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文章目錄

• 一、$\lambda$ 矩陣與 Jordan 標準形
• • 1.1 零多項式、零次多項式
  • 1.2 不變因子、行列式因子、初等因子
  • 1.3 相抵
  • 1.4 相似
  • 1.5 初等因子與Jordan標準形的關系
  • • Jordan標準形例題
  • 1.6 Cayley-Hamilton 定理
• 四、矩陣的因子分解
• • 4.1 初等矩陣
  • • 4.1.1 初等矩陣
    • 4.1.2 初等下三角矩陣
  • 4.2 滿秩分解
  • 4.3 三角分解(LU分解)
  • 4.4 QR分解
  • 4.5 Schur定理與正規矩陣
  • 4.6 奇異值分解
• 五、Hermite矩陣與正定矩陣
• • 5.1 Hermite矩陣概念引入
  • 5.2 Hermite矩陣二次型、正定(非負定)矩陣
  • 5.3 矩陣不等式
• 六、范數與極限
• • 6.1 向量范數
  • 6.2 矩陣范數
  • 6.3 矩陣序列與矩陣級數
• 七、矩陣函數
• 八、廣義逆矩陣

一、$\lambda$ 矩陣與 Jordan 標準形

1.1 零多項式、零次多項式

零多項式: 0(沒有次數)
零次多項式: 常數(次數為0,也就是$\lambda$次數為0)

1.2 不變因子、行列式因子、初等因子

(1)不變因子 $d(\lambda )$
初等變換后得到的$d_1(\lambda )$,$d_1(\lambda )$都是首項系數為1的多項式,并且$d_1(\lambda )|d_2(\lambda )$,$d_2(\lambda )$整除$A_2(\lambda )$的全部元素.$d_1(\lambda )$,$d_1(\lambda )$…稱為不變因子.

(2)行列式因子 $D(\lambda )$
$A(\lambda )$全部$k$階子式的最大公因式稱為$A(\lambda )$的$k$階行列式因子,記為$D_k(\lambda )$.(K階子式是指行列式)
① 先看1階子式,假設現在是3階矩陣,然后看9個多項式行列式的最大公因式.
② 2階子式共9個2階行列式,先算每個的2階的行列式,然后綜合9個求最大公因式(假如是m*n的矩陣,則共有 $C_m^2?C_n^2$ 個 ).
③ 3階子式就是直接算這個矩陣的行列式.

(3)初等因子
在得到不變因子后,除去 1 之后的因子 稱為矩陣的初等因子.

行列式因子和不變因子的關系

根據初等因子得不變因子
秩和初等因子可以唯一確定不變因子.

先從第一個開始$\lambda$看,看后面有沒有次數比它高的因式,有是${\lambda }^2$,往后看是$\lambda ?1$,后面有次數更高的因式$(\lambda ?1{)}^3$,于是它們相乘得到$d_4(\lambda )$ ,按此方法直到最后一個.

1.3 相抵

定理3.3.1 相抵的$\lambda$矩陣具有相同的秩、相同的各階行列式因子、不變因子.
定理3.3.3 $A(\lambda )$和 $B(\lambda )$相抵<=>它們有相同的行列式因子,或者相同的不變因子.

1.4 相似

• 定理3.4.1 n階矩陣A與B相似 <=> $\lambda I?B$ 和 $\lambda I?A$相抵(等價).

• 定義3.4.1 設A是n階數字矩陣,其特征矩陣 $\lambda I?A$ 的行列式因子、不變因子、初等因子分別稱為 A 的行列式因子、不變因子、初等因子.

• 定理3.4.2 n階矩陣A與B相似 <=> 它們有相同的行列式因子或者相同的不變因子或者初等因子.(兩個矩陣都不可相似對角化時用這個判斷,下面便是這種情況)
  

• 定理3.5.3 A與一個對角矩陣相似<=>A的初等因子都是一次的.

