高斯：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，而數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后”

數(shù)學(xué)歸納法

例子證明：
數(shù)學(xué)公式: $$\frac{1}{1?2}+\frac{1}{2?3}+...+\frac{1}{n?(n+1)}=\frac{n}{n+1}$$
當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)學(xué)公式: $\frac{1}{1?2}=\frac{1}{1+1}$成立。
假設(shè)n=r時(shí)成立，則n=r+1時(shí)：
數(shù)學(xué)公式: $\frac{1}{1?2}+\frac{1}{2?3}+\frac{1}{(r+1)(r+2)}=\frac{r}{r+1}+\frac{1}{(r+1)(r+2)}=\frac{r(r+2)+1}{(r+1)(r+2)}=\frac{(r+1{)}^2}{(r+1)(r+2)}=\frac{r+1}{r+2}$
成立，所以該等式成立。
一個(gè)人通過許多例子觀察一個(gè)定理，他可能感知到一般情況下它是真的；隨后采用數(shù)學(xué)歸納法證明，如果成功，則該定理是正確的；如果失敗了，這個(gè)定理可能是正確的，也有可能是錯(cuò)誤的，并有可能某一天其他人用其他方法把它證明或否定。

反證法

例子：證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè)
假設(shè)素?cái)?shù)是有限的，素?cái)?shù)的集合為數(shù)學(xué)公式: $p_1,p_2,......p_n$,其他任何一個(gè)數(shù)都能整除它，那我我們構(gòu)造一個(gè)數(shù)：數(shù)學(xué)公式: $A=p_1?p_2......p_n+1$,則A比任何一個(gè)素?cái)?shù)都大，則必須是合數(shù)，但是用p1，p2等去除A總是余1，因此這些素?cái)?shù)都不是A的因子，此時(shí)A為素?cái)?shù)，因此矛盾，這是由于我們的假設(shè)而導(dǎo)致的矛盾，因此這假設(shè)只能被當(dāng)成荒謬的，從而它的反面必然是正確的，定理證完。

素?cái)?shù)的產(chǎn)生

費(fèi)馬猜想：數(shù)學(xué)公式: $F(n)=2^{2^n}+1$
高斯發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)公式: $F(5)=2^{2^5}+1=641?6700417$為非素?cái)?shù)
求出一個(gè)僅產(chǎn)生素?cái)?shù)的簡單表達(dá)式的努力一直徒勞無功，試圖求出所有素?cái)?shù)的代數(shù)表達(dá)式更是希望渺茫。
素?cái)?shù)定理：（素?cái)?shù)平均分布定理）
數(shù)學(xué)公式: $\frac{A_n}{n}～\frac{1}{\ln n}$表示當(dāng)n增加時(shí)$\frac{A_n/n}{1/\ln n}=1$,此處不可以用=，因?yàn)閿?shù)學(xué)公式: $A_n$是整數(shù)，而數(shù)學(xué)公式: $\ln n$不是。左邊為有理數(shù)，右邊為無理數(shù)。

兩個(gè)尚未解決的數(shù)學(xué)問題

哥德巴赫猜想：任何一個(gè)偶數(shù)（除了2）都能表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的和。（弱哥德巴赫猜想已經(jīng)解決：任何一個(gè)大于7的奇數(shù)都能被表示成三個(gè)奇素?cái)?shù)的和）
素?cái)?shù)經(jīng)常以p和p+2成對出現(xiàn)，比如3和5，11和13，29和31等，人們相信存在無窮多個(gè)這樣的素?cái)?shù)對的命題是正確的，但至今在解決這個(gè)問題的方向上，還根本談不上有什么辦法。

費(fèi)馬定理：

如果p是任意一個(gè)不能整除整數(shù)a的素?cái)?shù)，則：數(shù)學(xué)公式: $a^{p?1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

畢達(dá)哥拉斯數(shù)和費(fèi)馬大定理

數(shù)學(xué)公式: $a^2+b^2=c^2$
整數(shù)解：數(shù)學(xué)公式: $a=u^2?v^2,b=2uv,c=u^2+v^2$
費(fèi)馬大定理：數(shù)學(xué)公式: $a^n+b^n=c^n,n>2$時(shí)候不存在正整數(shù)解。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数论：数学的皇后的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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