二分查找，同時更新指針的依據(jù)要調(diào)整。就兩句話：

正確版本之前的版本全部正確

錯誤版本之后的版本全部錯誤

不過，mid的值的計算我不太熟悉，又搞錯了,以low指針的值作為base
mid = (high - low) // 2 + low

2.5 存在重復(fù)元素2

題目：給定一個整數(shù)數(shù)組和一個整數(shù) k，判斷數(shù)組中是否存在兩個不同的索引 i 和 j，使得 nums [i] = nums [j]，并且 i 和 j 的差的 絕對值 至多為 k。

分析：
下標(biāo)之差在K以內(nèi)的重復(fù)元素。等價于在長度為K+1的數(shù)組里存在重復(fù)元素。但是是否需要

原理很簡單，但寫成程序卻很巧妙不容易想到

我之前的想法是每次向字典加入長度為K+1的元素，但是這里采用了一種類似于滾動的效果，先逐步加入元素，每次加入都要進(jìn)行一次比較
當(dāng)i <= k時，字典的長度從0 增長到k+1，每次增加元素都要判斷是否存在重復(fù)

當(dāng)i = k+1時，字典長度變?yōu)?k + 2, 為了維持窗口的長度，移除一個元素，移除元素的key對應(yīng)于原數(shù)組的小標(biāo) i-k-1，然后比較此時的i是否存在重復(fù)。除i以外的元素前面已經(jīng)比較過了，一定不存在重復(fù)。

三.數(shù)論相關(guān)

前言

對于一個大數(shù)，直接處理往往是很復(fù)雜的。通常，使用因式分解對大數(shù)進(jìn)行拆分，對每一個質(zhì)因數(shù)進(jìn)行處理

自然數(shù)通常可以寫成質(zhì)因數(shù)相乘的形式

3.1 快速冪

https://blog.csdn.net/qq_19782019/article/details/85621386

這篇文章有非常詳細(xì)地推導(dǎo)過程，最終給出了一個非常簡單的結(jié)論：

最后求出的冪結(jié)果實(shí)際上就是在變化過程中所有當(dāng)指數(shù)為奇數(shù)時底數(shù)的乘積

PS：需要注意的一點(diǎn)是，為了能夠統(tǒng)一算法，也就是核心思想就是每一步都把指數(shù)分成兩半，而相應(yīng)的底數(shù)做平方運(yùn)算，分兩種情況處理：

當(dāng)指數(shù)為偶數(shù)時，指數(shù)減半，底數(shù)平方

當(dāng)指數(shù)為奇數(shù)時，抽出一個底數(shù)的一次方，另外一部分按照情況1處理

3.3 反轉(zhuǎn)

3.3.1 整數(shù)反轉(zhuǎn)（非常重要，涉及溢出）

題目：給你一個 32 位的有符號整數(shù) x ，返回將 x 中的數(shù)字部分反轉(zhuǎn)后的結(jié)果。如果反轉(zhuǎn)后整數(shù)超過 32 位的有符號整數(shù)的范圍 [?$2^{31}$, $2^{31}$ ? 1] ，就返回 0。假設(shè)環(huán)境不允許存儲 64 位整數(shù)（有符號或無符號）

像反轉(zhuǎn)類的問題，可以馬上想到使用棧來存儲整數(shù)的每一位。當(dāng)然也可以不增加棧這一額外的空間，無論怎樣，反轉(zhuǎn)問題都涉及到兩個專業(yè)名詞，【彈出】， 【推入】

即將整數(shù)當(dāng)前的最后一位彈出整數(shù)，再推入反轉(zhuǎn)數(shù)
其表達(dá)式也非常熟悉了：

取模的時候涉及到另外一個問題，負(fù)數(shù)的取模和取余
我熟悉的是兩個整數(shù)，取模和取余的結(jié)果是一樣的，余數(shù)是在除數(shù)范圍內(nèi)，比較符合直覺。兩個負(fù)數(shù)，符號約掉了

當(dāng)符號不一致的時候，高級程序語言就有一些設(shè)定，求模運(yùn)算c = -2(向負(fù)無窮方向舍入)，求余運(yùn)算則c = -1(向0方向舍入)a = -7；b = 4， 求模時r = 1，求余時r = -3
當(dāng)符號不一致時，結(jié)果不一樣。求模運(yùn)算結(jié)果的符號和b（除數(shù)）一致，求余運(yùn)算結(jié)果的符號和a（被除數(shù)）一致
經(jīng)過測試，在C/C++, C#, JAVA, PHP這幾門主流語言中，%運(yùn)算符都是做取余運(yùn)算，而在python中的%是做取模運(yùn)算

取模：商向負(fù)無窮方向，余數(shù)符號和除數(shù)一致
取余：商向0方向，余數(shù)符號和被除數(shù)一致

python確實(shí)特別，尤其是在本題的場景下，如果x<0，那么余數(shù)為正，顯然是無法反映x的最后一位數(shù)字，需要利用算式新余數(shù) = 余數(shù) - 除數(shù) 來計算新的余數(shù)。負(fù)數(shù)取余真的反直覺
python負(fù)數(shù)的取模和整除都需要特別注意，取模不像正數(shù)可以直接得到最后一位，整除會向下取整

還有一點(diǎn)就是負(fù)數(shù)的反轉(zhuǎn)，每次取最后一位都是取的負(fù)數(shù)，把推入的公式走一遍就清楚了

題目限制了反轉(zhuǎn)數(shù)字的上下限，推入操作可能會造成溢出問題。一方面是x10造成的溢出，一方面是加上彈出的那一個數(shù)字造成的溢出
因此，在進(jìn)行推入之前，需要進(jìn)行兩方面的判斷，只要有一個部分造成溢出，那么就return
通過推導(dǎo)得到判斷是否溢出的條件：

3.3.2 回文數(shù)

題目：給你一個整數(shù) x ，如果 x 是一個回文整數(shù)，返回 true ；否則，返回 false 。

回文數(shù)是指正序（從左向右）和倒序（從右向左）讀都是一樣的整數(shù)。例如，121 是回文，而 123 不是。

解法一：將整數(shù)轉(zhuǎn)為字符串
只需要比較字符串的前半段和后半段是否一致即可，但是需要額外的存儲空間

解法二：將數(shù)字本身反轉(zhuǎn)
和之前反轉(zhuǎn)數(shù)字一樣，需要考慮溢出的問題

如果直接進(jìn)行反轉(zhuǎn)，很明顯會遇到溢出
于是可以通過只反轉(zhuǎn)一半的數(shù)字來規(guī)避這個問題，反轉(zhuǎn)問題是有序的，存在彈出和推入兩個操作，從數(shù)字的末端開始操作

迭代終止條件的選擇：
對于回文數(shù)而言，迭代過程中，右邊一半是一定小于左邊的，當(dāng)中間數(shù)字被推入右邊，那么右邊就會大于等于左邊，此時就可以終止
回文數(shù)一定是要等到處理中間位置的數(shù)字時才可以進(jìn)行判斷