1.5 初等因子與Jordan標準形的關系

假如現在得到的初等因子為$\lambda ?1$,$(\lambda ?1{)}^2$,則Jordan標準型如下:

$$?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}?$$

①首先$\lambda ?1$是一次,Jordan塊是一行一列,$\lambda$減去的是1所以值為1,
②然后$(\lambda ?1{)}^2$是二次,Jordan塊是兩行兩列,對角線值為1,因為是$(\lambda ?1)$,對角線上面斜線內填入非零常數.

例題
求矩陣的Jordan標準形的兩種方法
https://wenku.baidu.com/view/d9700a18482fb4daa58d4b60.html

Jordan標準形例題

(1) 求矩陣的Jordan標準形
方法一:

上面例子得到,對任意的n階矩陣 $A$ ,存在 $n$ 階可逆矩陣P使得 $P^{?1}AP=J$ 為Jordan標準形.
方法二:
還有方法就是求出特征值,就得到了Jordan標準形.

代碼計算Jordan標準形、變換矩陣P

import numpy as np from sympy import Matrix import sympy import pprint # 設置輸出結果不用科學計數法表示 np.set_printoptions(suppress=True)# A為要分解的矩陣 A = np.array([[1,-5,0],[0,2,0],[-2,-19,1]]) a = Matrix(A) P, Ja = a.jordan_form()pprint.pprint(Ja) pprint.pprint(P)# 這里可以輸入自己計算出來的p進行驗算 p = np.array([[5/9,0,-1/2],[-1/9,0,0],[1,1,1]]) p_ = np.linalg.inv(p) J = np.dot(np.dot(p_,A),p) pprint.pprint(J)

(2) 求變換矩陣P的方法



(3) 求完變換矩陣P后,可以用來求解 $e^A,e^{At},sinAt$.后面有例題.

1.6 Cayley-Hamilton 定理

定理3.6.1 設A是n階矩陣, $f(\lambda )$是A的特征多項式,則$f(A)=0$.
定義3.6.1 設A為n階矩陣, 如果存在多項式 $\phi (\lambda )$ 使得 $\phi (A)=0$ 則稱$\phi (\lambda )$為A的化零多項式.
對任意n階矩陣A,$f(\lambda )$是A的特征多項式,由定理3.6.1知$f(\lambda )$為A的化零多項式,如果$g(\lambda )$是任意多項式,則$g(\lambda )$$f(\lambda )$也是A的化零多項式(共有無窮多個).

定理3.6.2 n階矩陣A的所有化零多項式中,次數最低且首項系數為1的多項式稱為A的最小多項式.

例題 : 矩陣最小多項式的特征多項式求法 (最小多項式要去一個個試)
https://wenku.baidu.com/view/291b2e8d5fbfc77da369b145.html

四、矩陣的因子分解

4.1 初等矩陣

4.1.1 初等矩陣

設$u,v?{\mathbb{C}}^n$,$\sigma$為一復數,如下形式的矩陣
$$E(u,v,\sigma )=I?\sigma u{v}^H$$
稱為初等矩陣.
線性代數中所用的初等矩陣都可以用初等矩陣 $E(u,v,\sigma )$ 表示,也就是用這個式子,通過給 $u,v,\sigma$ 賦不同的值,可以倒出其他形式的矩陣,例如初等下三角矩陣、Householder矩陣(Hermite初等矩陣).

4.1.2 初等下三角矩陣

4.2 滿秩分解

定理 4.2.1 滿秩分解定理 設 $m\times n$ 矩陣的秩為 $r>0$, 則存在 $m\times r$ 矩陣B和 $r\times n$ 矩陣C使得 $A=BC$, 并且$rank(B)=rank(C)=r$.

