文章目錄

• • 常用非初等函數：
  • • 普通函數
    • • 矩形函數
      • $sinc$函數
      • 三角形函數
      • 階躍函數
      • 符號函數
      • 圓域函數，圓孔透過率
      • 高斯函數
    • 廣義函數
    • • $\delta$函數
      • $\delta$函數的性質
      • 梳妝函數
      • 梳妝函數的用途

常用非初等函數：

普通函數

矩形函數

一維矩形函數，門函數
$$rect\left(\frac{x}{a}\right)=\{\begin{array}{cc}1,& x?\left|\frac{a}{2}\right|\\ 0,& 其他\end{array}$$
二維矩形函數，矩孔透過率
$$rect\left(\frac{x}{a},\frac{y}{b}\right)=rect\left(\frac{x}{a}\right)rect\left(\frac{y}{b}\right)=\{\begin{array}{cc}1,& x?\left|\frac{a}{2}\right|,y?\left|\frac{b}{2}\right|\\ 0,& 其他\end{array}$$

$sinc$函數

$$sinc\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{\sin \frac{\pi x}{a}}{\frac{\pi x}{a}}$$

三角形函數

一維三角形函數
$$\Lambda \left(\frac{x}{a}\right)=\{\begin{array}{cc}1?\left|\frac{x}{a}\right|,& \left|x\right|?a\\ 0,& 其他\end{array}$$
二維三角形函數
$$\Lambda \left(\frac{x}{a},\frac{y}{b}\right)=\Lambda \left(\frac{x}{a}\right)\Lambda \left(\frac{y}{b}\right)$$

階躍函數

$$step\left(x\right)=?\begin{array}{cc}1,& x>0\\ \frac{1}{2},& x=0\\ 0,& x<0\end{array}$$

符號函數

$$sgn(x)=?\begin{array}{cc}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ ?1,& x<0\end{array}$$

圓域函數，圓孔透過率

$$\begin{array}{c}circ\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r_0}\right)=\{\begin{array}{cc}1,& \sqrt{x^2+y^2}<r_0\\ 0,& 其他\end{array}\\ circ\left(\frac{r}{r_0}\right)=\{\begin{array}{cc}1,& r<r_0\\ 0,& r>r_0\end{array}\end{array}$$

高斯函數

$$gauss\left(\frac{x}{a}\right)=\exp \left[?\pi {\left(\frac{x}{a}\right)}^2\right]$$

$rect$，$tri$，$sinc$，$sin{c}^2$，$gauss$函數的定義中，中心的縱坐標為1，積分為$a$。

廣義函數

$\delta$函數

$$\begin{array}{c}\delta \left(x,y\right)=\{\begin{array}{cc}0,& x=0,y=0\\ \infty ,& x=0,y=0\end{array}\\ \underset{?\infty }{\overset{\infty }{?}}\delta \left(x,y\right)dxdy=1\end{array}$$
對于任意一個檢驗函數$?\left(x,y\right)$，在$x=y=0$處連續，如果存在函數$f\left(x,y\right)$總滿足：
$$\underset{?\infty }{\overset{\infty }{?}}f\left(x,y\right)?\left(x,y\right)dxdy=?\left(0,0\right)$$
那么這個函數為$\delta$函數。

$\delta$函數的性質

• 篩選性質
  $$\underset{?\infty }{\overset{\infty }{?}}f\left(x,y\right)\delta \left(x?x_0,y?y_0\right)dxdy=f\left(x_0,y_0\right)$$

• 坐標縮放
  $$\delta \left(ax,by\right)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta \left(x,y\right)$$

• 可分離變量
  $$\delta \left(x,y\right)=\delta \left(x\right)\delta \left(y\right)$$

• 乘積性質
  $$f\left(x,y\right)\delta \left(x?x_0,y?y_0\right)=f\left(x_0,y_0\right)\delta \left(x?x_0,y?y_0\right)$$

• 奇偶性
  $$\begin{array}{c}\delta \left(x,y\right)=\delta \left(?x,y\right)=\delta \left(x,?y\right)=\delta \left(?x,?y\right)\\ {\delta }^{\prime }\left(x,y\right)=?{\delta }^{\prime }\left(?x,?y\right)\end{array}$$

• 導數性質
  $${\int }_{?\infty }^{\infty }f\left(x\right){\delta }^{\prime }\left(x?x_0\right)=?f^{\prime }\left(x_0\right)$$

• 功率性質
  $$x^n{\delta }^{\left(n\right)}\left(x\right)={\left(?1\right)}^{n}n!\delta \left(x\right)$$

梳妝函數

一維梳妝函數是間隔為1的$\delta$函數的無窮序列
$$comb\left(x\right)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }\delta \left(x?n\right)$$
周期為$\Delta$時，
$$\frac{1}{\Delta }comb\left(\frac{x}{\Delta }\right)=\sum _{?\infty }^{\infty }\delta \left(x?n\Delta \right)$$
二維梳妝函數
$$comb\left(x,y\right)=comb\left(x\right)comb\left(y\right)$$

梳妝函數的用途

• 抽樣，把連續函數變成離散函數
  $$\begin{array}{c}f\left(x\right)comb\left(x\right)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }f\left(n\right)\delta \left(x?n\right)\\ f\left(x,y\right)comb\left(x,y\right)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }\sum _{m=?\infty }^{\infty }f\left(n,m\right)\delta \left(x?n,y?m\right)\end{array}$$

• 重復排列
  $$f\left(x\right)?comb\left(x\right)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }f\left(x?n\right)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶光学-函数简介的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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