UA OPTI512R 傅立葉光學導論13 傅立葉變換及其性質(zhì)

• • 傅立葉變換的定義
  • • 驗證Fourier變換與其逆變換的定義互為逆變換
    • 實值函數(shù)的Fourier變換
    • 例：矩形波的Fourier變換
  • 傅立葉變換的性質(zhì)
  • 常用Fourier變換對

傅立葉變換的定義

上一講介紹了周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開：
$$\begin{gathered} f_p(x)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{j2\pi n{\xi }_{0}x},f_p(x+nT)=f_p(x),?n\in \mathbb{Z} \\ {c}_n=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}{f}_p(x)e^{?j2\pi n{\xi }_{0}x} \end{gathered}$$

盡管Fourier級數(shù)展開的方法對于周期函數(shù)是非常簡單通用的，但是在光學中處理波形的時候大部分情況還是非周期的波，這時就需要引入Fourier變換來處理了。對于任意復值函數(shù)$f(x)$，定義它的Fourier變換為
$$F(\xi )={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)e^{?j2\pi \xi x}dx$$

可以發(fā)現(xiàn)它的本質(zhì)與Fourier級數(shù)展開的系數(shù)類似，都是$f(x)$與基函數(shù)$e^{?j2\pi \xi x}$的內(nèi)積，所以Fourier變換其實就是$f(x)$在基函數(shù)空間$\{e^{j2\pi \xi x}:\xi \in \mathbb{R}\}$上的投影，只是這里的頻率$\xi$可以是任意值，而Fourier級數(shù)展開是把$f(x)$投影到頻率為$n{\xi }_0$的基函數(shù)列$\{e^{j2\pi n{\xi }_{0}x}:n\in \mathbb{Z}\}$上。

已知$F(\xi )$，我們也可以還原出$f(x)$，這個操作叫Fourier變換的逆變換(inverse Fourier transform)，
$$f(x)={\int }_{?\infty }^{+\infty }F(\xi )e^{j2\pi \xi x}d\xi$$

這個式子可以類比周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開，$\{e^{j2\pi \xi x}\}$是基函數(shù)，$F(\xi )$相當于基函數(shù)對應(yīng)的系數(shù)，稱$|F(\xi )|$為$f(x)$的頻率譜(frequency spectrum)。

驗證Fourier變換與其逆變換的定義互為逆變換

記$\mathcal{F}$為Fourier變換算子，${\mathcal{F}}^{?1}$為Fourier變換的逆變換算子，則
$$\begin{gathered} F(\xi )=\mathcal{F}[f(x)] \\ f(x)={\mathcal{F}}^{?1}[F(\xi )] \end{gathered}$$

驗證一下這兩個算子在數(shù)學上確實互為逆算子，即驗證
$$f(x)={\mathcal{F}}^{?1}[F(\xi )]={\mathcal{F}}^{?1}[\mathcal{F}[f(x)]]$$

好餓啊不想打公式了，直接貼老師的notes好了。。。

第二步到第三步是Fubini定理，第三步到第四步的積分可以使用$1$的Fourier變換是$2\pi \delta (\xi )$的結(jié)論，這個結(jié)論的推導可以參考Masunipur的Field, Force, Energy and Momentum in Classical Electrodynamics第66頁的example 1：

實值函數(shù)的Fourier變換

假設(shè)$f(x)=v(x)+jw(x)$，因為
$$e^{?j2\pi \xi x}=\cos (2\pi \xi x)?j\sin (2\pi \xi x)$$

所以
$$\begin{gathered} Re[F(\xi )]={\int }_{?\infty }^{+\infty }\left[v(x)\cos (2\pi \xi x)+w(x)\sin (2\pi \xi x)\right]dx \\ Im[F(\xi )]={\int }_{?\infty }^{+\infty }\left[w(x)\cos (2\pi \xi x)?v(x)\sin (2\pi \xi x)\right]dx \end{gathered}$$

如果$f^{?}(x)=f(x)$，即$f(x)$為實值函數(shù)，則$w(x)=0$，
$$\begin{gathered} Re[F(\xi )]={\int }_{?\infty }^{+\infty }v(x)\cos (2\pi \xi x)dx \\ Im[F(\xi )]={\int }_{?\infty }^{+\infty }?v(x)\sin (2\pi \xi x)dx \end{gathered}$$

