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一、地方坐標系簡介

地方坐標系（Local Coordinate System）是因建設、城市規劃和科學研究需要而在局部地區建立的相對獨立的坐標系統，是在局部地區建立平面控制網時，根據需要投影到任意選定面上和（或）采用地方子午線為中央子午線的一種直角坐標系，屬于參心坐標系。地方獨立坐標系通常采用的是高斯克呂格正形投影平面直角坐標系，然后把獨立測量的工程控制網建立在當地海拔高程面，并與當地子午線為中央子午線作為投影變換的依據。

二、建立背景

• 進行工程測量建立平面控制網時，如局部地區沒有已知控制點可利用，則選擇網中某一點假定其坐標，選定某一邊假定其坐標方位角，以此為起算數據推算網中各點的坐標。
• 在國家控制網未擴展到的地區，為了測繪地形圖而布設控制網時，可在網中選一點觀測其天文經緯度和至另一點的天文方位角，按統一投影帶的劃分，將該點的天文經緯度換算為平面直角坐標，將天文方位角換算為坐標方位角，以此為起算數據，推算網中各點的坐標 。
• 獨立坐標系主要是根據城市或工程建設需求而建立的，其主要特點是限制長度變形，要求實地量測邊長與坐標反算邊長應滿足2.5厘米/公里限差。然而，采用國家坐標系統在高海拔地區或離中央子午線較遠地方不能滿足這一要求，這就要考慮建立地方獨立坐標系。

三、建立方法和步驟

3.1 建立方法概述

• 把中央子午線移到測區中央，歸化高程面提高到該測區的平均高程面上，建立任意帶高斯正形投影平面直角坐標系，這樣可以使測區的長度變形在測區中央幾乎為零。當測區高差起伏在100米范圍內時可以保證離中央子午線40千米以內的地區其長度變形在每公里2.5厘米以內（可控制的東西寬度100千米）。這種地方獨立坐標系最適合工程建設地區的需要，因此，在工程建設區域面積不是太大、東西跨度在80千米可以完全滿足需要。
• 采用抵償高程面的方法建立獨立坐標系，即中央子午線保持不變，選擇某一高程面作為歸化高程面，使高程歸化改正和高斯投影變形改正相互抵消，使測區中央的兩項投影變形接近于零。
• 以上兩種方法建立獨立坐標系都變動了高程歸化面，這將產生一個新橢球，這不僅要計算出新橢球參數，還要把本地區國家坐標系控制點轉換到新產生的橢球面上作為獨立坐標系的起算點，計算較復雜。為了避免這些復雜的計算，可以采用不變動高程歸化面(長度仍然歸化到國家坐標系參考橢球面)，只移動中央子午線的辦法來建立獨立坐標系。
• 利用GPS-RTK技術建立獨立坐標系。近年來，隨著測繪技術的發展，GPS相對定位技術已經成為改造和建立城市坐標系和控制網的主要技術手段。在常規測量中，這種獨立坐標系只是一種高斯平面直角坐標系，而在采用GPS-RTK采集數據時，獨立坐標系就是一種不同于國家坐標系的參心坐標系。

??建立地方獨立坐標系的常規方法是以一個國家大地控制點和一條邊的方位角作為起算數據，觀測邊長投影到某特定面（測區平均高程面、抵償面）上。建立的方式的共同點都有自己的原點，自己的定向，即控制網便是作為獨立坐標系建立的參考。

3.2 建立考慮的因素

??在獨立坐標系的建立過程中，應主要注意中央子午線、投影面和坐標系參考橢球三個方面。

• 中央子午線： 獨立坐標系的中央子午線既可與國家坐標系標準帶的中央子午線重合，也可與其不重合。但當測區離標準帶中央子午線較遠時，可選取過測區中心點或過某點的經線作為獨立坐標的新中央子午線。
• 投影面： 在實際工程中，若變換中央子午線還是不能有效解決投影變形的問題，就要考慮建立合適的投影面參數。一般情況下可選擇研究區的平均高程面或者抵償高程面作為獨立坐標的投影面。
• 參考橢球： 地方獨立坐標系參考橢球相應的參數設置在原則上應使得橢球面與投影面的擬合程度達到最好，投影長度的變形值降低到最小，同時也要滿足方便與我國國家坐標系統進行相互的坐標換算。

