【原題鏈接】

【題意說明】

有一組共有N個(gè)正整數(shù)，每次只能取其中的一個(gè)數(shù)，每次沒有被取到的數(shù)會(huì)減少相應(yīng)的值，把每次取到數(shù)的值累加，問共要取K個(gè)數(shù)，在所有取法中，和最大是多少？

【問題分析】

快排+部分和

首先，假定k=n，我們?cè)撊绾伟才?#xff0c;假定每個(gè)位置的兩個(gè)數(shù)為xi，yi，顯然sum(xi)這部分的和是固定的，那對(duì)于yi該怎么安排呢？一種安排是把yi從大到小排好序，越大的yi越先使用，這樣就得一個(gè)和為sum((i-1)*yi)，記為：sum0。這部分和是不是所有方案最小的呢？我們來討論一下：

假定有另一種方案，它是上面排序方案的一種變形，其它位置不變，只把yi，與yj交換（其中i<j且yi>yj)用這個(gè)方案的和記為sum1，則：

sum1-sum0=(i-1)*yj+(j-1)*yi-(i-1)*yi-(j-1)*yi=i*yj-i*yi+j*yi-j*yj=(j-i)*(yi-yj)>0

同樣的方案可以處理其它種方案都的和都比sum0要大，所以得按sum0這種方案排序得sum0的值最小，即得sum(xi)-sum0的值最大。

這樣我們?cè)趉=n時(shí)，只要把所有的數(shù)據(jù)按yi的值先排序即可得到所需要的結(jié)果。

那現(xiàn)在對(duì)k<n呢？是不是也可以利用上面的這種想法呢？結(jié)果是顯然的！

假定我們從n個(gè)數(shù)中先取了k個(gè)數(shù)，這k個(gè)數(shù)該怎么排呢？顯然這也就是從k個(gè)數(shù)中選取k個(gè)數(shù)，同上面的想法一樣，只需要把yi從大到排序就好了。

若照此方法，就變成了從n個(gè)數(shù)中選k個(gè)，再排序，那時(shí)間復(fù)雜度也太大了吧！

更優(yōu)的方法是，先把數(shù)據(jù)按yi從大到小排序（當(dāng)yi相同時(shí)，按xi從大到小排序），這樣選擇出來的k個(gè)數(shù)也必然是有序的。

按照從n個(gè)人中去掉一個(gè)，剩下的n-1個(gè)人和最大，再從這n-1個(gè)人中去掉一個(gè)，剩下的n-2個(gè)人和最大，……一直到只剩下k個(gè)人即可！這其中的計(jì)算就需要使用部分和的方法了！

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/ahmasoi/archive/2012/11/02/2751648.html

總結(jié)

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