相較于整數(shù)反轉(zhuǎn)，不需要處理負(fù)數(shù)取模確實(shí)簡單了不少

3.3.3 回文排列

題目：給定一個字符串，判斷該字符串中是否可以通過重新排列組合，形成一個回文字符串。

分析：需要分析回文序列的特點(diǎn)，在本問題上也就是單詞頻率
奇數(shù)序列：頻率中只有一個是奇數(shù)頻率
偶數(shù)序列：頻率中全部是偶數(shù)頻率

3.4 映射規(guī)則

3.4.1 羅馬字符轉(zhuǎn)數(shù)字

需要建立一張轉(zhuǎn)換表
其次，因為存在4,9等特殊情況，從左到右掃描字符串，判斷當(dāng)前字符和下一位字符代表數(shù)字的大小關(guān)系
其他情況，從左到右相加即可

3.4.2 同構(gòu)字符串

題目：給定兩個字符串 s 和 t，判斷它們是否是同構(gòu)的。

如果 s 中的字符可以按某種映射關(guān)系替換得到 t ，那么這兩個字符串是同構(gòu)的。

每個出現(xiàn)的字符都應(yīng)當(dāng)映射到另一個字符，同時不改變字符的順序。不同字符不能映射到同一個字符上，相同字符只能映射到同一個字符上，字符可以映射到自己本身。

解法：使用兩個哈希表維護(hù)兩個字符串的雙射關(guān)系

3.4.3 單詞規(guī)律

題目：給定一種規(guī)律 pattern 和一個字符串 str ，判斷 str 是否遵循相同的規(guī)律。

這里的 遵循 指完全匹配，例如， pattern 里的每個字母和字符串 str 中的每個非空單詞之間存在著雙向連接的對應(yīng)規(guī)律。

分析：
這題干真抽象。不給示例根本看不懂。其實(shí)就是判斷字符與字符串之間是否恰好對應(yīng)
簡單說就是在兩個哈希表中需要形成這樣的關(guān)系，a:b, b:a, 必須同時滿足

3.5 大數(shù)運(yùn)算

3.5.1 加1

題目：給定一個由 整數(shù) 組成的 非空 數(shù)組所表示的非負(fù)整數(shù)，在該數(shù)的基礎(chǔ)上加一。

最高位數(shù)字存放在數(shù)組的首位， 數(shù)組中每個元素只存儲單個數(shù)字。

你可以假設(shè)除了整數(shù) 0 之外，這個整數(shù)不會以零開頭。

需要注意的是，此問題只進(jìn)行加1操作，因此發(fā)生進(jìn)位的情況很有限
1.全為9，那么最前面進(jìn)一位，后面全改0
2.找到9之前第一個非9元素，進(jìn)一位，非9元素后面全改0。此時，非9元素后面一定是全為9的

情況2涵蓋了9零散或者連續(xù)分布的情況

3.5.2 二進(jìn)制求和

題目：給你兩個二進(jìn)制字符串，返回它們的和（用二進(jìn)制表示）。

輸入為 非空 字符串且只包含數(shù)字 1 和 0。

主要是實(shí)現(xiàn)加法的機(jī)制：
carry表示進(jìn)位的值，比如說十進(jìn)制里邊，9+1進(jìn)位為1，那么carry = 1.
對齊末位，每一位的計算結(jié)果為carry + a[i] + b[i] % 2，這個2表示進(jìn)行的2進(jìn)制運(yùn)算。每一位計算的進(jìn)位為carry + a[i] + b[i] // 2.這就是加法運(yùn)算的核心

另外有兩點(diǎn)，對齊末位，在程序中通過反轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)
兩個加數(shù)不一定同樣長，采取高位補(bǔ)0

3.5.3 階乘后的零

題目：給定一個整數(shù) n ，返回 n! 結(jié)果中尾隨零的數(shù)量。

提示 n! = n * (n - 1) * (n - 2) * … * 3 * 2 * 1

解法：
對于任意一個 n! 而言，其尾隨零的個數(shù)取決于展開式中 1010 的個數(shù)，而 10可由質(zhì)因數(shù) 2 * 5 而來，因此 n!的尾隨零個數(shù)為展開式中各項分解質(zhì)因數(shù)后「2的數(shù)量」和「5的數(shù)量」中的較小值。

3.6 快樂數(shù)

題目：編寫一個算法來判斷一個數(shù) n 是不是快樂數(shù)。

「快樂數(shù)」定義為：

對于一個正整數(shù)，每一次將該數(shù)替換為它每個位置上的數(shù)字的平方和。
然后重復(fù)這個過程直到這個數(shù)變?yōu)?1，也可能是 無限循環(huán) 但始終變不到 1。
如果 可以變?yōu)?1，那么這個數(shù)就是快樂數(shù)。
如果 n 是快樂數(shù)就返回 true ；不是，則返回 false 。

解法：這個題很有意思
據(jù)分析，有三種可能的情況：

通過上面的表格可以看出，4位及以上的數(shù)字通過操作會變回三位數(shù)，再操作一次就落到243以內(nèi)，也就是說最壞的情況下，算法可能會在 243 以下的所有數(shù)字上循環(huán)，然后回到它已經(jīng)到過的一個循環(huán)或者回到 1，不會無止境的變大

也就是說序列不是成環(huán)就是變成1的循環(huán)

之前我們做過循環(huán)鏈表的判定，可以使用雙指針法（快慢）來判斷是否成環(huán)。區(qū)別在于，循環(huán)鏈表在判斷之前已經(jīng)存在，本題需要在生成序列的過程中判斷是否成環(huán)
或者說本題不需要生成序列，因為后面的節(jié)點(diǎn)由前面的節(jié)點(diǎn)生成，只需要更新雙指針的值即可。

3.7 素數(shù)

3.7.1 計數(shù)素數(shù)

經(jīng)典的素數(shù)篩問題哈

首先是素數(shù)的定義，在正整數(shù)范圍內(nèi)，大于1并且只能被1和自身整除的數(shù)

法一：遍歷 2-n-1的所有數(shù)，看n是否能被整除
法二：對法一的范圍進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化到 2-sqrt(n)的范圍

PS：從法三開始，需要準(zhǔn)備一個數(shù)組，保存i是否為素數(shù)的結(jié)果，默認(rèn)全為素數(shù)。從法三開始，將法一法二的除法問題，變成了從小至大的乘法問題

官方解釋
法三：埃氏篩
前兩種方法求解每個數(shù)是否是質(zhì)數(shù)的操作都是獨(dú)立的，存在大量重復(fù)計算。該問題的基本開銷在于判斷一個數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，時間復(fù)雜度基于總共需要做多少次這樣的操作
埃氏篩基于這樣一個事實(shí)，如果 x是質(zhì)數(shù)，那么大于 x的 x的倍數(shù) 2x,3x, 一定不是質(zhì)數(shù)。
介紹什么是合數(shù)：

因此，我們設(shè)isPrime[i]表示數(shù) i 是不是質(zhì)數(shù)，如果是質(zhì)數(shù)則為1，否則為0。從小到大遍歷每個數(shù)，如果這個數(shù)為質(zhì)數(shù)，則將其所有的倍數(shù)都標(biāo)記為合數(shù)(除了該質(zhì)數(shù)本身)，即0，這樣在運(yùn)行結(jié)束的時候我們即能知道質(zhì)數(shù)的個數(shù)。