3.3 基于坐標橢球參數建立獨立坐標系

??一般情況下，獨立坐標系采用國家坐標系橢球參數，(如基于2000國家大地坐標系建立的獨立坐標系統，稱為2000獨立坐標系)，根據城市或區域中心的地理位置設定高斯投影中央子午線，或以測區平均高程面作為坐標投影面，通過抬高或降低坐標投影面的方法解決長度變形問題；有些獨立坐標進行加常數或者平移旋轉變換等。以重慶市為例，我們知道重慶位于東經105°17′至110°11′、北緯28°10′至32°13′之間，重慶市城區的經緯度北緯29.35°東經106.33°。最常用的就是根據具體地理位置設定105°、108°或111°為高斯投影中央子午線。為了使橫坐標y不出現負值，則無論3°或6°帶，每帶的縱坐標軸要西移500km，即在每帶的東坐標上加500 km。為了指明該點屬于何帶，還規定在橫坐標y值之前，要寫上帶號。未加500km和帶號的橫坐標值稱為自然值，加上500km和帶號的橫坐標值稱為通用值。

3.4 坐標轉換

同橢球系統內坐標轉換分為兩種情況，一種是同橢球之間的轉換，另外則是不同橢球之間的坐標轉換。同橢球一種分為空間大地坐標系與空間直角坐標系間的轉換，即$(B,L,H)$與$(X,Y,Z)$之間的轉換。具體公式如下：

$(B,L,H)?(X,Y,Z)$：
?
$$?\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}?=?\begin{array}{c}(N+H)cosBcosL\\ (N+H)cosBsinL\\ \left[N(1?e^2)+H\right]sinB\end{array}?\text{\hspace{1em}(3.4.1)}$$
?
$(X,Y,Z)?(B,L,H)$：
?
$$?\begin{array}{c}L\\ B\\ H\end{array}?=?\begin{array}{c}\arctan \frac{Y}{X}\\ \arctan \frac{1}{\sqrt{X^2+Y^2}}\left(Z+\frac{a{e}^2\tan B}{\sqrt{1+{\tan }^{2}B?e^2{\tan }^{2}B}}\right)\\ \frac{\sqrt{X^2+Y^2}}{\cos B}?N\end{array}?\text{\hspace{1em}(3.4.2)}$$
?
式$(3.4.1)$和$(3.4.2)$的公式相關符號說明：

符號說明及計算方法

$X,Y,Z$	直角坐標系下的坐標
$B,L,H$	大地坐標系下的坐標，分別表示大地緯度、大地經度和大地高
$a$	參考橢球長半軸
$b$	參考橢球短半軸
$f$	扁率的計算：$f=\frac{a?b}{a}$
$e$	第一偏心率的計算：$e=\sqrt{\frac{a^2?b^2}{a^2}}$
$e^{\prime }$	第二偏心率的計算：$e^{\prime }=\sqrt{\frac{a^2?b^2}{a^2}}$
$W$	輔助函數$W=\sqrt{1?e^{2}si{n}^{2}B}$
$V$	輔助函數$V=\sqrt{1+e^{\prime 2}co{s}^{2}B}$
$N$	卯酉圈曲率半徑$N=\frac{a}{W}$
$L_0$	中央子午線經度
$l^{\prime \prime }$	$l^{\prime \prime }=L?L_0$
$t$	$t=\tan B$
${\eta }^2$	${\eta }^2=e^{\prime 2}{\cos }^{2}B$
${\rho }^{\prime \prime }$	$\rho ^{\prime \prime}=\frac{180}{\pi}*3600 \approx 206265 $

import math 180 * 3600 / math.pi 206264.80624709636

另一種為空間大地坐標系與高斯平面直角坐標系之間的轉換，采用高斯正反算的方法進行計算。高斯正算是指將大地經度和大地緯度換算為高斯平面坐標的計算；高斯反算是指將高斯平面坐標換算為大地經度和大地緯度的計算。其換算公式的主要參數有中央子午線、投影高、投影緯度、東北平移量、投影比例。高斯正反算公式如下：

