本次內容包括：快速冪，拓展歐幾里得，同余逆元，埃氏篩法

快速冪

背景：求a的n次冪
常規方法：循環累乘 復雜度O(n）
數論方法：快速冪，使用二進制拆分或分治。復雜度對數級

二進制拆分：將n從二進制角度去看，不斷二進制右移，當末位為1則乘，每次右移都會改變乘數1 2 4 8。
代碼：

int fastpow(int a,int n) {int base=a;int ans=1;while(n){if(n&1){ans*=base;}base*=base;n>>=1;} }

或者有

int fastpow(int a,int n) {int ans=1;while(n){if(n&1){ans*=a;}a=fastpow(a,a)n>>=1;} }

分治：層層拆分后分堆合并。
代碼:

int fastpow(int a,int n) {int temp;if(n==1)return a;temp=fastpow(a,n/2);if(n&1)return temp*temp*a;return temp*temp; }

temp=fastpow(a,n/2);注意這一步

拓展：矩陣快速冪
重點：將矩陣視為同快速冪中的整數元素即可。
主要操作有：定義矩陣乘法，初始化矩陣，設置單位矩陣。
0.
初始化矩陣

struct matrix {int m[50][50];matrix(){memset(m,0,sizeof(m));} };

1.矩陣乘法線性代數有學不再說明：

Matrix multi(matrix a,matrix b)//乘法二元操作 {matrix res;for(int i=0;i<50;i++){for(int j=0;j<50;j++){for(int k=0;k<50;k++){res.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];//從左向右，分行乘列，層層進行}}}return res; }

2.設置單位矩陣與矩陣快速冪

int fastpow(matrix a,int n) {matrix res;for(int i=0;i<50;i++)res.m[i][i]=1;while(n){if(n&1)Matrixmulti(res,a);a=Matrixmulti(a,a);n>>=1;}return res; }

拓展歐幾里得

四步走，我之前有寫，不再寫了。

同余逆元

同余: a和b取模于m的余數相同，成為同余。
性質：a-b是m的整數倍
應用：構成二元一次方程ax+by=mn
逆元: ax和1取模于m同余。得到ax-my=1，得到ax+my=1視m為參數，加號可允許m可正可負，得到二元一次方程之后，用拓展歐幾里得求解的得出逆元
代碼：

int inverse(int a,int b) {int x,int y;exgcd(a,m,x,y);return (m+x%m)%m;//a模m的逆 }

應用：逆元與除法取模
a，b，k設k是b的逆元
則對于（a/b）%m=ak%m

求二元一次方程
如果知道了a的逆，那么可求ax與b取模m同余的方程，
設a的逆為k
x與k*b取模于m同余。

埃氏篩法

思想：找從2到n所有的素數，從頭開始，2是最小的素數，然后把2-n中所有2的倍數刪去，下一個素數是3，把所有3的倍數刪去。
實操：刪除操作可以用單鏈表，也可以用標記數組來完成。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的简单数论学的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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