數論——判斷素數

小編的話：終于到了數論了

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文章目錄

• 數論——判斷素數
• • 1.素數的定義
  • 2. 判斷素數
  • • 2.1 判斷素數方法1
    • 2.2 判斷素數方法2
  • 3. 總結

1.素數的定義

• 在數學里，素數指的是大于1的正整數中，所有只有1和n兩個因子的數，被稱作素數，也叫作 質數
• 合數：大于1的正整數里，不是質數就是合數
• 三質數：一個平方數開根之后是質數的平方數叫做三質數

2. 判斷素數

2.1 判斷素數方法1

我們可以想到利用素數的性質來判定素數

洛谷判斷素數, U82118題

#include <bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std;bool isprime(int n) {if(n<2) return false;int cnt=0;for(int i = 1; i <= n; i ++){if(n%i == 0) cnt++; // 求出因子的個數}if(cnt==2) return true; // 質數必定是有且僅有兩個因子的數else return false; }main() // 切記不能寫`int main()`！ {int x;while(scanf("%lld", &x)==1){if(isprime(x)) puts("Y");else puts("N");}return 0; }

這個大家都能明白吧

時間復雜度$O(N^2)$

這份代碼害的我信用值成了40了

2.2 判斷素數方法2

完全平方數剛剛說過

所有的合數都可以寫成$x=y?z$

$a?a=b$，那么$a^2=b$

b是完全 平方數

根據反比例函數，可以知道對于所有的合數x，$\min (y,z)$都一定小于等于$\sqrt{b}$，所以只用枚舉到$\sqrt{b}$就可以求出答案了。

小計倆：浮點類型不穩定，使用$\sqrt{4}$可能等于$1.999999$，然后枚舉到1了。所以浮點數可以加上 一個eps。(eps的取值范圍要注意！一般取值為0.001)

#define int long long #include <cmath>const double eps = 0.001;bool isprime(int x) {if(x<2) return false;double end = 0.001 + sqrt(1. * x);for(int i = 2; (double)i <= end; i ++){if(x % i == 0) return false;}return true; }

sqrt函數 我自己手寫一個看看

double sqrt(double x) // 二分 {if(x<0) return -1;double l = 0, r=1E9;int step=100;double best = -1.0;while(step--){double mid=(l+r)/2;if(mid * mid >= x) {best = mid;r = mid;}else{l = mid;}}return best; }

大家注意一下，sqrt使用的是二分手段，所以時間復雜度$\approx O(\log N)$。乘法只用$O(1)$就能解決。所以 乘法優化：

#define int long long #include <cmath>const double eps = 0.001;bool isprime(int x) {if(x<2) return false;for(int i = 2; i * i <= x; i ++){if(x % i == 0) return false;}return true; }

時間復雜度：$O(\sqrt{N}?T)$，T是數據的組數

還是太慢，過不了

怎么辦呢？

這個時候就需要使用miller_rabin算法求解了

miller_rabin算法依賴的是費馬小定理

$a^n\equiv a$

當然只有n是質數的時候才可以

但是，費馬小定理是有問題的，是一個假命題，QAQ（遺憾）😢

統計表明，在前10億個自然數中共有50847534個素數，而滿足2n-1 ≡ 1 (mod n)的合數n有5597個

如果用費馬小定理的逆命題來判斷一個正整數n是不是素數，在前10億個自然數中出錯的可能性為0.011%

這個出錯的可能性還是很高的，但是仍然可以用這個技巧來排除大量的合數，這種方法就是費馬檢測

我們可以檢測前面的8~12個質數，如果有一個不滿足，就返回false，全部滿足返回true

這樣出錯概率 就只有$(\frac{11}{1000}{)}^g$了。(g是檢測質數的個數)

在 long long 范圍內，經試驗，不會出錯

但是 有可能越界

使用__int128(洛谷的破綻，noip不允許使用)就能通過

快速乘會超時

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> using namespace std;typedef __int128 il;int list[8] = {2, 3, 5, 7, 19, 37, 53, 89};il ksc(long long x, long long y, long long z) {il xx = 1;il answer = xx * x * y % z;return answer; // if(y == 0) return 0; // il w = ksc(x, y/ 2, z); // w= (w + w) % z; // if(y & 1) // { // w = (w + x) % z; // } // return w; }long long ksm(long long x, long long y, long long z) {if(y == 0) return 1;il w = ksm(x, y /2 , z);w= ksc(w, w, z);if(y & 1){w = ksc(w, x, z);}return w; }bool miller_rabin(long long n,long long a) {long long d = n -1, r = 0;while((d & 1) == 0){d >>= 1;r ++;}il x = ksm(a, d, n);if(x== 1) {return true;}for(int i = 0; i <r ; i ++){if(x == n - 1){return true;}x =ksc(x, x, n);}return false; }bool isprime(long long n ) {if(n < 2) return false;for(int a= 0;a< 8; a ++){if(n == list[a]){return true;}if(n % list[a] == 0){return false;}if(! miller_rabin(n, list[a])){return false;}}return true; }int main() {long long x;while(scanf("%lld", &x) == 1){if(isprime(x)){puts("Y");}else{puts("N");}}return 0; }

3. 總結

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论——判断素数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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