法四：優(yōu)化了法三標(biāo)記合數(shù)的起點(diǎn)，法三從2x開始，實(shí)際上應(yīng)該從xx開始標(biāo)記合數(shù)。因為比x小的因數(shù)一定在之前就標(biāo)記過了。比如74，這一看47是不存在的，因為4不是質(zhì)數(shù)，但是4是合數(shù)，可變形為2*14，這就肯定標(biāo)記過了

法五：線性篩\歐拉篩
按照法三的方法，45可以寫成315或者59，他們顯然是相等的，符合法三要求的在x*x之后，但是這屬于冗余的操作

在邏輯上有很大的改動：
（1）單獨(dú)維護(hù)一個數(shù)組，只存儲已經(jīng)篩出的素數(shù)
（2）標(biāo)記合數(shù)要針對每一個數(shù)，只標(biāo)記質(zhì)數(shù)集合中每個元素與 x相乘的結(jié)果，

說實(shí)話，這個流程一走下來，我立馬就想到了DP，果然可以使用dp的思想

基于DP
法六：

3.8 各位相加

題目：給定一個非負(fù)整數(shù) num，反復(fù)將各個位上的數(shù)字相加，直到結(jié)果為一位數(shù)。

分析：這是之前數(shù)字反轉(zhuǎn)問題的進(jìn)階版，數(shù)字反轉(zhuǎn)需要掌握每一位的推入和彈出。

官方給了一種魔法般地數(shù)學(xué)解釋，只能說牛逼

3.9 丑數(shù)

題目：丑數(shù) 就是只包含質(zhì)因數(shù) 2、3 和 5 的正整數(shù)。

給你一個整數(shù) n ，請你判斷 n 是否為 丑數(shù) 。如果是，返回 true ；否則，返回 false 。

分析：

首先，在大數(shù)運(yùn)算上，將大數(shù)表示成冪的乘積的形式非常普遍，這是一個重要思路。另外，在程序上，n反復(fù)除以2,3，5是我一開始沒想到的
while n % factor == 0:
n //= factor

四.棧

4.1 有效的括號

題目：給定一個只包括 ‘(’，‘)’，‘{’，‘}’，‘[’，‘]’ 的字符串 s ，判斷字符串是否有效。

有效字符串需滿足：

左括號必須用相同類型的右括號閉合。
左括號必須以正確的順序閉合。

特殊情況：空字符串在題干要求下為真

觀察字符串，左右括號是不會混亂排列的，最右邊的左括號最先匹配，最左邊的右括號最先匹配。后入先出的這種模式就可以使用棧這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

五.線性表和鏈表

前言

模式識別：需要移動左右兩頭的問題可以考慮雙指針

5.1 指針

前言：雙指針問題需要考慮清楚兩個指針分別在什么情況下移動，怎樣移動。fast指針會將每個元素都遍歷到，因此就不要考慮slow指針是否也要判斷元素，不需要，slow指針只表示位置

5.1.1 合并兩個有序鏈表

題目：將兩個升序鏈表合并為一個新的 升序 鏈表并返回。新鏈表是通過拼接給定的兩個鏈表的所有節(jié)點(diǎn)組成的。

很容易想到，使用雙指針法來解決，但不想線性表，鏈表要求不增加額外的存儲空間

特殊情況：一個鏈表為空的情況

在處理鏈表問題時，總是增加一個頭結(jié)點(diǎn)來統(tǒng)一插入、刪除等操作，這樣在處理邊界的時候可以更方便，不需要額外的代碼

這里需要自己定義鏈表結(jié)點(diǎn)這一數(shù)據(jù)機(jī)構(gòu)

雙指針法的核心思路是：永遠(yuǎn)只比較兩個指針?biāo)赶虻脑?#xff0c;結(jié)果符合要求的那個指針向后移動

5.1.1 合并兩個有序數(shù)組

題目：給你兩個按 非遞減順序 排列的整數(shù)數(shù)組 nums1 和 nums2，另有兩個整數(shù) m 和 n ，分別表示 nums1 和 nums2 中的元素數(shù)目。

請你 合并 nums2 到 nums1 中，使合并后的數(shù)組同樣按 非遞減順序 排列。

注意：最終，合并后數(shù)組不應(yīng)由函數(shù)返回，而是存儲在數(shù)組 nums1 中。為了應(yīng)對這種情況，nums1 的初始長度為 m + n，其中前 m 個元素表示應(yīng)合并的元素，后 n 個元素為 0 ，應(yīng)忽略。nums2 的長度為 n 。

在解法上，雙指針法已經(jīng)非常熟悉了。針對本題，因為數(shù)組1預(yù)留了包函數(shù)組2的存儲空間，所以采用從后往前掃描的雙指針法可以不增加額外的存儲空間

注意，雙指針法那個指針符合條件，那個指針才移動

嚴(yán)格來說，上述反向進(jìn)行的遍歷需要3個指針

5.1.2 刪除排序數(shù)組中的重復(fù)項

題目：給你一個有序數(shù)組 nums ，請你 原地 刪除重復(fù)出現(xiàn)的元素，使每個元素 只出現(xiàn)一次 ，返回刪除后數(shù)組的新長度。

不要使用額外的數(shù)組空間，你必須在 原地 修改輸入數(shù)組 并在使用 O(1) 額外空間的條件下完成。

法一：
對于有序數(shù)組，如果允許額外存儲，那么可以直接遍歷數(shù)組，只通過相鄰兩個元素的比較結(jié)果進(jìn)行操作，不同則記錄，相同則跳過

但不允許額外存儲的條件下呢？

設(shè)置快慢指針，慢指針負(fù)責(zé)指出可覆蓋位置，快指針負(fù)責(zé)遍歷數(shù)組

從下標(biāo)為1的位置開始比較是因為，如果重復(fù)，至少是從下標(biāo)為1的位置開始覆蓋。另外，比較相鄰元素取的是通過后一個元素與前一個元素比較，也就是fast 和 fast-1比較

同時，這樣的設(shè)計背景下，慢指針是可以充當(dāng)新數(shù)組的長度，也就是遍歷原數(shù)組slow長度即是沒有重復(fù)元素的新數(shù)組

特殊的，需要考慮數(shù)組長度為0的情況

5.1.2 刪除排序鏈表中的重復(fù)元素

題目：存在一個按升序排列的鏈表，給你這個鏈表的頭節(jié)點(diǎn) head ，請你刪除所有重復(fù)的元素，使每個元素 只出現(xiàn)一次 。

返回同樣按升序排列的結(jié)果鏈表。

相較于數(shù)組，刪除重復(fù)元素之后需要覆蓋，對于鏈表只需要重新鏈接即可，也不需要頭結(jié)點(diǎn)來統(tǒng)一操作

不要怕鏈表的這些操作

5.1.3 移除元素

題目：給你一個數(shù)組 nums 和一個值 val，你需要 原地 移除所有數(shù)值等于 val 的元素，并返回移除后數(shù)組的新長度。

不要使用額外的數(shù)組空間，你必須僅使用 O(1) 額外空間并 原地 修改輸入數(shù)組。

元素的順序可以改變。你不需要考慮數(shù)組中超出新長度后面的元素。

法一：
還是使用5.1.2的方法，由fast指針遍歷數(shù)組，如果該元素不是目標(biāo)，則寫到slow的位置，slow和fast都向前移動
否則，fast向前移動