知識點1
如果

$$L_1=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ ?1& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}?$$$$L_2=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& ?1& 1\end{array}?$$

則:
$$L_1{L}_2=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ ?1& 1& 0\\ 2& ?1& 1\end{array}?$$

知識點2
用初等下三角矩陣左乘一個矩陣,等于高斯消元操作

$$A=?\begin{array}{ccc}1& 2& ?1\\ 2& ?3& 4\\ ?2& 1& 2\end{array}?\to ?\begin{array}{ccc}1& 2& ?1\\ 0& ?7& 6\\ 0& 5& 0\end{array}?$$

等價于

$$?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ ?2& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}??A=?\begin{array}{ccc}1& 2& ?1\\ 0& ?7& 6\\ 0& 5& 0\end{array}?$$

$$??\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ ?2& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}???\begin{array}{ccc}1& 2& ?1\\ 2& ?3& 4\\ ?2& 1& 2\end{array}?=?\begin{array}{ccc}1& 2& ?1\\ 0& ?7& 6\\ 0& 5& 0\end{array}?$$
A左側的矩陣左下角的值,求法如下:

下面看一個滿秩分解的例題:

4.3 三角分解(LU分解)

定理4.3.1 LU分解定理 設 $A$ 是n階非奇異矩陣,則存在唯一的單位下三角矩陣 $L$ 和上三角矩陣 $U$ 使得 $A=LU$ 的充分必要條件是 $A$ 的所有順序主子式均非零.


用待定系數法,先寫出LU的格式,然后一點點算.或者看下面的:

定理4.3.2 LDU分解定理 設 $A$ 是$n$階非奇異矩陣,則存在惟一的單位下三角矩陣$L$,對角矩陣 $D=diag(d_1,d_2,...,d_n)$ 和單位上三角矩陣 $U$ 使得 $A=LDU$.
接上面的例題,對U再次分解

$U=?\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 6\end{array}??\begin{array}{ccc}1& 1/2& 3/2\\ 0& 1& 1/3\\ 0& 0& 1\end{array}?$

LDU分解參考 https://zhidao.baidu.com/question/988941708785428419.html

LU分解在求解線性方程組中的應用:

4.4 QR分解

定理4.4.1 設A是n階非奇異(復)矩陣,則存在正交矩陣Q(也稱酉矩陣)和非奇異實(復)上三角矩陣R使得 $A=QR$, 且除去相差一個對角元絕對值(模)全等于1的對角矩陣因子外分解式(4.4.1)是惟一的.

下面先看一個例題:
例題 https://wenku.baidu.com/view/6872ac728e9951e79b892700.html

施密特正交化:

另外參考:
計算方法（三）矩陣分解1-正交分解(QR分解)
https://blog.csdn.net/weixin_33802505/article/details/91741893

4.5 Schur定理與正規矩陣

定義2.7.1 如果n階實矩陣A滿足$$A^{T}A=A{A}^T=I$$則稱A為正交矩陣.如果n階復矩陣A滿足$$A^{H}A=A{A}^H=I$$則稱A為酉矩陣.

定義4.5.1 設A,B $?R^{n\times n}$ ,如果存在n階正交(酉)矩陣U使得
$$U^{T}AU=U^{?1}AU=B$$則稱A正交(酉)相似與B.

定理4.5.1(考試不考分解計算) 任何一個$n$階復矩陣 $A$ 都酉相似于一個上三角矩陣,即存在一個$n$階酉矩陣 $U$ 和一個n階上三角矩陣 $R$ 使得
$$U^{H}AU=R$$其中 $R$ 的對角元是 $A$ 的特征值,它們可以按要求的次序排列.

定義4.5.2 設$A?{\mathbb{C}}^{m\times n}$,如果
$$A{A}^H=A^{H}A$$則稱A為正規矩陣.

4.6 奇異值分解

參考李航P283例題
手寫求解注意:
假如 $A$ 為4x2的矩陣, 分解后 $U\Sigma V^T$, 分別為4x4,4x2,2x2

$A{A}^T$或者$A^{H}A$ 是去求 $V^T$,此時$V^T$是2x2,所以$A{A}^T$或者$A^{H}A$需要是2x2

通過判斷應該計算$A^{H}A$,2x2

得到的特征向量需要單位化, 因為 $U$ 和 $V^T$ 都是正交矩陣.

下面是最早記錄的內容,可能有誤!