子午線弧長計算公式：

$$\begin{array}{rl}X& =a_{0}B?\sin B\cos B\left[(a_2?a_4+a_6)+(2a_4?\frac{16}{3}{a}_6)si{n}^{2}B+\frac{16}{3}{a}_{6}si{n}^{4}B\right]\\ & =a_{0}B?\frac{a_2}{2}sin2B+\frac{a_4}{4}sin4B?\frac{a_6}{6}sin6B+\frac{a_8}{8}sin8B\end{array}$$

式中：$a_0,a_2,a_4,a_6,a_8$為基本常量，計算公式如下：

$$\begin{array}{rl}{a}_0& =m_0+\frac{1}{2}{m}_2+\frac{3}{8}{m}_4+\frac{5}{16}{m}_6+\frac{35}{128}{m}_8\\ a_2& =\frac{1}{2}{m}_2+\frac{1}{2}{m}_4+\frac{15}{32}{m}_6+\frac{7}{16}{m}_8\\ a_4& =\frac{1}{8}{m}_4+\frac{3}{16}{m}_6+\frac{7}{32}{m}_8\\ a_6& =\frac{1}{32}{m}_6+\frac{1}{16}{m}_8\\ a_8& =\frac{1}{128}{m}_8\end{array}$$
式中：$m_0,m_2,m_4,m_6,m_8$為基本常量，計算公式為：

$$m_o=a(1?e^2)；m_2=\frac{3}{2}{e}^2{m}_0；m_4=5e^2{m}_2；m_6=\frac{7}{6}{e}^2{m}_4；m_8=\frac{9}{8}{e}^2{m}_6$$
?
高斯正算$(B,L)?(X,Y)$：
?
$$\begin{array}{rl}x& =X+\frac{N}{2{\rho }^{\prime \prime 2}}\sin B\cos B?l^{\prime \prime 2}+\frac{N}{24{\rho }^{\prime \prime 4}}\sin B{\cos }^{3}B(5?t^2+9{\eta }^2+4{\eta }^4)?l^{\prime \prime 4}+\frac{N}{720{\rho }^{\prime \prime 6}}\sin B{\cos }^{5}B(61?58t^2+t^4)?l^{\prime \prime 6}\\ y& =\frac{N}{{\rho }^{\prime \prime }}\cos B?l^{\prime \prime }+\frac{N}{6{\rho }^{\prime \prime 3}}{\cos }^{3}B(1?t^2+{\eta }^2)?l^{\prime \prime 3}+\frac{N}{120{\rho }^{\prime \prime 5}}{\cos }^{5}B(5?18t^2+t^4+14{\eta }^2?58{\eta }^2{t}^2)?l^{\prime \prime 5}\end{array}$$
?
高斯反算 $(X,Y)?(B,L)$：
?
$$\begin{array}{rl}B& =B_f?\frac{t_f}{2M_f{N}_f}{y}^2+\frac{t_f}{24M_f{N}_f^3}(5+3t_f^2+{\eta }_f^2?9{\eta }_f^2{t}_f^2)y^4?\frac{t_f}{720M_f{N}_f^5}y(61+90t_f^2+45t_f^4)y^6\\ l& =\frac{y}{N_{f}cos{B}_f}?\frac{y^3}{6N_f^{5}cos{B}_f}(1+2t_f^2+{\eta }_f^2)+\frac{y^5}{120N_f^{5}cos{B}_f}(5+28t_f^2+24t_f^4+6{\eta }_f^2+8{\eta }_f^2{t}_f^2)\\ L& =l+L_0\end{array}$$
?
$B_f$為底點維度，即是當$x=X$時的子午線弧長所對應的緯度，按照子午線弧長$X$公式迭代進行計算。
開始時設$B_f^1=\frac{X}{a_0}$，然后按照下式迭代計算：
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$$\begin{array}{rl}{B}_f^{i+1}& =\frac{X(X?F(B_f^i))}{a_0}\\ F(B_f^i)& =?\frac{a_2}{2}sin2B_f^i+\frac{a_4}{4}sin4B_f^i?\frac{a_6}{6}sin6B_f^i+\frac{a_8}{8}sin8B_f^i\end{array}$$