這一方法我覺得別扭的地方在于，假設(shè)有連續(xù)的元素都不是目標(biāo)，但是還是需要寫一遍。可以這樣，判斷fast和slow是否相等，實(shí)際上只要出現(xiàn)一次目標(biāo),fast和slow必發(fā)生錯位

法二:
產(chǎn)生的背景是，如果要移除的元素恰好在數(shù)組的開頭，可以直接將最后一個元素 55 移動到序列開頭，取代元素 1
這個優(yōu)化在序列中val 元素的數(shù)量較少時非常有效

此方法，雙指針在一次循環(huán)中只有一個指針會發(fā)生移動，由left遍歷數(shù)組，如果發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，right向左移動，left不動
否則，沒發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，left向右移動

這樣感覺就消除了前面非目標(biāo)連續(xù)元素的問題

5.1.4 驗證回文串

題目：給定一個字符串，驗證它是否是回文串，只考慮字母和數(shù)字字符，可以忽略字母的大小寫。

說明：本題中，我們將空字符串定義為有效的回文串。

法一：反轉(zhuǎn)字符串

字符串里面可能有空格，標(biāo)點(diǎn)符號，他并不是簡單地abba這種形式

因為涉及到兩個指針的移動，極端情況下指針會移動到串尾，因此每次移動完之后都需要判斷指針位置是否符合條件

5.1.5 環(huán)形鏈表

題目：給定一個鏈表，判斷鏈表中是否有環(huán)。

如果鏈表中有某個節(jié)點(diǎn)，可以通過連續(xù)跟蹤 next 指針再次到達(dá)，則鏈表中存在環(huán)。 為了表示給定鏈表中的環(huán)，我們使用整數(shù) pos 來表示鏈表尾連接到鏈表中的位置（索引從 0 開始）。 如果 pos 是 -1，則在該鏈表中沒有環(huán)。注意：pos 不作為參數(shù)進(jìn)行傳遞，僅僅是為了標(biāo)識鏈表的實(shí)際情況。

如果鏈表中存在環(huán)，則返回 true 。 否則，返回 false 。

解法：雙指針法
利用快慢指針，慢指針一次走一步，快指針一次走兩步
比較反直覺的一點(diǎn)是，快指針有可能會超過慢指針，但總會相遇在同一個位置

如果說不存在環(huán)，則快指針一定先到達(dá)鏈表尾部，要么本身為空，要么next為空

5.1.6 回文鏈表

分析：我選擇最簡單的一種方式，把節(jié)點(diǎn)的值取出來，就等價于處理回文數(shù)組了，經(jīng)典的雙指針法

實(shí)際上，可以直接使用快慢指針法，但是要麻煩許多
1.通過快慢指針的慢指針將鏈表后半段反轉(zhuǎn)
2.判斷是否回文
3.通過快指針恢復(fù)鏈表

5.1.7 刪除鏈表中的節(jié)點(diǎn)

題目：請編寫一個函數(shù)，用于 刪除單鏈表中某個特定節(jié)點(diǎn) 。在設(shè)計函數(shù)時需要注意，你無法訪問鏈表的頭節(jié)點(diǎn) head ，只能直接訪問 要被刪除的節(jié)點(diǎn) 。

題目數(shù)據(jù)保證需要刪除的節(jié)點(diǎn) 不是末尾節(jié)點(diǎn) 。

分析：可惜，沒有注意到待刪除節(jié)點(diǎn)不是末尾結(jié)點(diǎn)
先將待刪除節(jié)點(diǎn)的val變成下一個節(jié)點(diǎn)的val，再刪除下一個節(jié)點(diǎn)。鏈表節(jié)點(diǎn)的信息也就兩個嘛，val和next

5.2 最后一個單詞的長度

題目：給你一個字符串 s，由若干單詞組成，單詞前后用一些空格字符隔開。返回字符串中最后一個單詞的長度。

單詞 是指僅由字母組成、不包含任何空格字符的最大子字符串。

反向遍歷即可

因為題干已經(jīng)說明，字符串至少含有一個單詞，也就不需要考慮沒有單詞的情況

5.3 雙指針

5.3.1 相交鏈表

題目：給你兩個單鏈表的頭節(jié)點(diǎn) headA 和 headB ，請你找出并返回兩個單鏈表相交的起始節(jié)點(diǎn)。如果兩個鏈表沒有交點(diǎn)，返回 null 。

圖示兩個鏈表在節(jié)點(diǎn) c1 開始相交：

題目數(shù)據(jù) 保證 整個鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)中不存在環(huán)。

注意，函數(shù)返回結(jié)果后，鏈表必須 保持其原始結(jié)構(gòu) 。

解法：雙指針

雙指針的更新策略非常巧妙，如果能讓兩個指針齊頭并進(jìn)，那么他們一定能同時到達(dá)相交點(diǎn)。但是兩個單鏈表的長度不一樣

但是，兩個鏈表共享其中一段，只有交點(diǎn)前面一段不一樣。如果說一個指針走過自己這一段，再走另一個指針走的那一段，以交點(diǎn)為界，那么總體來講，兩個指針就走過了相等的長度

5.3.2 反轉(zhuǎn)鏈表

題目：給你單鏈表的頭節(jié)點(diǎn) head ，請你反轉(zhuǎn)鏈表，并返回反轉(zhuǎn)后的鏈表。

解析：嚴(yán)格來說應(yīng)該是3個指針，需要同時記錄當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，前一節(jié)點(diǎn)，后一節(jié)點(diǎn)的地址，也就是鏈表操作中的“先連后斷”, 連接之后再更新指針

5.3.3 匯總區(qū)間

題目：給定一個無重復(fù)元素的有序整數(shù)數(shù)組 nums 。

返回 恰好覆蓋數(shù)組中所有數(shù)字 的 最小有序 區(qū)間范圍列表。

nums = [0,1,2,4,5,7]
[“0->2”,“4->5”,“7”]

分析：經(jīng)典的雙指針法。重點(diǎn)是找到high的位置。判斷條件在題干中分析可以得出。low和high分別指向區(qū)間的左右。

5.3.4 會議室

題目：給定一個會議時間安排的數(shù)組 intervals ，每個會議時間都會包括開始和結(jié)束的時間 intervals[i] = [starti, endi] ，請你判斷一個人是否能夠參加這里面的全部會議。

分析：核心在于判斷區(qū)間是否有重疊。重點(diǎn)是要先進(jìn)行排序，笑死

5.3.5 移動零

題目：給定一個數(shù)組 nums，編寫一個函數(shù)將所有 0 移動到數(shù)組的末尾，同時保持非零元素的相對順序。

分析：數(shù)組要進(jìn)行元素的按值移動還是比較困難的。使用雙指針法處理，要對兩個指針的功能和操作定義清楚
left: 左邊為非零數(shù)，一直指向已處理好的序列的尾部
right: 左邊直至left為止，為0，一直指向待處理序列的頭部

