?質(zhì)因數(shù)分解套路的復(fù)雜度分析的動態(tài)規(guī)劃

題目大意

有一顆$n$個(gè)節(jié)點(diǎn)有點(diǎn)權(quán)的樹，初始整棵樹為$1$號區(qū)域，要求滿足下列規(guī)則：

• 除非$i$是最后一個(gè)等級，否則每一個(gè)$i$級區(qū)域都要被分成至少兩個(gè)$i+1$級區(qū)域
• 對于每種等級，每個(gè)點(diǎn)必須恰好屬于一個(gè)區(qū)域
• 一個(gè)區(qū)域的點(diǎn)集必須是連通的
• 對于相同等級，每個(gè)區(qū)域必須擁有相同的點(diǎn)權(quán)和

問有多少種合法的劃分方案，$n \le 10^6,a_i \le 10^9$.

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題目分析

首先考慮判斷把樹分為$k$個(gè)2級區(qū)域的合法性$f_k$，記點(diǎn)權(quán)和為$tot$。

一種樸素的想法就是對于每一個(gè)$k$，自底向上遍歷整棵樹，若剩余子樹大小恰好為$tot\over k$，就割去這顆子樹；如果整棵樹能夠被處理完，$k$就是合法的。每次判定復(fù)雜度為$O(n)$.

注意到這個(gè)想法里，每次割去子樹的大小$s_i$恰好是$tot\over k$的倍數(shù)；并且不難發(fā)現(xiàn)，$k$合法的充要條件就是恰有$k$個(gè)$s_i≡0(\text{mod }\frac{tot}{k})$。簡短解釋一下：對于一顆$s_i≡0(\text{mod }\frac{tot}{k})$的子樹，由于它的所有子樹都奉行割去$s_j≡0(\text{mod }\frac{tot}{k})$的原則，那么剩下的包括點(diǎn)$i$的連通塊就是$i$子樹內(nèi)最小的$\ge {tot\over k}$的連通塊。因此，$\sum [s_k≡0(\text{mod }\frac{tot}{k})] \le k$；并且當(dāng)且僅當(dāng)$=k$時(shí)合法。

有了這個(gè)性質(zhì)，考慮如何統(tǒng)計(jì)$f_k$。容易發(fā)現(xiàn)對于合法的$k$，$\frac{tot}{k}$的任意約數(shù)$k'$都是合法的。而對于子樹$s_i$，其最小有貢獻(xiàn)的$k=\frac{tot}{\text{gcd}(s_i,tot)}$。所以這里只需要對每個(gè)$s_i$存下最小的合法$k$，再以質(zhì)因數(shù)分解題的套路處理一遍就能算出$[f_k=k]$了。因此處理$f_k$的復(fù)雜度是$O(n\ln n)$。

接下去考慮dp計(jì)算把整棵樹分為若干個(gè)$i$級區(qū)域的方案數(shù)$g_i$。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/antiquality/p/10692714.html

總結(jié)

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