① $A{A}^H$ 還是 , 這取決于A的形狀,如果是 $2\times 3$ 的則用$A{A}^H$,這樣得到 $2\times 2$,如果是后者$3\times 2$的,則用$A^{H}A$.
② 求矩陣U時,先用非零特征值求 $\frac{1}{{\sigma }_i}A{v}_i$,之后再用$A^{T}x=0$ 求解另一組標準正交基.

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五、Hermite矩陣與正定矩陣

5.1 Hermite矩陣概念引入

先來看一下介紹

定理5.1.1 $A=a_{jk}?C^{m\times n}$, A是Hermite矩陣的充分必要條件是對任意$x?C^n$, $x^{H}Ax$是實數.
相合的定義 對兩個n階實矩陣$A$和$B$，若存在一個可逆實方陣$P$，使得 $B=P^{T}AP$，則稱$B$和$A$為實相合的。

矩陣的慣性 $\pi (A),v(A),\delta (A)$ 分別為矩陣A的正特征值、負特征值、虛特征值的個數,記$$ln(A)=\pi (A),v(A),\delta (A)$$則稱 $ln(A)$ 為矩陣A的慣性.

定理5.1.6 Sylvester慣性定律 設A,B均為n階Hermite矩陣,則A與B相合的充分必要條件是$$ln(A)=ln(B)$$

緊跟著上一條如下,簡單點說: 實對稱矩陣的秩 等于 非零特征值的個數.

---

5.2 Hermite矩陣二次型、正定(非負定)矩陣

先看一下實數中的二次型
https://wenku.baidu.com/view/c993a930783e0912a3162a0b.html


($s=\Pi (A)$ 代表的是正特征值的個數,看上面這里r-s就好理解了,因為實對稱矩陣的秩 等于 非零特征值的個數).

正定的充分必要條件

以下內容在證明中用的較多:

證明過程:

接上一張


定理5.2.3 n階Hermite矩陣A正定的充分必要條件是A的順序主子式均為正數
定理5.2.3 n階Hermite矩陣A正定的充分必要條件是A的所有主子式全大于零.

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例題5.2.2

注解1: 若$AC=CA$ 這個條件去掉,則AC特征值大于0
注解2: 若$A>0,C?0$且$AC=CA$,則$AC?0$

定理5.2.6 n階Hermite矩陣A正定的充分必要條件是存在n階非奇異下三角矩陣L使得$$A=L{L}^H$$這個式子稱為正定矩陣A的Cholesky分解.
注解: 若$A>0,A^H=A$ , 則A的對角元 $a_{ij}>0$.

另外可參考 Cholesky分解及一個例子

定義5.2.2 設$A,B\in C^{m\times n}$,如果存在負數 $\lambda$ 和非零向量$x\in C^n$使得$$Ax=\lambda Bx(5.2.5)$$則稱$\lambda$為廣義特征值問題 $Ax=\lambda Bx$ 的特征值,非零向量 $x$ 稱為對應于特征值$\lambda$的特征向量.

★定理5.2.7 設A,B均為n階Hermite矩陣,且$B>0$,則存在非奇異矩陣P使得$$P^{H}AP=diag({\lambda }_1,...,{\lambda }_n),P^{H}BP=I$$其中${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$是廣義特征值問題(上面5.2.5)的特征值.
(注意:這里A,B是實對稱矩陣,$B>0$,對于A不知道.)

5.3 矩陣不等式

定義5.3.1 設A,B都是n階Hermite矩陣,如果$A?B\ge 0$,則稱A大于或等于B,記作$A\ge B$.

定理5.3.1 設A,B,C均為n階Hermite矩陣,則$A\ge B(AB>B)$的充分必要條件是對任意n階可逆矩陣P都有

⑴ $P^{H}AP\ge P^{H}BP(P^{H}AP>P^{H}BP)$
⑵ 若$A>0(A\ge 0),C>0(C\ge 0)$,且$AC=CA$,則$AC>0(AC\ge 0)$

定理5.3.2

定理5.3.3 設A是n階Hermite矩陣,則 ${\lambda }_{min}(A)I\le A\le {\lambda }_{max}(A)I$, 這時${\lambda }_{max}(A)$和${\lambda }_{min}(A)$分別表示A的最大和最小特征值.