什么是處理好的？？不含0
什么是待處理的？？含0

總的來說，就是將left的0與right的非0進(jìn)行交換，left找0，right找非0

這樣說還是挺抽象的，具象一點(diǎn)：

遇到非0，兩個指針均向前移動。很好理解，因為left沒有找到0，所以就沒有和right交換的需要

遇到0，right右移。這就說明，left找到了0，right需要去找下面第一個非0

經(jīng)過情況2之后，如果right找到了非0，此時就應(yīng)該交換left和right的值

我一直覺得別扭的地方在于，如果從一開始直接遇到情況1，不就意味著left和right都指向同一個元素嗎？？他們有必要進(jìn)行交換嗎？？
A：這是一種必要的開銷。只要進(jìn)行過一次0的移動，left和right必然會錯開。當(dāng)然，如果從開頭就是連續(xù)的非0，那么left和right的確會發(fā)生看起來沒必要的交換

5.4 棧和隊列

5.4.1 用隊列實(shí)現(xiàn)棧

題目：請你僅使用兩個隊列實(shí)現(xiàn)一個后入先出（LIFO）的棧，并支持普通棧的全部四種操作（push、top、pop 和 empty）。

分析：假設(shè)使用兩個隊列來模擬棧
入棧：隊列1存儲當(dāng)前的棧內(nèi)元素，并是指指針指向隊首元素；隊列2存儲即將入棧的元素
將隊列1的元素出隊列1，入隊列2，并交換兩個隊列以維持上述的定義，更新指針
其他操作基于隊列1完成即可，主要就是通過兩個隊列實(shí)現(xiàn)入棧操作

5.4.3 用棧實(shí)現(xiàn)隊列

分析：同樣的序列分別推入棧和隊列，彈出序列恰好相反，那么將棧的彈出序列再推入另一個棧，再彈出，不就和隊列的彈出序列相同了嗎

基于這一點(diǎn)，可以維護(hù)兩個棧倆實(shí)現(xiàn)隊列的效果。棧1負(fù)責(zé)彈出，棧2負(fù)責(zé)推入。
出棧：如果棧1不空，則彈出棧頂元素；如果棧1為空，將棧2元素全部彈出并推入棧1，再彈出棧頂元素

5.5 區(qū)域和檢索 - 數(shù)組不可變

題目：給定一個整數(shù)數(shù)組 nums，求出數(shù)組從索引 i 到 j（i ≤ j）范圍內(nèi)元素的總和，包含 i、j 兩點(diǎn)。

實(shí)現(xiàn) NumArray 類：

NumArray(int[] nums) 使用數(shù)組 nums 初始化對象
int sumRange(int i, int j) 返回數(shù)組 nums 從索引 i 到 j（i ≤ j）范圍內(nèi)元素的總和，包含 i、j 兩點(diǎn)（也就是 sum(nums[i], nums[i + 1], … , nums[j])）

分析：當(dāng)數(shù)組確定，使用函數(shù)多次求解區(qū)間和是沒有必要的。每次求解區(qū)間和都需要遍歷，在初始化的時候可以一次性求出階梯和，階梯和通過裁切可以得到區(qū)間和

階梯和怎么求？？？
A：創(chuàng)建一個存儲階梯和的數(shù)組，先加入元素0，遍歷原數(shù)組，每次選擇一個元素和階梯和數(shù)組的[-1]位相加

六.動態(tài)規(guī)劃

6.1 最大子序列和

題目：給定一個整數(shù)數(shù)組 nums ，找到一個具有最大和的連續(xù)子數(shù)組（子數(shù)組最少包含一個元素），返回其最大和。

我的問題在于對狀態(tài)方程的定義，我的定義是：
f(i)表示到第i個元素為止的數(shù)組的最大子序和，由此寫出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是，f(i) = max( f[i-1], f[i-1] + nums[i] )

正確的定義是：
f(i) 代表以第 i 個數(shù)結(jié)尾的「連續(xù)子數(shù)組的最大和， 因此有
f(i)=max{f(i?1)+nums[i],nums[i]}

我的定義就不滿足連續(xù)子序列的連續(xù)，對于第i個元素，只有兩種狀態(tài)，要么被包含進(jìn)子序列，要么不被包含，自成一個序列。之所以只有兩種狀態(tài)，還是因為對f(i)的定義，必須要以第i個元素結(jié)尾

這也是我最迷惑的地方，子序列的位置是不固定的，這種不固定就導(dǎo)致有些反直覺。比如說對于數(shù)組[1,2,3,-4,5,6]。按照正確的定義，f(3)的最大子序和是2，但我總感覺應(yīng)該是6

我做了這樣一個嘗試，將數(shù)組[1,2,3,-4]按照上述兩種定義方式寫出求解f(i)時涉及到的子序列，我發(fā)現(xiàn)，按照我的定義，f[i-1] + nums[i] 不一定成立，因為f(i-1)表示的最大子序列的最后一個元素不一定是nums[i-1]
按照正確的定義，f(i?1)+nums[i] 和 nums[i] 確實(shí)能夠形成兩個連續(xù)的序列
寫出數(shù)組[1,2,3,-4]按照正確定義涉及到的連續(xù)子序列，我發(fā)現(xiàn)實(shí)際上它是包含了數(shù)組的所有連續(xù)子序列

我想應(yīng)該這樣總結(jié)，通過計算所有以第i個元素結(jié)尾的連續(xù)序列，最終我們就計算了全部的連續(xù)序列，進(jìn)而就可以求得其中和最大的連續(xù)序列

通過測試，不能將f(i-1)寫入狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，他的值總是最大的

6.2 爬樓梯

假設(shè)你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達(dá)樓頂。

每次你可以爬 1 或 2 個臺階。你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？

注意：給定 n 是一個正整數(shù)。

6.3 楊輝三角

題目：給定一個非負(fù)整數(shù) numRows，生成「楊輝三角」的前 numRows 行。

在「楊輝三角」中，每個數(shù)是它左上方和右上方的數(shù)的和。

生成楊輝三角的原理非常簡單，只是說一般分析是寫成等腰三角形，但寫成程序，就寫成直角三角形，以此來確定計算關(guān)系

6.4 楊輝三角2

思路同上，理解了如何生成楊輝三角即可

6.5 買賣股票的最佳時機(jī)

題目：給定一個數(shù)組 prices ，它的第 i 個元素 prices[i] 表示一支給定股票第 i 天的價格。

你只能選擇 某一天 買入這只股票，并選擇在 未來的某一個不同的日子 賣出該股票。設(shè)計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。