重復迭代至$B^{i+1}_f - B^i_f < \epsilon $為止。
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其余參數為：

$$\begin{array}{rl}{N}_f& =a(1?e^{2}si{n}^2{B}_f{)}^{?\frac{1}{2}}\\ M_f& =a(1?e^2)(1?e^{2}si{n}^2{B}_f{)}^{?\frac{3}{2}}\\ t_f& =tan{B}_f\\ {\eta }_f^2& =e^{\prime 2}co{s}^2{B}_f\end{array}$$
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不同橢球間的坐標轉換的方法是：七參數（空間直角坐標系統間轉換）、四參數+高程擬合參數（平面直角坐標系統間轉換）。常見的Bursa七參數坐標轉換公式如下：

$${?\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}?}_C=?\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& ?Z_D& Y_D& X_D\\ 0& 1& 0& Z_D& 0& ?X_D& Y_D\\ 0& 0& 1& ?Y_D& X_D& 0& Z_D\end{array}??\begin{array}{c}{T}_X\\ T_Y\\ T_Z\\ {\epsilon }_X\\ {\epsilon }_Y\\ {\epsilon }_Z\\ m\end{array}?+{?\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}?}_D\text{\hspace{1em}(1)}$$

四、地方坐標系建立意義與弊端

4.1 地方坐標系建立意義

??在實際測量作業中，我們通常依據不同的用途和工程項目，采用不同的坐標系來滿足工程項目的需要。高斯一克呂格投影分帶有效的限制了長度變形，但是在投影帶的邊緣地區，其長度變形仍然達到了很大的數值 。為了達到城市和工程建設的要求，我們就必須對長度變形加以限制，為此考慮建立獨立坐標系， 目的是減小高程歸化與投影長度變形產生的影響，將它們控制在一個微小的范圍，使計算的長度在實際應用時(如工程放樣時)不需要做任何的改正。

4.2 地方坐標系建立弊端

• 起算點坐標從國家坐標的參考橢球高斯成果直接搬至地方獨立坐標系的投影面，這在理論上不嚴密，同時因起算點不同，整個網成果不同；
• 與國家大地控制點不能嚴格轉換，不利于資源共享；
• 不能充分利用國家大地控制點提高網的精度，對于帶狀控制網（公路、輸電線路等）尤為突出。由此，應該建立一種既與國家坐標系有嚴密換算公式，又能保證投影變形在規定范圍的地方獨立坐標系統。

??在城市范圍內布設控制網時，應考慮不僅要滿足大比例尺測圖的需要，還要滿足一般工程放樣的需要，通常情況下要求控制網由平面直角坐標反算的長度與實測的長度盡可能地相符，而國家坐標系的坐標成果則往往無法滿足這些要求，這是因為國家坐標系每個投影帶都是按照一定的間隔劃分，由西向東有規律地分布，其中央子午線不可能恰好落在每個城市的中央。為了減小長度投影變形所產生的影響，使由控制點的平面直角坐標反算出來的長度在實際利用時不需要做任何改正，方便測繪實際作業，根據《城市測量規范》的要求，需要建立有別與國家統一坐標系統的城市獨立坐標系統。

總結

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