UA OPTI512R 傅立葉光學導論14 卷積定理

• • 卷積定理
  • 傳遞函數(transfer function)

卷積定理

我們介紹過線性-平移不變系統（LSI）的作用是卷積，假設$h(x)$是脈沖響應函數，$f(x)$是系統的輸入，則LSI的輸出是這兩個函數的卷積$g=f?h$；一個很重要的問題是怎么把這種用卷積表示LSI的思路移植到頻域中，這就需要回答Fourier變換對卷積$f?h$有什么效果。這個問題的答案就是卷積定理：

卷積定理
$$\mathcal{F}[f?h]=\mathcal{F}[f]\mathcal{F}[h]$$

即兩個函數的卷積做Fourier變換等于這兩個函數Fourier變換的乘積。

證明
先寫出輸入、脈沖響應函數、輸出的Fourier變換，
$$\begin{gathered} F(\xi )=\mathcal{F}[f(x)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)e^{?j2\pi \xi x}dx \\ H(\xi )=\mathcal{F}[h(x)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }h(x)e^{?j2\pi \xi x}dx \\ G(\xi )=\mathcal{F}[g(x)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }g(x)e^{?j2\pi \xi x}dx \end{gathered}$$

其中$g=f?h$，即
$$g(x)={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(y)h(x?y)dy$$

對這個式子做Fourier變換，并使用Fubini定理
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{?\infty }^{+\infty }\left({\int }_{?\infty }^{+\infty }f(y)h(x?y)dy\right)e^{?j2\pi \xi x}dx\\ =& {\int }_{?\infty }^{+\infty }f(y){\int }_{?\infty }^{+\infty }h(x?y)e^{?j2\pi \xi x}dxdy\\ =& {\int }_{?\infty }^{+\infty }H(\xi )f(y)e^{?j2\pi \xi y}dy=F(\xi )H(\xi )\end{array}$$

所以
$$G(\xi )=F(\xi )H(\xi )$$

評注

一個很關鍵的問題是為什么我們要用Fourier變換來計算卷積，即要計算$f?h$這個卷積，需要分別計算$f,h$的Fourier變換，然后計算它們的乘積，再做Fourier逆變換得到$f?h$。在實際應用中，會從$f,h$中采樣得到一些離散信號，假設離散信號長度為$N$，做卷積的復雜度為$O(N^2)$，盡管做Fourier變換的復雜度也是$O(N^2)$，但如果用快速傅里葉變換算法的話復雜度就是$O(N\log N)$，當$N$比較大的時候，在計算方面顯然是做Fourier變換更有優勢的。

不考慮計算問題的話，卷積定理在理論上的作用又如何呢？與卷積定理在實踐中用來計算卷據一下，在理論方面卷積定理也可以用來計算一些不太好算的卷積，比如$$g(x)=sinc(x)?sinc(bx)={\int }_{?\infty }^{+\infty }\frac{\sin (\pi by)\sin (\pi (x?y))}{{\pi }^{2}by(x?y)}dy$$這個積分看上去就又丑又難算，但用卷積定理會好算一些，$$\begin{gathered} \mathcal{F}[sinc(x)]=rect(\xi ) \\ \mathcal{F}[sinc(bx)]=\frac{1}{|b|}rect(\xi /b) \end{gathered}$$二者的乘積是$rect(\xi )/|b|$，做Fourier逆變換之后可以得到上述卷積的結果是$sinc(x)/|b|$

傳遞函數(transfer function)

傳遞函數的定義是從卷積定理那里來的，卷積定理給出了輸入、輸出、脈沖響應函數在頻域上的關系
$$G(\xi )=F(\xi )H(\xi )$$

稱$H(\xi )$為傳遞函數，在已知輸入與LSI的傳遞函數時，可以通過Fourier逆變換得到LSI在時域上的輸出，
$$g(x)={\int }_{?\infty }^{+\infty }G(\xi )e^{j2\pi \xi x}d\xi ={\int }_{?\infty }^{+\infty }F(\xi )H(\xi )e^{j2\pi \xi x}d\xi$$

也就是
$$f?h={\mathcal{F}}^{?1}[F(\xi )H(\xi )]$$

替換一下$f$與$F$，$h$與$H$的位置，
$$(F?H)(x)={\mathcal{F}}^{?1}[\mathcal{F}[F]\mathcal{F}[H]]={\mathcal{F}}^{?1}[f(?\xi )h(?\xi )](x)$$

于是
$$fh={\mathcal{F}}^{?1}[F?H]$$

下面列出這個式子的一些例子：

$f(x)rect(x)$的Fourier變換為$F(\xi )?sinc(\xi )$，

$f(x)\cos (2\pi {\xi }_{0}x)$的Fourier變換為$[F(\xi ?{\xi }_0)+F(\xi +{\xi }_0)]/2$，

總結

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