返回你可以從這筆交易中獲取的最大利潤。如果你不能獲取任何利潤，返回 0

解法：典型的動態(tài)規(guī)劃，在這個問題上，注意，只進(jìn)行一次交易


如果寫出如同分析“最大子序和”那樣的數(shù)對，感覺很難判斷是否包含了所有的選擇。在上面的分析中，對f(i)的定義實(shí)際上是前i-1個數(shù)中的最小值，當(dāng)然，硬要說的話，將其定義為到第i個數(shù)的最大收益也不是不行。主要是要想清楚最大收益產(chǎn)生于什么時候

6.6 買賣股票的最佳時機(jī)2

題目：給定一個數(shù)組 prices ，其中 prices[i] 是一支給定股票第 i 天的價格。

設(shè)計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你可以盡可能地完成更多的交易（多次買賣一支股票）。

注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

解析：這一次就能進(jìn)行多次交易，但是交易不能重疊
收集所有上行區(qū)段的利潤即可

6.7 比特位計數(shù)

題目：給你一個整數(shù) n ，對于 0 <= i <= n 中的每個 i ，計算其二進(jìn)制表示中 1 的個數(shù) ，返回一個長度為 n + 1 的數(shù)組 ans 作為答案。

分析：
對于2的冪，已經(jīng)知道可以通過x&(x-1)來判斷。要計算i的二進(jìn)制表示中1的個數(shù)，可以反復(fù)進(jìn)行與運(yùn)算。但是以前就知道 i 中1的個數(shù)和處于其之前的2的冪有關(guān)

那就可以使用DP的思想來處理，首先定義dp[i] 為數(shù)i的1的個數(shù)
實(shí)際上可以構(gòu)造這樣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
dp[i] = dp[i - 當(dāng)前最大2的冪] + dp[當(dāng)前最大2的冪]
dp[2的冪] 都為1，因此可以將上式表示為：
dp[i] = dp[i - 當(dāng)前最大2的冪] + 1

七. 樹

前言

先講講dfs，這個算法我接觸的比較早，算法思想也符合我的思維方式。但是具體到代碼層面，就和我的理解出現(xiàn)了偏差。
我的理解是，棧里面存的應(yīng)該是一條可回溯的路徑，比如說對于這樣一張無向圖

我認(rèn)為最開始棧里邊存的是A C D,從A開始按照規(guī)律向相連的最深處遍歷，當(dāng)D沒有相鄰邊之后，回溯到C，看C還有沒有未訪問的相鄰邊，再回溯到A
很明顯，對于每一個節(jié)點(diǎn)我們需要訪問到相鄰節(jié)點(diǎn)，如果暫時只取一個節(jié)點(diǎn)推入棧，那么應(yīng)該以什么方式選擇呢？等到回溯至此的時候，又以同樣的方式選擇一個節(jié)點(diǎn)推入棧嗎？可想而知有多混亂

我想我產(chǎn)生這種想法的理由是，我總是認(rèn)為棧里面應(yīng)該存dfs的路徑。但是是否可以這樣，通過棧頂元素的彈出來確定dfs的路徑呢？棧里面存儲節(jié)點(diǎn)，每次遍歷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的所有相鄰節(jié)點(diǎn)，推入沒有訪問過得節(jié)點(diǎn)，同時更新訪問數(shù)組，記錄已經(jīng)訪問的節(jié)點(diǎn)。所以棧里面沒有重復(fù)元素，都是唯一的，這樣也就保證了訪問不會重復(fù)

為什么這種方法可以達(dá)到dfs的效果？通過上述方法，相當(dāng)于每彈出一個節(jié)點(diǎn)，就會推入與之相鄰的未訪問節(jié)點(diǎn)。那么，彈出元素之間的關(guān)系就是層層向深處推進(jìn)的關(guān)系,a[i-1]和a[i]相鄰，a[i]和a[i+1]相鄰

stack數(shù)組是用來達(dá)到dfs的核心，visit數(shù)組是輔助stack,保證不重復(fù)

樹的遍歷區(qū)別于圖，我們對樹的遍歷的順序做了規(guī)范，先序中序后序。
如果說使用dfs思想遍歷二叉樹，將節(jié)點(diǎn)推入stack默認(rèn)順序為先左子樹再右子樹，那么遍歷順序就等價于“根右左”

關(guān)于遞歸回溯的理解

7.1 樹的遍歷

7.1.1 二叉樹的中序遍歷

題目：給定一個二叉樹的根節(jié)點(diǎn) root ，返回它的 中序 遍歷。

這是個老問題了，一般考慮使用遞歸，比較好理解
遞歸都可以改成迭代，也就是循環(huán)

兩種方式是等價的，區(qū)別在于遞歸的時候隱式地維護(hù)了一個棧，（一直朝左子樹的最深處,到時候要回退）而我們在迭代的時候需要顯式地將這個棧模擬出來，其他都相同

以回溯為重點(diǎn)考慮的話，是否可以這樣理解
1.root不空，則一直尋找最深的左子樹為空的節(jié)點(diǎn)
2.輸出這個節(jié)點(diǎn)，將其作為新的根
3.如果root的右子樹為空則回溯，即彈出棧頂元素如果root的右子樹不為空，則重復(fù)上述過程

但是在代碼層面并不會直接去判斷root的右子樹是否為空，核心代碼會先找最深、且左子樹為空的節(jié)點(diǎn)，然后將root更新為該節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)

感覺這塊有點(diǎn)亂，TNND

7.1.2 相同的樹

題目：判斷兩棵樹是否相同

既要進(jìn)行數(shù)值比較，又要進(jìn)行結(jié)構(gòu)比較

乍一看，似乎個圖算法用到bfs和dfs一樣，但是兩棵樹就需要用到兩個棧或者兩個隊列
dfs可以用遞歸來做，遞歸就需要遞歸出口和遞歸表達(dá)式
遞歸出口的范式一般是：如果…，返回…
如果兩個跟都為空則相同
如果其中一個為空則不同
如果兩個的值不等則不同
數(shù)值和結(jié)構(gòu)的比較都包含了

遞歸表達(dá)式基于樹的這種分形結(jié)構(gòu)，根比較完之后，就要確定左子樹和右子樹的情況

對于dfs的迭代版本，需要考慮循環(huán)條件，循環(huán)中何時退出。毫無疑問，只有整個迭代完成才能判斷兩棵樹相同

7.1.3 對稱二叉樹

題目：給定一個二叉樹，檢查它是否是鏡像對稱的。

總結(jié)一下，先序中序后序遍歷二叉樹通常使用遞歸來實(shí)現(xiàn)，本質(zhì)上使用的是dfs思想，遞歸隱式地維護(hù)了一個棧。之后“相同的樹”這一題也是用遞歸解決，那么實(shí)際上遞歸通過不同的結(jié)構(gòu)可以改變遍歷的順序

因此，熟悉遞歸的結(jié)構(gòu)就尤為重要

遞歸出口：考慮高度為2的二叉樹

根均為空，為真

一個根為空，為假

兩個根的值相同，樹A的左子樹和樹B的右子樹，樹A的右子樹和樹B的左子樹相等

這個問題和“相同的樹”比較類似

7.1.4 二叉樹的最大深度

題目：給定一個二叉樹，找出其最大深度。

二叉樹的深度為根節(jié)點(diǎn)到最遠(yuǎn)葉子節(jié)點(diǎn)的最長路徑上的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

