一、概念

蒙特卡羅方法（Monte Carlo method），也稱 統(tǒng)計模擬方法
蒙特卡洛方法的理論基礎(chǔ)是大數(shù)定律。大數(shù)定律是描述相當(dāng)多次數(shù)重復(fù)試驗的結(jié)果的定律，在大數(shù)定理的保證下:

利用事件發(fā)生的 頻率 作為事件發(fā)生的 概率 的近似值。

所以只要設(shè)計一個隨機(jī)試驗，使一個事件的概率與某未知數(shù)有關(guān)，然后通過重復(fù)試驗，以頻率近似值表示概率，即可求得該未知數(shù)的近似值。

樣本數(shù)量越多，其平均就越趨近于真實值。

此種方法可以求解微分方程，求多重積分，求特征值等。

二、思考步驟

蒙特卡羅方法一般分為三個步驟，包括構(gòu)造隨機(jī)的概率的過程，從構(gòu)造隨機(jī)概率分布中抽樣，求解估計量。

1 構(gòu)造隨機(jī)的概率過程
對于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問題，要正確描述和模擬這個概率過程。對于本來不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問題，比如計算定積分，就必須事先構(gòu)造一個人為的概率過程了。它的某些參數(shù)正好是所要求問題的解，即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問題。如本例中求圓周率的問題，是一個確定性的問題，需要事先構(gòu)造一個概率過程，將其轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性問題，即豆子落在圓內(nèi)的概率，而π就是所要求的解。

2 從已知概率分布抽樣
由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量，就成為實現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實驗的基本手段。如本例中采用的就是最簡單、最基本的（0，1）上的均勻分布，而隨機(jī)數(shù)是我們實現(xiàn)蒙特卡羅模擬的基本工具。

3 求解估計量
實現(xiàn)模擬實驗后，要確定一個隨機(jī)變量，作為所要求問題的解，即無偏估計。建立估計量，相當(dāng)于對實驗結(jié)果進(jìn)行考察，從而得到問題的解。如求出的近似π就認(rèn)為是一種無偏估計。

三、特點

一般情況下，蒙特卡羅算法的特點是，采樣越多，越近似最優(yōu)解，而永遠(yuǎn)不是最優(yōu)解。
優(yōu)點：對于具有統(tǒng)計性質(zhì)的問題可以直接進(jìn)行解決，對于連續(xù)性的問題也不必進(jìn)行離散化處理。
缺點：
1、對于確定性問題轉(zhuǎn)化成隨機(jī)性問題做的估值處理，喪失精確性，得到一個接近準(zhǔn)確的N值也不太容易。
2、如果解空間的可能情況很多則很難求解（NP問題）

與窮舉法的區(qū)別：

窮舉法是按某特定規(guī)則進(jìn)行搜索
蒙特卡洛方法則是隨機(jī)搜索

但是兩者都是屬于盲目搜索

四、舉例應(yīng)用

求圓周率。計算圓周率時可以考慮將一個單位圓放在一個正方形中，從而將求解圓周率轉(zhuǎn)化為計算出圓和正方形面積的比例。

蒙特卡羅方法的基本思想是這樣：假想你有一袋豆子，把豆子均勻地朝這個正方形上撒，然后數(shù)落在圓內(nèi)的豆子數(shù)占正方形內(nèi)豆子數(shù)的比例，即可計算出圓的面積，近而計算出π。而且當(dāng)豆子越小，撒的越多的時候，結(jié)果就越精確。

借助計算機(jī)程序可以生成大量均勻分布的坐標(biāo)點，接著統(tǒng)計出圖形內(nèi)的點數(shù)，通過它們占總點數(shù)的比例和坐標(biāo)點生成范圍的面積就可以求出的近似值。

python代碼引用參考文獻(xiàn)1

import random import math import getopt import sys import matplotlib.pyplot as pltdef main():total = 0print('Start experiment: ')n = 0#Repeat try the estimate pi, until break it down manuallywhile True:n=int(input(sys.argv))for i in range(n):x = random.uniform(-1,1)y = random.uniform(-1,1)#x^2 + y^2 <=1, means (x, y) in the cycleif math.sqrt(x ** 2 + y ** 2) <= 1.0:total += 1plt.plot(x, y, 'ro')# x^2 + y^2 > 1, means (x, y) out of the cycleelse:plt.plot(x, y, 'b*')mypi = 4.0 * total / n#plot the x, y and close it after 5 secondsplt.ion()plt.pause(5)plt.close()print('Iteration Times = ', n, 'PI estimate value = ', mypi)print('math.pi = ', math.pi)print('Errors = ', abs(math.pi - mypi) / math.pi)

參考文獻(xiàn)

1、蒙特卡羅算法-知乎
2、蒙特卡洛算法及其實現(xiàn)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的经典算法：蒙特卡洛方法（MCMC）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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