如果在此基礎(chǔ)上還滿足$f(x)=f(?x)$，即$f(x)$為偶函數(shù)，則
$${\int }_{?\infty }^{+\infty }?v(x)\sin (2\pi \xi x)dx=0$$

此時
$$F(\xi )={\int }_{?\infty }^{+\infty }v(x)\cos (2\pi \xi x)dx$$

這個形式也被稱為余弦變換(cosine transform)。

例：矩形波的Fourier變換

將這個結(jié)果與Fourier級數(shù)展開進行對比：

傅立葉變換的性質(zhì)

性質(zhì)1 如果$F(\xi )=\mathcal{F}[f(x)]$，則$F(?\xi )=\mathcal{F}[f(?x)]$

性質(zhì)2 如果$F(\xi )=\mathcal{F}[f(x)]$，則$F^{?}(?\xi )=\mathcal{F}[f^{?}(x)]$

性質(zhì)3 如果$F(\xi )=\mathcal{F}[f(x)]$，則$f(?\xi )=\mathcal{F}[F(x)]$

例 $e^{j2\pi {\xi }_{0}x}$與$\delta (\xi ?{\xi }_0)$是一對Fourier變換對，根據(jù)性質(zhì)三可以直接得到$\delta (x?x_0)$的Fourier變換為$e^{?j2\pi {\xi }_{0}x}$，驗證：

性質(zhì)四 如果$F(\xi )=\mathcal{F}[f(x)]$，則$|b|F(b\xi )=\mathcal{F}[f(x/b)],?b=0$

性質(zhì)五 如果$F(\xi )=\mathcal{F}[f(x)]$，則$e^{?j2\pi \xi x_0}F(\xi )=\mathcal{F}[f(x?x_0)]$

性質(zhì)六 如果$F(\xi )=\mathcal{F}[f(x)]$，則$(j2\pi \xi {)}^{n}F(\xi )=\mathcal{F}[f^{(n)}(x)]$，以$n=1$為例，

常用Fourier變換對

$f(x)$$F(\xi )$

1	$\delta (\xi )$
$e^{j2\pi {\xi }_{0}x}$	$\delta (\xi ?{\xi }_0)$
$\delta (x)$	$1$
$\delta (x?x_0)$	$e^{?j2\pi \xi x_0}$
$\cos (2\pi {\xi }_{0}x)$	$[\delta (\xi ?{\xi }_0)+\delta (\xi +{\xi }_0)]/2$
$\sin (2\pi {\xi }_{0}x)$	$[\delta (\xi ?{\xi }_0)?\delta (\xi +{\xi }_0)]/(2j)$
$f_p(x)={\sum }_{n=?\infty }^{n=+\infty }{c}_n{e}^{j2\pi n{\xi }_{0}x}$	${\sum }_{n=?\infty }^{n=+\infty }{c}_n\delta (\xi ?n{\xi }_0)$
$comb(x)={\sum }_{n=?\infty }^{+\infty }\delta (x?n)$	${\sum }_{n=?\infty }^{+\infty }{e}^{?j2\pi n\xi }=comb(\xi )$
$rect(x)$	$sinc(\xi )$
$Gaus(x)$	$Gaus(\xi )$
$e^{?x}step(x)$	$\frac{1}{1+j2\pi \xi }$

第一個的推導很簡單，

第二個就是性質(zhì)三的例，第三個在第一個的基礎(chǔ)上用性質(zhì)三，第四個在第三個的基礎(chǔ)上用性質(zhì)五，第五個和第六個分別寫成
$$\begin{gathered} \cos (2\pi {\xi }_{0}x)=\frac{e^{j2\pi {\xi }_{0}x}+e^{?j2\pi {\xi }_{0}x}}{2} \\ \sin (2\pi {\xi }_{0}x)=\frac{e^{j2\pi {\xi }_{0}x}?e^{?j2\pi {\xi }_{0}x}}{2j} \end{gathered}$$

然后用第二個變換對、性質(zhì)一和線性性即可，第七個說的是周期函數(shù)寫成Fourier級數(shù)展開的形式再做Fourier變換，在第二個的基礎(chǔ)上用線性性得證，第八個涉及comb函數(shù)，它有一點特殊，如果直接推導可以得到

但比價巧合的是它也是一個周期為1的函數(shù)，所以可以用第七個Fourier變換對，先寫出它的Fourier級數(shù)展開

然后做Fourier變換，

第九個變換對就是上文矩形波那個例子，第十個變換對的推導如下，

第十一個變換對的推導如下：

總結(jié)

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