還是可以沿用上述的dfs思想，如果我們知道了左子樹和右子樹的最大深度 l 和 r，那么該二叉樹的最大深度即為max(l,r)+1，而左子樹和右子樹的最大深度又可以以同樣的方式進(jìn)行計算。因此我們可以用「深度優(yōu)先搜索」的方法來計算二叉樹的最大深度。具體而言，在計算當(dāng)前二叉樹的最大深度時，可以先遞歸計算出其左子樹和右子樹的最大深度，然后在 O(1) 時間內(nèi)計算出當(dāng)前二叉樹的最大深度。遞歸在訪問到空節(jié)點(diǎn)時退出。

細(xì)品為何在root為空時返回0：明顯，root為空，這一層不存在，當(dāng)然返回0；但是root不為空，這一層肯定就是+1.所以總體來看它是一層一層進(jìn)行的計算

7.1.5 將有序數(shù)組轉(zhuǎn)換為二叉搜索樹

題目：給你一個整數(shù)數(shù)組 nums ，其中元素已經(jīng)按 升序 排列，請你將其轉(zhuǎn)換為一棵 高度平衡 二叉搜索樹。

高度平衡 二叉樹是一棵滿足「每個節(jié)點(diǎn)的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過 1 」的二叉樹。

法一：遞歸
首先是BST二叉搜索樹的定義，從節(jié)點(diǎn)的值的角度出發(fā)，根比左子樹的要大，比右子樹的要小

7.1.6 平衡二叉樹

題目：給定一個二叉樹，判斷它是否是高度平衡的二叉樹。

本題中，一棵高度平衡二叉樹定義為：

一個二叉樹每個節(jié)點(diǎn) 的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過 1 。

解法：不是要構(gòu)造平衡二叉樹。平衡二叉樹的定義是，任意結(jié)點(diǎn)的左右子樹的高度差不超過1
仍然是用遞歸的方式，核心在于如何判斷是否平衡

如果節(jié)點(diǎn)為空，則平衡

左右子樹的高度差不超過1，且左子樹，右子樹也都是平衡二叉樹

第二點(diǎn)不容易想到

7.1.7 二叉樹的最小深度

題目：給定一個二叉樹，找出其最小深度。

最小深度是從根節(jié)點(diǎn)到最近葉子節(jié)點(diǎn)的最短路徑上的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

說明：葉子節(jié)點(diǎn)是指沒有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)。

又是一個基于DFS，使用遞歸完成的問題

遞歸出口有3個：

根節(jié)點(diǎn)為空

根節(jié)點(diǎn)沒有子樹

根節(jié)點(diǎn)有子樹，返回當(dāng)前的最小深度 + 1

遞歸表達(dá)式為：
如果存在子樹，則將其作為根，返回其高度和最小深度的比較結(jié)果，取更小的那個更新最小深度

7.1.8 路徑總和

題目：
給你二叉樹的根節(jié)點(diǎn) root 和一個表示目標(biāo)和的整數(shù) targetSum ，判斷該樹中是否存在 根節(jié)點(diǎn)到葉子節(jié)點(diǎn) 的路徑，這條路徑上所有節(jié)點(diǎn)值相加等于目標(biāo)和 targetSum 。

葉子節(jié)點(diǎn) 是指沒有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)。

解法：
還是一樣，使用DFS的思想，用遞歸來完成

遞歸出口有兩個：

如果根為空，返回FALSE。表示無法訪問這個節(jié)點(diǎn)

如果該節(jié)點(diǎn)為葉子結(jié)點(diǎn)，進(jìn)行值的比較

遞歸表達(dá)式：
如果根存在子樹，那么需要看左子樹或者右子樹是否存在滿足條件的情況

7.1.8 二叉樹的所有路徑

題目：給你一個二叉樹的根節(jié)點(diǎn) root ，按 任意順序 ，返回所有從根節(jié)點(diǎn)到葉子節(jié)點(diǎn)的路徑。

葉子節(jié)點(diǎn) 是指沒有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)。

分析：老辦法，DFS+遞歸實(shí)現(xiàn)。

遞歸出口要理解還是很容易的，但是在代碼上有些我感覺反直覺的東西

就是說當(dāng)開始遍歷root的右子樹的時候，為什么不會在路徑上出現(xiàn)左子樹的節(jié)點(diǎn)。在我的直覺上，我認(rèn)為會出現(xiàn)左子樹的節(jié)點(diǎn)？？？
A：其原因在于遞歸函數(shù)的參數(shù)，我們傳遞進(jìn)去的當(dāng)前額路徑path。在上述代碼中，else塊的兩個實(shí)參path是一樣的，此時意味著在進(jìn)行分叉，而分叉之前的路徑是一樣的。舉個簡單的例子，形如，

通過手動推算，開始訪問root 1的左子樹和右子樹的path都是1->，然后進(jìn)入遞歸

7.1.9 翻轉(zhuǎn)二叉樹

題目：翻轉(zhuǎn)一棵二叉樹。

分析：將一顆二叉樹進(jìn)行鏡像翻轉(zhuǎn)。二叉樹問題普遍需要遍歷，遍歷通常又是用遞歸來實(shí)現(xiàn)。

遞歸出口我總結(jié)下來，需要考慮最簡單地情況：
1.根不存在
2.根存在
3.根的子樹不存在子樹了
如上，最多到高度為二的二叉樹就能把出口描述清楚，感覺還是很微妙

之前有道題，相同二叉樹，需要判斷一棵樹是否對稱，思路類似

7.2 二叉搜索樹的最近公共祖先

題目：給定一個二叉搜索樹, 找到該樹中兩個指定節(jié)點(diǎn)的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定義為：“對于有根樹 T 的兩個結(jié)點(diǎn) p、q，最近公共祖先表示為一個結(jié)點(diǎn) x，滿足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度盡可能大（一個節(jié)點(diǎn)也可以是它自己的祖先）。”

例如，給定如下二叉搜索樹: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]、

分析：
首先是二叉搜索樹的定義，也叫二叉排序樹。我們通過遞歸定義二叉排序樹，先構(gòu)造新的節(jié)點(diǎn)，若root為空，則直接插入；否則，若val小于根的val，則插入左子樹，否則插入右子樹

一次遍歷真的很秀，很優(yōu)雅
（1）p, q不存在咋辦？
不可能。題干說了，樹中指定的兩個節(jié)點(diǎn)，找就完事了
（2）p,q在什么時候分叉？
首先，他們一定會分叉。根據(jù)bst的性質(zhì)，分叉的節(jié)點(diǎn)一個比直接雙親大，一個小。這也就意味著，當(dāng)root不能同時大于或者小于兩點(diǎn)，則該root為最近的公共祖先。從此刻開始，兩個節(jié)點(diǎn)分道揚(yáng)鑣

7.3 最接近的二叉搜索樹值

題目：給定一個不為空的二叉搜索樹和一個目標(biāo)值 target，請在該二叉搜索樹中找到最接近目標(biāo)值 target 的數(shù)值。

注意：

給定的目標(biāo)值 target 是一個浮點(diǎn)數(shù)
題目保證在該二叉搜索樹中只會存在一個最接近目標(biāo)值的數(shù)