定理5.3.4 設A,B均為n階Hermite正定矩陣,則
(1)若$A\ge B>0$,則$B^{?1}\ge A^{?1}>0$.
(2)若$A>B>0$,則$B^{?1}>A^{?1}>0$.

定理5.3.5 設A.B均為n階Hermite正定矩陣,且AB=BA,則
(1)若$A\ge B$,則$A^2\ge B^2$.
(2)若$A>B$,則$A^2>B^2$.

六、范數與極限

6.1 向量范數

1范數: 各個元素的絕對值之和
$$\parallel x{\parallel }_1=\sum _{i=1}^n\mid x_i\mid$$

2范數: 每個元素的平方和再開平方根
$$\parallel x{\parallel }_2=(\sum _{i=1}^n\mid x_i{\mid }^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

$\infty$范數
$$\parallel x{\parallel }_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }\mid x_i\mid$$

p范數
$$\parallel x{\parallel }_p=(\sum _{i=1}^n\mid x_i{\mid }^p{)}^{\frac{1}{p}},1\le p<+\infty$$

6.2 矩陣范數

定義 6.2.2 相容范數

定理6.2.3


★ 其中$\rho (A)=\underset{1\le i\le n}{\max }\mid {\lambda }_i\mid$

---

矩陣的1-范數 (列和范數)（列模）
矩陣的每一列上的元素絕對值先求和，再從中取個最大的（列和最大）
$$\parallel A{\parallel }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=1}^m\mid a_{ij}\mid$$

矩陣的2-范數 (譜范數)（譜模）
矩陣 A.T*A 的最大特征值開平方根
$$\parallel A{\parallel }_2=({\lambda }_{max}(A^{H}A){)}^{\frac{1}{2}}$$

矩陣的無窮范數 (行和范數)（行模）
矩陣的每一行上的元素絕對值先求和，再從中取個最大的（行和最大）
$$\parallel A{\parallel }_{\infty }=\underset{1\le i\le m}{\max }\sum _{j=1}^n\mid a_{ij}\mid$$

矩陣的F范數
各元素絕對值和再開根號
$$\parallel A{\parallel }_F=\sqrt{tr(A^{H}A)}=(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n\mid a_{ij}{\mid }^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

6.3 矩陣序列與矩陣級數

矩陣序列收斂


矩陣級數收斂

矩陣冪級數

★★★下面一個重要的定理

補充

P199 T18



https://blog.csdn.net/u013457167/article/details/54564393
P199 T19

七、矩陣函數

八、廣義逆矩陣

行滿秩 列滿秩矩陣一些性質

A是$m\times n$行滿秩矩陣,所以行秩r(A)=m,$A{A}^T$是$m\times m$矩陣,此時是滿秩.列滿秩情況類似可推導.

課堂只講了廣義逆矩陣$A^{+}$ 與線性方程組的極小最小二乘解


通過以上可以得到求廣義逆的兩種方法:
(1) 奇異值分解

(2) 滿秩分解

$A=C^{+}{B}^{+}$ , $C^{+}=C^T(C{C}^T{)}^{?1}$ , $B^{+}=(B^{T}B{)}^{?1}{B}^T$

這個公式有對稱的特征.

---

相容方程組
(1) 驗證 $A{A}^{+}b=b$ 是否相等,相等則 $Ax=b$ 有解,則相容.
(2) 方程組$Ax=b$ 有解, 則稱該方程組是相容方程組.
rank(A) = rank(A b),相容
rank(A) 不等于 rank(A b),不相容

相容時

• 通解 $x=A^{+}b+(I?A^{+}A)y$
• 極小范數解 $x=A^{+}b$

不相容時

• 最小二乘通解 $x=A^{+}b+(I?A^{+}A)y$
• 極小最小二乘解 $x=A^{+}b$

判斷相容、最小二乘解

例題

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵论公式总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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