分析：
我最開始只有一點(diǎn)不確定，是否需要遍歷所有節(jié)點(diǎn)？？？？
A：不需要。通過數(shù)軸可以確定。如果target < root.val， 那么最接近的值一定在root的左子樹。
反證法證明：如果在右子樹，那么這個值一定大于root.val，而root.val才是最接近的值。矛盾

八. 位運(yùn)算

8.1 只出現(xiàn)一次的數(shù)字

題目：給定一個非空整數(shù)數(shù)組，除了某個元素只出現(xiàn)一次以外，其余每個元素均出現(xiàn)兩次。找出那個只出現(xiàn)了一次的元素。

說明：

你的算法應(yīng)該具有線性時間復(fù)雜度。 你可以不使用額外空間來實(shí)現(xiàn)嗎？

利用了異或運(yùn)算的交換律。異或運(yùn)算，相同為0，不同為1，另外，a^a = 0
0 ^ a = a。0就相當(dāng)于與乘法運(yùn)算中的1

8.2 Excel表列名稱

題目：給你一個整數(shù) columnNumber ，返回它在 Excel 表中相對應(yīng)的列名稱。

例如：

A -> 1
B -> 2
C -> 3
…
Z -> 26
AA -> 27
AB -> 28

解法：應(yīng)該想到他的模式，每26位要進(jìn)一位。進(jìn)一步想到考察進(jìn)位機(jī)制
本質(zhì)上就是10進(jìn)制轉(zhuǎn)26進(jìn)制，那就是 ：除進(jìn)制取余倒排

有點(diǎn)反直覺的地方在于實(shí)現(xiàn)數(shù)字和字符串的轉(zhuǎn)換，其實(shí)使用純數(shù)字來表示可能更好理解，這也就意味著莫以為可以是（26），所以某個數(shù)字就成了
(26)(26),由此看看怎么實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換

有點(diǎn)麻煩的是這個0，不管是10進(jìn)制還是二進(jìn)制都有0,10進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制，余數(shù)為0是不用特殊處理的。

8.3 顛倒二進(jìn)制位

題目：顛倒給定的 32 位無符號整數(shù)的二進(jìn)制位。

提示：

請注意，在某些語言（如 Java）中，沒有無符號整數(shù)類型。在這種情況下，輸入和輸出都將被指定為有符號整數(shù)類型，并且不應(yīng)影響您的實(shí)現(xiàn)，因為無論整數(shù)是有符號的還是無符號的，其內(nèi)部的二進(jìn)制表示形式都是相同的。
在 Java 中，編譯器使用二進(jìn)制補(bǔ)碼記法來表示有符號整數(shù)。因此，在 示例 2 中，輸入表示有符號整數(shù) -3，輸出表示有符號整數(shù) -1073741825。

解析：輸入是一個二進(jìn)制數(shù)，只是要注意一點(diǎn)，當(dāng)他作為二進(jìn)制數(shù)時，高位的0會被省去，比如000111，在實(shí)際使用的時候就變成111

8.4 2的冪

題目：給你一個整數(shù) n，請你判斷該整數(shù)是否是 2 的冪次方。如果是，返回 true ；否則，返回 false 。

如果存在一個整數(shù) x 使得 n == 2x ，則認(rèn)為 n 是 2 的冪次方。

分析：
我一直對位運(yùn)算不熟悉，沒怎么用過。之前只是用過運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)，0相當(dāng)于乘法中的1
n & (n - 1)用于移除最低位的1
實(shí)際上只有兩種情況：（1）不需要借位時，最低位的1必然是在末位，那么n和n-1的其他位相同，與運(yùn)算之后n的其他位不變，末位變0；（2）需要借位時，必然從最低位的1借出，那么從最低位的1開始直至末尾，n和n-1不同，與運(yùn)算之后，這些為全為0，也移除了最低位的1

在本題中，2的冪的二進(jìn)制表示必然只有一個1，那么移除最低位的1之后此數(shù)必然變?yōu)?

8.4 3的冪

沒有辦法像求解2的冪那樣直接使用位運(yùn)算，但是x的冪的特點(diǎn)是，（1）首先是正整數(shù) （2）一直除3都能整除

8.5 丟失的數(shù)字

題目：給定一個包含 [0, n] 中 n 個數(shù)的數(shù)組 nums ，找出 [0, n] 這個范圍內(nèi)沒有出現(xiàn)在數(shù)組中的那個數(shù)。

分析：首先是這個題目看得人有點(diǎn)懵逼。[0,n]有n+1個數(shù)字，但是只包含了n個，范圍在[0,n+1]，找出缺的那一個

我選擇了位運(yùn)算的解法，比較喜歡異或運(yùn)算，核心就這兩個：x^x = 0
x^0 = x
如果在原序列后面再補(bǔ)上[0,n+1]這n+1個數(shù)，依次進(jìn)行異或，因為缺失的數(shù)字只出現(xiàn)了一次，那么最后的結(jié)果就是這個確實(shí)的數(shù)字

巧妙地地方在于，并不需要真的往數(shù)組補(bǔ)上n+1個數(shù)，因為數(shù)字范圍和下標(biāo)是一致的，因此讓數(shù)組下標(biāo)參與異或即可，最后再補(bǔ)上len(nums)即可。真的非常優(yōu)雅

九. 字符串

9.1 最短單詞距離

題目：給定一個單詞列表和兩個單詞 word1 和 word2，返回列表中這兩個單詞之間的最短距離。

分析：
我最初的想法是，先找第一個，再找第二個，然后計算距離，但是處理不了這種情況
a…a…b…b
此問題的關(guān)鍵在于，必須要在遍歷的過程中同時找兩個目標(biāo)，實(shí)時更新他們的位置

如上例，前面有重復(fù)的單詞1，一直沒有找到單詞2,那么處于后位的單詞1肯定離單詞2更近

十. 博弈論

10.1 nim游戲

題目：你和你的朋友，兩個人一起玩 Nim 游戲：

桌子上有一堆石頭。
你們輪流進(jìn)行自己的回合，你作為先手。
每一回合，輪到的人拿掉 1 - 3 塊石頭。
拿掉最后一塊石頭的人就是獲勝者。
假設(shè)你們每一步都是最優(yōu)解。請編寫一個函數(shù)，來判斷你是否可以在給定石頭數(shù)量為 n 的情況下贏得游戲。如果可以贏，返回 true；否則，返回 false 。

分析：

推廣開來，將整個游戲進(jìn)程視作k個回合，每回合各抓一次。
后手要贏就得保證在最后一個回合開始前石子總數(shù)是4的倍數(shù)。
先手要贏就得破壞這個條件，在先手抓后，使總的石子數(shù)變成4的倍數(shù)。也就是把超過4n的那部分抓掉

進(jìn)一步講，從一開始結(jié)局就是肯定的

當(dāng)規(guī)則形成，游戲中只有最精明的玩家時，結(jié)局是注定的

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的每天一个算法（简单）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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